概率论与数理统计课后习题答案

会计学1概率论与数理统计课后习题答案概率论与数理统计课后习题答案 =(a, b, 1ab)|a, b0且a+b1, 2. 把 表示成n个两两互不相容事件的和。 A=(a, b, 1ab)|0a, b0.5 =(a, b, c)|a, b, c0且a+bc1, =(a, b, c)|0a, b, c0且x+y+z=l, A=(x, y, z)|0 x, y, z0为常数). 11cNcNk1) 1(!1eckckk所以, c=1/(e1). 2.已知随机变量X只取1, 0,1, 2四个值,相应概率依次为1/2c, 3/4c, 5/8c, 7/16c,试确定常数c, 并求PX1|X0. 解 由分布律的性质有： 1/2c+3/4c+5/8c+7/16c=37/16c=1所以, c=37/16. PX1|X0=PX1且X0/PX0 =PX=1/1PX0 =(8/37)/112/37 =8/25 3. 一批产品分一、二、三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半. 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 试用随机变量描述检验的可能结果, 并写出其分布律. 解 记Xi为检验结果为i级品, 则X只能取1, 2, 3.若设PX=2=p, 则PX=12p, PX=3 =0.5P, 于是p+2p+0.5p=1, 即p=2/7. 即X的分布律为: PX=1=4/7. PX=2=2/7. PX=3=1/7. 或写成: 7/17/27/4321X 4. 某运动员的投篮命中率为0.4, 写出他一次投篮命中数X的分布律. 解 显然, X只能取0，1，其分布律为： PX=0=0.6, PX=1=0.4.或写成: , 或X01P0.60.44 . 06 . 010X 5. 上抛两枚硬币, 写出正面朝上的个数Y的分布律. 解 显然, Y只能取0, 1, 2, 其分布律为： PY=0=0.25, PY=1=0.5, PY=2=0.25. 7. 设随机变量XB(6, p), 已知PX=1=PX=5, 求PX=2的值. 解 由于XB(6, p), 所以, PX=k=C6kpk(1-p)6-k,由已知有：6p(1-p)5=6p5(1-p), 所以, p=0.5.因此, PX=2=150.520.54=15/640.2344 8. 已知事件A在一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于三次时, 指示灯将发出信号, 若按一下两种方式进行试验, 分别求指示灯发出信号的概率. 解 (1) PX3= (2) PX3=1PXN0.05, 则 PXN0.957374. 097. 0010XP因为:所以, PX1=0.7374+0.2281=0.96550.95因此，取N=1便满足条件。即, 配备一名技师便可以保证设备发生故障.2281. 097. 003. 01019XP 11. 某救援站在长度为t的时间(单位:h)内收到救援信号的次数X服从P(t/2)分布且与时间的起点无关, 试求某天下午救援站在1点至6点间至少收到一次救援信号的概率. 解 由已知, 1点至6点收到救援信号的次数XP(5/2),所以, PX1=1PX=0=1e-2.50.9179 12. 若XP()且PX=2=PX=3, 求PX=5. 解 由已知有: 2e/2=3e/6, 所以, =3所以, PX5=5e/5!35e3/5!0.1008 13. 设步枪射击飞机的命中率为0.001, 今射击6000次,试按泊松分布近似计算步枪至少击中飞机两弹的概率, 并求最可能击中数. 解 记X为击中弹数, 则XB(6000, 0.001)所以, PX2=1PX=0PX=1 1e66e60.9826实际上,PX2=10.999600060000.0010.9995999 )6( P近似 0.9827X的最可能数为: (n+1)p=6.001=6即, 最可能击中数为6。 15. 在有8件正品, 2件次品的10件产品中随机地取3件,写出取出的次品数X的分布律. 解 XH(10, 2, 3)，其分布律为: PX=0=8/107/96/8=7/15 PX=1=38/107/92/8=7/15 PX=2=38/102/91/8=1/15 16. 在一副扑克牌中(按54张计)随机地抽出5张, 求抽出黑桃张数的概率分布. 解 黑桃张数XH(54, 13, 5)，其分布律为:5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0,55454113kCCCkXPkk 17. 一批产品的次品率为0.02, 从中任取20件, 现已初步查出2件次品, 求20件中次品数不小于3的概率. 