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上页下页铃结束返回首页)(xf)()(000 xxxfxf)(1xTx 的一次多项式需要解决的问题如何提高精度 ?如何估计误差 ?点可导时，则有在当函数0)(xxfy )(xf).(*)()()()(00000 xxxxoxxxfxf近似公式:所产生的误差)(0 xxo)()()()(000 xxxfxfxfxR.)(0的高阶的无穷小量仅是比xx4-3 泰勒公式泰勒公式xy)(xfy o以直代曲以直代曲0 x)(1xTx上页下页铃结束返回首页点有二阶导数，在假定0)(xxf得）式应用于将（),(*xf )(xf ).()()()(00000 xxxxoxxxfxf )(tf )()()(0000 xtoxtxfxf xxdttf0)(dtxtodtxtxfdtxfxxxxxx)()()(0000000 )(xf)()(000 xxxfxf.)(00dtxtoxx得换成将上式, tx)()(2000 xxodtxtoxx希望200)(21xxxf )(2xT若上式成立，则有),()(2xTxf其误差：)(20 xxo200)(21xxxf )(xf)()(000 xxxfxf)(20 xxo(*)上页下页铃结束返回首页 要证明上述公式成立，实际上就是要证明. 0)()()(lim2020 xxxTxfxx证证202)()()(lim0 xxxTxfxx20200000)()(21)()()(lim0 xxxxxfxxxfxfxfxx )(2)()()(lim00000 xxxxxfxfxfxx )00()(2)()(lim000 xxxfxfxx2)(0 xf 2)(0 xf 2)(0 xf . 0上页下页铃结束返回首页即证明了：).()()()(0202xxxxoxTxf点有三阶导数，在假定0)(xxf得）式应用于将（),(*xf )(xf ).()()(21)()(020200000 xxxxo xxxfxxxfxf 的积分，不难发现到式作一次自跟前面一样，我们对此xx0的三次多项式应当是逼近)(0 xx)()(000 xxxfxf200)(21xxxf .)(! 31300 xxxf )(3xT可得到点三阶导数的存在性在注意到两次使用洛必达法则并0)(xxf上页下页铃结束返回首页303)()()(lim0 xxxTxfxx203)(3)()(lim0 xxxTxfxx)00()00()(6)()(lim030 xxxTxfxx )(61)(6)()(lim0000 xfxxxfxfxx )(61)(61lim000 xfxfxx . 0即证明了：).()()()(0303xxxxoxTxf应当成立：阶导数时，下面的结果点有在当nxf0).()()()(00nxxxxoxTxfn其中)(xTn)(! 1)()(000 xxxfxf200)(! 21xxxf .)(!100)(nnxxxfn (n阶泰勒多项式) 展开式称为f(x)按(xx0)的幂展开的n阶泰勒公式泰勒公式 定理 1 (泰勒公式) 设 y = f(x) 在 点的某个邻域内有定义，并在 点具有 n 阶导数 则在 点附近有下列展开式：0 x0 x1n 0 x 000001!nnfxfxf xf xxxxxn00.noxxxx 证证连续地使用(n-1)次洛必达法则,则有nnxxxxxTxf)()()(lim00)00(10)()()(lim0nnxxxxnxTxf)00( (*)上页下页铃结束返回首页)( !)()(lim0)1()1(0 xxnxTxfnnnxx)( !)()(lim00)1()1(0 xxnxfxfnnxx)(!10)(xfnn)(!1lim0)(0 xfnnxx)(!10)(xfnn. 0证毕.(*)称为n阶泰勒公式泰勒公式 )(0nxxo称为皮亚诺型余项.在泰勒公式中若取,00 x则有)(xf)0(fxf)0( ).0()(xxon2!2)0(xf nnxnf!)0()(称为马克劳林（马克劳林（ Maclaurin ）公式）公式 .)( !)()()(lim000)(0)1()1(0 xxnxxxfxfxfnnnxx上页下页铃结束返回首页 几个初等函数的马克劳林公式几个初等函数的马克劳林公式,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn!22x)(nxo).0( x例例1解解xxfsin)(2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m例例2解解.)