解 20件中次品数XB(20, 0.02)，于是, PX3|X2=PX3/PX2 =1-PX3/1-PX2 =1-0.9820-200.020.9819-1900.0220.9818/ 1-0.9820-200.020.98190.1185 18. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p, 且生产过程中一旦出现废品即刻重新进行调整. 求在两次调整之间生产的合格品数的分布律. 解 合格品数X1G(P)，于是, 其分布律为: PX=k=(1-p)kp，k=0, 1, 2, 19. 某射手有5发子弹,每射一发子弹的命中率都是0.7,如果命中目标就停止射击, 不中目标就一直射击到子弹用完为止, 试求所用子弹数X的分布律. 解 显然, X只能取1, 2, 3, 4, 5, X的分布律为: PX=1=0.7; PX=2=0.30.7=0.21; PX=3=0.320.7=0.063; PX=4=0.330.7=0.0189; PX=5=0.34=0.0081. 20. 从有10件正品, 3件次品的产品中一件一件地抽取,每次抽取时, 各件产品被抽到的可能性相等. 在下列三种情形下,分别写出直到取得正品为止所需抽取次数X的分布律. (1) 每次取出的产品不再放回; (2) 每次取出的产品立即放回; (3) 每次取出一件产品后随即放回一件正品. 解 (1) X只能取1, 2, 3, 4, 其分布律为: PX=3=3/132/1210/11=5/143; PX=4=3/132/121/11=1/286. PX=1=10/13; PX=2=3/1310/12=5/26; 解 (2) XG(10/13), 其分布律为: PX=1=10/13; PX=2=3/1311/13=33/169. PX=k=(3/13)k1(10/13), k=1, 2, 3, ; (3) X只能取1, 2, 3, 4，其分布律为: PX=3=3/132/1312/13=72/2197. PX=4=3/132/131/13=6/2197. 5. 火炮向某目标独立射击, 每发炮弹命中目标的概率为0.6, 且只要命中一发目标就被摧毁. 今发射4发, 求摧毁目标的概率. 若使目标被摧毁的概率达到0.999以上, 则至少要发射多少发炮弹？ 解 4法炮弹中命中目标数XB(4, 0.6), 所以 若记N发炮弹命中目标数Y, 则Y(N, 0.6), 于是 PX1=1PX=0=10.44=0.9744 PX1=1PX=0=10.4N0.999则, Nln0.001/ln0.47.539.故,至少要发射8发炮弹,可使目标被摧毁的概率达到0.999. 7. 某种动物出现畸形概率为0.001, 如果在相同的环境中观察5000例, 试按泊松分布近似计算其中至多有两例是畸形的概率, 并求最可能畸形例数. 解 记X为畸形例数, 则XB(5000, 0.001)所以, PX2=PX=0PX=1PX=2 e5+5e5+52e5/20.1247)5( P近似X的最可能数为: (n+1)p=5.001=5即, 最可能畸形例数为5。 9. 袋中装有1个白球, 4个红球, 每次从中任取一球, 直到取出白球为止, 试写出取球次数X的分布律. 假定取球方式为每次取出的红球不再放回, 或者每次取出的红球放回. 解 取出的红球不放回, 则X的分布律为: PX=1=1/5, PX=2=4/51/4=1/5, PX=3=4/53/41/3=1/5, PX=4=4/53/42/31/2=1/5 每次取出的红球再放回, 则XG(1/5), 其分布律为: PX=5=4/53/42/31/2=1/5 PX=k=(4/5)k11/5=22k2/5k , k=1, 2, 3, 解 (1) 由于 , 所以, c=1/9. 1. 已知随机变量X , 求(1) 常数c; (2) P1X2, PX1, PX=2.其它，030)(2xcxxf3029)(1cdxcxdxxf (2)2121227/79/)(21dxxdxxfXP110227/19/)(1dxxdxxfXP PX=2=0. 证明 显然f(x)0, 且 2. 证明函数 (c为正的常数)为密度函数.所以, f(x)是密度函数.0,00)(22xxecxxfcx，dxecxdxxfcx202)(1|022cxe 证明 密度函数为: 3. 设XU(2, 3), 写出X的密度函数.其它，032,5/1)(xxf 证明 (1) X的密度函数为: 6. 设XE(2), (1)写出X的密度函数; (2)求P1X2, P1X4. (2) P1X2=P0X2=1e40.9817其它,00,2)(2xexfx p1x4=e80.0003355 10. 设XN(1, 16), 求PX1.5, PX2.8, P|X|1. 解 PX1.5=1(1.5+1)/4)=(0.125)0.55 PX2.8=(2.8+1)/4)=1(0.45)=0.3264 P|X|1=PX2 =(0.25)+1(0.75)=0.8253 解 由于方程无实根, 所以4X0, 于是有 11. 设XN(, 2), 方程y2+4y+X=0无实根的概率为0.5, 求. P4X4=0.5 px4=1(4)/)=(4)/)=0.5所以, (4)/=0, 即, =4. 解 由已知, P2X4=(2/)(0)=0.3 12. 设XN(2, 2), 且P2X4=0.3, 求PX0.所以, (2/)=0.8. PX0=(2/)=1(2/)=0.2. (A) 单调增大;(B) 单调减小; (C) 保持不变;(D) 增减不定. 13.设XN(, 2), 则随着增大, P|X|必然 . 解 由于p|X|=P|X|/1=2(1)1所以, 应选(C). (A) 12; (C) 12. 14. 随机变量XN(1, 12), YN(2, 22), 且P|X1| P|Y2|1, 则正确的是 . 解 p|X1|1=P|X1|/11/1=2(1/1)1 p|Y2|1=P|Y2|/2(1/2), 故, 10.12=P|X10.05|/0.062 =22(2)=0.0456 解 P120X200=P|X160|/40/ 16. 设XN(160, 2), 若P120X2000.8, 求. =2(40/)10.8.所以, (40/)0.9.查表得: 40/1.29. 即31.008. 6. 已知随机变量X的概率密度 , 现对X进行n次独立的重复观测, 并以Vn表示观测值不大于0.1的次数, 求Vn的概率分布.其它,010,2)(xxxf 解 由于PX0.1=1 . 01 . 0001. 02)(xdxdxxf所以, VnB(n, 0.01), 故, Vn的分布律为: PVn=k=Cnk0.01k0.99nk，k=0, 1, 2, , n 11. 设X是区间(0,1)中的随机数, 试确定满足条件0aa=PaXp2; (C) p1u= , 若P|X|x=, 则x等于 . (A) u/2; (B) u1/2; (C) u(1)/2; (D) u1. 解 P|X|x=1PXx=12PXx 所以, PXx=(1)/2. 于是, x=u(1)/2 . 故, 应选(C). 解 定义式为: F(x)=PXx. 1. 写出分布函数的定义式以及离散与连续两种类型随机变量的分布函数计算公式.xxixxiiipxXPxF)( 离散型随机变量: 连续型随机变量:xdxxfxF)()( 2. 写出习题2.2第3题中随机变量的分布函数. 解 由于X的分布律为: x1时, F(x)=0; 7/17/27/4321X 1x2时, F(x)=PXx=PX=1=4/7; 2x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2=6/7; x3时, F(x)=PXx=PX=1+PX=2+PX=3=1. 即 3, 132,7/621,7/41,0)(xxxxxF (2) x1时, F(x)=AAxdxdxxf0212)(1, 110,0,0)(2xxxxxF1012)(xdxdxxf即 7. 求与密度函数 对应的分布函数.2,020,25. 00,5 . 0)(xxxexfx 0 x2时, F(x)= 解 xa=1PXa=1F(a) (A) F(a)=1 ; (B) F(a)=1/2 ;adxx0)(adxx0)(aaatxdttdttdxxaF)()()()(可见, (C), (D)都不对. 取a=0可得: F(0)=1/2. 于是,aaadxxaFdxxdxxdxx000)()()()()(2/1所以, 应选(B). 13. 设X1和X2是任意两个连续型随机变量, 它们的密度函数分别为f1(x)和f2(x), 分布函数分别为F1(x)和F2(x), 则下列选项正确的是 . (A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的密度函数; (A)中有 , (C)中F1()+F2()=2. 解 (D)中的F(x)F1F2满足: 0F(x)1, 单调不减, 右连续, 且F()=0, F(+)=1. 所以F(x)是分布函数. 选D. (B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的密度函数; (C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数; (D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数;2)()(21dxxfxf (B)中若取X1U(0,1), X2U(2,3), 则f1(x)f2(x)=0. 18. 设X的分布函数为 , 2,121 , 12/10,0,)(22xxxCxxBxxAxF(1) 求常数A, B, C; (2) 求PX1/2; (3) X是连续型随机变量吗？若是则求X的密度函数. 解 (1) 由F()=0得A=0,由F(2+)=F(2)得C=2, 再由F(1+)=F(1)得B=1/2. (2) PX1/2=1F(1/2)=11/8=7/8.