(xexf)sin( x)()(xfk2k)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()(上页下页铃结束返回首页xsinx!33x!55x! ) 12(12kxk).0()(12xxokk) 1(类似可得xxfcos)(例例3解解!)2(2kxkxcos1!22x!44x)(12 kxok) 1().0( x或者认为展开式结束于偶数项：xsinx!33x!55x! ) 12(12kxkk) 1().0()(22xxok上页下页铃结束返回首页例例4) 1()1 ()(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx).0()(xxonkxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()(上页下页铃结束返回首页已知)1ln(xx22x33xnxn).0()(xxon1) 1(n)()(xfnnnxn)1 (! ) 1() 1(1),2, 1(n) 1()1ln()(xxxf例例5)(xf) 0( fxf) 0( ).0()(xxon2!2) 0(xf nnxnf!) 0()()()1ln(nx0)(|)1ln(xnx,)!1() 1(1nn定理定理设在设在 点附近有定义点附近有定义,且在且在 点点阶导数存在，假如有个常数阶导数存在，假如有个常数使得下式成立：使得下式成立： yf x0 xn1n01,nA AA0 x 0100nnfxAA xxAxx00.noxxxx 则有则有 0,0,1, .!kkfxAknk 其中其中 000.fxf x泰勒公式的唯一性.上页下页铃结束返回首页证证对上式去极限得令,0 xx ).()(lim000 xfxfAxx时，当0 xx 1002100)()()()( nnxxAxxAAxxxfxf. )(nnxxo对上式去极限得令再,0 xx .)(10Axf200002)()()()(lim0 xxxxxfxfxfAxx)(2)()(lim000 xxxfxfxx)00()00(2)(lim0 xfxx ).(210 xf 由连续性上页下页铃结束返回首页例例 6 求求.2的马克劳林公式xeyxe已知1x!33x!nxn!22x)(nxo).0( x解解则2xe1)(2x22)(!21xnxn)(!12)(2nxo12x4!21xnnxn2!) 1()(2nxo).0( x依次类推，最后可以通过(n-1)次洛必达法则证明.!)(0)(nxfAnn定理得证.上页下页铃结束返回首页例例 7 求求.cossinsin21lim0 xxxxxxexx解解xxxexsin21)(621332xoxxxx1)(61(233xoxxxxxxcossin)(6133xoxx)(21 (32xoxx).(3133xox )()(1263443xoxoxx),(633xox)00(上页下页铃结束返回首页xxxxxxexxcossinsin21lim0)(31)(61lim33330 xoxxoxx.21例例 8 设m1,求极限.)()(lim1111mmmmmmxxxxx解解,)11 ()(111mmmmxxxx. 01xx，注意到的泰勒公式有由)1 (x).()1(111)11 (1xxoxmxm),() 1 (1x)11 (1xomxxm.) 1 ( 代表一个无穷小量其中o上页下页铃结束返回首页),() 1 (1x)11 (1xomxxmmxx1)11 ( 类似地，有mmmxx11)(),() 1 (1xxom)()(lim1111mmmmmmxxxxxmmmxx11)()1 (2limomx.2m)1 (x1x2xnx).0()(xxon!2 ) 1(! n) 1() 1(n上页下页铃结束返回首页思考与练习思考与练习 例3计算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式上页下页铃结束返回首页例例4 求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法则不方便 !2x用泰勒公式将分子展到项,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 上页下页铃结束返回首页泰勒公式的应用（1）利用泰勒公式确定无穷小的阶及求未定式的极限.有泰勒公式，若)(0)(limxfxfax)()()(!1)()(axaxoaxafkxfkkk)(0)()()(等于零的系数是泰展开式中第一个不即其中afafkk.)(阶无穷小的是则kaxxf有泰勒公式和，若)()(0g(x)lim)(limxgxfxfaxax)()(!1)()(nnnaxoaxafnxf)()(!1)()(mmmaxoaxagmxg则，其中, 0)(0)()()(agafmn上页下页铃结束返回首页., 0,)()()()(lim)()(mnmnmnagafxgxfmnax(2)利用泰勒公式求函数的近似计算公式.上页下页铃结束返回首页2111.10 ;2!xnnexxxo xxn 2113211;3!21 !nnnxxxxo xn 2. sin 2221111;2!2!nnnxxxo xn 3. cos 1231111;23nnnxxxxxo xn 5. ln 1+2112!aa axaxx 4. 1+11!nna aanxo xn 无论是求 型未定式的极限或估计一个穷小量的阶 都需要熟练记住下列一些公式：00
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