其它,021 ,210,)(xxxxxf由于F(x)是连续函数, 所以X是连续型随机变量, 密度函数为: 19. 设随机变量X的分布函数为 , 3, 130,0,0)(3xxcxxxF若PX30.1, 求常数c. 这时X是连续型随机变量吗？说明理由. 解 由于PX=3=F(3)F(3)127c=0.1所以, c=1/30 . X不是连续型随机变量. 下列任何理由都可说明: F(x)在x=3处不连续， PX=3=0.10. 1. 已知随机变量X的概率分布为X1011.5P0.10.20.30.4Y3112P0.10.20.30.4 解 Y和Z的分布律分别为:求随机变量Y=2X1和Z=X2的分布律.Z012.25P0.20.40.4 FY(x)=PYx=PXx/2= 解 对任意0 x2, 有42)(22/02/xtdtdttfxx 3. 设X的密度函数为 , 求Y=2X,Z=X+1和U=X2的密度函数.其他,010,2)(xxxf其它,020,2)(xxxfY所以, fY(x)= FY(x)=x/2. 即Y的密度函数为: FZ(x)=PZx=PX1x= 对任意0 x1, 有211)1 (12xtdtx所以, fZ(x)= FZ(x)=2(1x). 即Z的密度为:其它,010, )1 (2)(xxxfZ FU(x)=PUx=Px1/2Xx1/2= 对任意0 x1, 有xtdtx02所以, fU(x)= FU(x)=1. 即U的密度函数为:其它,010, 1)(xxfU 解 (1) FY(y)=PYy=pX3y=PXy1/33)(ydxxf 5. (1) 设Xf(x), 求Y=X3的密度函数；(2) 设XE(), 求Y=X3的密度函数; (3) 设XE(1), 求Y=eX的密度函数.0,00, )(31)(332yyyfyyfY所以, Y的密度函数为: (2) 由(1)得, Y的密度函数为:0,00,3)(332yyeyyfyY FY(y)=PYy=peXy=PXlnyydxeyx11ln0 (3) 对任意y1有1,01,1)(2yyyyfY所以, FY(y)=1/y2, 于是Y的密度函数为: 解 (1) 对任意1y0, 有 FY(y)=PYy=p2lnXy=PXey/2122211)(yyeyeXedxdxxf000,21)(2yyeyfyY，所以, Y的密度函数为YE(1/2). (3) 对任意1ye, 有yyXydxdxxfln0lnln1)(其它，01,1)(eyyyfY所以, Y的密度函数为 FY(y)=PYy=peXy=PXlny0, 10,00, 1XXX 10. 设XU(1, 2), 随机变量Y= , 试求随机变量Y的分布律. 解 Y只能取1, 0, 1三个值, Y的分布律为: PY=1=PX0=P1X0=P0X2=2/3.或写成:Y101P1/302/3 11. 假设由自动线加工的某种零件的内径(单位mm)服从正态分布N(11, 1),内径小于10或大于12的为不合格品, 其余为合格品, 销售每件合格品获利, 销售每件不合格品则亏损. 已知销售利润Y(单位:元)与销售零件的内径X有关系:12,51210,2010, 1XXXY求Y的分布律. PY=1=PX12=1(1)=0.1587 解 Y只能取5, 1, 20三个值, Y的分布律为: 20. 已知随机变量X的分布律为： 求X+2, X+1与X2的分布律. 解 分布律分别为:X2011.53P0.20.10.30.30.1X+20233.55P0.20.10.30.30.1X+1 20.5013P0.10.30.30.10.2X2012.2549P0.10.30.30.20.1 21. 设随机变量XE(2), 证明: Y=1e2XU(0, 1). 证明 对任意0y1, 有2)1ln(022)1ln(2)(yxyXdxedxxf FY(y)=PYy=P1e2Xy=P2Xln(1y) =PXln(1y)/2yy )1 (1所以，Y的密度函数为:其它,010, 1)(yyfY即, YU(0, 1). 解 F(y)=PYy=PlnXy=PXeyyeeedxxdxxfyyarctan2)1 (2)(02 22. 设随机变量X , 求Y=lnX的密度函数.0,00,)1 (2)(2xxxxf.)1 (22yyee所以, FY(y)=即Y的密度函数为:yeeyfyyY,)1 (2)(2 (A) 连续函数； (B) 至少有两个间断点； 24. 设随机变量XE(5), 则随机变量Y=minX, 2的分布函数是 . (C) 阶跃函数； (D) 恰好有一个间断点. 解 由于X2时Y=X, X2时Y=2. 所以2,120,10,0)(5yyeyyFyY可见, FY(y)不是阶跃函数, 也不连续, 只有y=2一个间断点.故，应选(D). 例如: 举出几个你所熟悉的能用多维随机变量来描述的社会或生活现象. 描述某种器件的长度H和重量M; 描述某学生各科考试的成绩Xi; 描述平面上随机点的坐标(X, Y)等等。 2. 袋中装有1个红球, 2个黑球与3个白球, 现从袋中取两次, 每次取一个球, 以X, Y, Z分别表示两次取球所取得的红球, 黑球与白球的个数. 若每次取出的球(1)立即放回袋中,再取下一个, 或者(2)不再放回袋中接着便取下一个, 就这两种取球方式, 写出(X, Y)的概率分布, 求PX=1|Z=0.(X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (2,0)P 解 X, Y, Z可取0, 1, 2. 且X+Y+Z=2所以，(X, Y)的分布律为: PX=1|Z=0=(2/15)/(3/15)=2/3(X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1)P1/41/31/91/61/9 1/361/52/5 1/151/5 2/15(1)(2)PX=1|Z=0=(1/9)/(9/36)=4/9 解 X可取0, 1, 2, 3, Y可取1, 3. 且Y=1对应X=1或X=2, Y=3对应X=0或X=3. 所以, (X,Y)的分布律为: 3. 将一硬币连掷三次, 以X表示三次中出现正面的次数,以Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值, 试写出X和Y的联合分布律. PX=0,Y=3=PX=0=1/8 PX=3,Y=3=PX=3=1/8 PX=1,Y=1=PX=1=3/8 PX=2,Y=1=PX=2=3/8 或写成: (X,Y)(0,3)(1,1)(2,1)(3,3)P1/83/83/81/8 解 X, Y可取0, 1, 2, , 且XY, 所以, (X,Y)的分布律为: 5. 一射手射击命中目标的概率为p(0p1=0 PX=1,Y=1=P11=1/4或写成: (X,Y) (1,1) (1,1)(1,1)P1/41/21/4 Y X1111/4011/21/4 解 由于PX1X2=0=1, 所以 9. 已知随机变量X1, X2的分布律为: PX1=1, X2=1=PX1=1, X2=1=0且PX1X2=0=1, 求X1和X2的联合概率分布.又由于, PX1=1=PX1=1,X2=0+PX1=1,X2=1所以, PX1=1, X2=0=PX1=1=1/4 2/12/110,4/12/14/110121XX同理, PX1=1, X2=0=PX1=1=1/4 PX1=0, X2=1=PX2=1=1/202/1014/104/1010112XX PX1=0, X2=0=PX2=0PX1=0,X2=1=0, 即 解 由于PX=0=0.4, PX=1=0.6, 所以 11. 已知随机变量X服从参数为p=0.6的01分布, 且在X=0, X=1条件下随机变量Y的条件分布律为: PX=0,Y=j=PY=j|X=0PX=0=0.4PY=j|X=0求(X, Y)的分布律. PX=1,Y=j=PY=j|X=1PX=1=0.6PY=j|X=1所以, (X, Y)的分布律为:Y|X=0123P1/41/21/4Y|X=1123P1/2 1/61/3X Y12301/101/51/1013/101/101/525/225/3125/125/21210baXY 3. 设随机变量X与Y的联合分布律为且PY=1|X=0=3/5, 求常数a, b的值. 解 由于PY=1|X=0=PX=0,Y=1/PX=0 =b/(2/25+b)=3/5所以, b=3/25.又由于pij=1, 所以，a=14/25.即，a=14/25，b=3/25. 解 (1) (X, Y)的边缘分布律分别为: 7. 设二维离散型随机变量(X, Y)的分布律为求:(1)边缘分布律; (2)在X=1, Y=2条件下的条件分布律; (3) PXY, PX0. Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.110018. 028. 054. 0101PX19. 032. 022. 027. 04321PY (2) 在X=1, Y=2条件下的条件分布律分别为: PX0=1PX0=1PX=1=10.180.82 Y X123410.200.030.210.10000.080.110.0910.070.110018. 028. 054. 0101PX19. 032. 022. 027. 04321PY (3) PXY=1PX=Y=10.07=0.93 211142231012|PYX275187181271043211|PXY 8. 设X, Y为两个随机变量, 且PX0, Y0=3/7, PX 0=PY0=4/7, 求Pmax(X, Y)0. 解 Pmax(X,Y)0=PX0或Y0 =PX0+PY0PX0, Y0 =4/7+4/73/7=5/7 1. 设随机变量(X, Y)的密度函数为 解 (1) 由于所以，a=21/4. 其它，01,),(22yxyaxyxf求: (1) 常数a; (2) PX0.5, PY0.5. 214)1 (2),(1114211122adxxxaydyxdxadxdyyxfx (2) PX0.5=3936. 042115 . 0122xydyxdx PY0.5=9116. 042115 . 02yyydxxdy 3. 设随机变量(X, Y) , 解 (1) 由于所以，c=1. 其它，00,),(xyceyxfx求: (1) 常数c; (2) PX1|Y1. cdxxecdyedxcdxdyyxfxxx 000),(1 (2) PX1,Y1=10110021edxxedyedxxxx PY1=101101 edyedxedyyyx PX1|Y1=418. 01212111eeee 5. 设二维随机变量(X,Y)在平面区域D上服从均匀分布,其中区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1, x=e2围成, 写出(X,Y)的密度函数, 并求(X, Y)关于X的边缘密度函数在x=2的值. 解 由于区域D的面积为所以，(X, Y)的密度函数为: 2|ln/12211eexdxxADxDxyxf,0, 2/1),(X, Y)关于X的边缘密度函数为:其它，01),2/(1),()(2exxdyyxfxfX所以, fX(2)=1/4. 或4/12/1), 2()2(2/10dydyyffX 6. 设随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布, 其中D为x轴, y轴及直线y=2x1围成的三角形区域, 求条件密度函数fY|X(y|x). 解 由于区域D的面积为A=1/4. 所以(X,Y)的密度函数:DxDxyxf,0,4),(X, Y)关于X的边缘密度函数为:其它,002/1, 484),()(120 xxdydyyxfxfxX所以, 对任意1/2x0, 条件密度函数为:其它，0120,121)(),()|(|xyxxfyxfxyfXXYDyxDyxyxf),(,0),(, 2/),( 1. 设随机变量(X, Y)在区域D=(x,y)|x2+y21且y0内服从均匀分布, 在三次重复独立观察中事件XY出现的次数为Z, 试求PZ=2. 解 由于D的面积为/2, 所以, (X,Y)的密度函数为:yxdxdyyxf4/1),( p=PXY=所以, ZB(3, p), 因此, PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64 11. 已知随机变量(X,Y)的密度函数f(x,y)= , 求(X,Y)的边缘密度函数和条件密度函数. 解 (X,Y)的边缘密度函数为:)52(21221yxyxedyeedyyxfxfxyxX2)5/(552221),()(可见, XN(0, 5/4), YN(0, 1/4).522522225251xtxedteedxeedxyxfyfyxyY2)(2221),()(22222221ytyedtee)51,41,45, 0 , 0(),(NYX所以, 对任意的y和x, 条件密度函数为:)2(21|2221)(),()|(yxyxYXeyfyxfyxf可见, X|Y=yN(y, 1), Y|X=xN(x/5, 5).xeyx,212)(2)5251(21|2225)(),()|(yxyxXXYexfyxfxyfyeyx,2510)5(2 1. 对习题3.2的第1题, 求随机变量(X, Y)的分布函数. 解 由习题3.2第1题知, (X, Y)的分布律为: 有放回: 无放回: 所以, 分布函数分别为:3/13/13/1)2 , 2() 1 , 2()2 , 1 (),(PYX9/49/29/29/ 1) 2 , 2() 1 , 2() 2 , 1 () 1 , 1 (),(PYX 0, X1,或Y1 1/9, 1X2,1Y2 1/3, 1X2,Y2,或X2,1Y2 1, X2, Y2有放回: F(x, y)= 0, x1,或y1,或x2, y2 1/3, 1x2,y2, 或x2, 1Y0, yx时有： F(x,y)=x0, 0y0, yx所以, (X,Y)的分布函数为:其它，00,),(xyeyxfxxxxuuyxxeedvduedudvvuf 1),(00F(x, y)= 0 , x0或y0 xyyxvuyeedudve 10 1eyyex , x0, 0y0.1,Y0.1求:(1)(X,Y)的边缘分布函数; (2) X,Y皆大于0.1的概率.0,00,15.0 xxex 4. 已知连续型随机变量X, Y的联合分布函数为其它，00, 0,1),()(5 . 05 . 05 . 0yxeeeyxFyxyx FY(y)=F(+, y)=0,00,15.0yyey =1FX(0.1)FY(0.1)+F(0.1,0.1)=e0.1 =1PX0.1PY0.1PX0.1,Y0.1 解而Y=X2, F(x,y)为随机变量(X,Y)的分布函数,求F(1/2,4). 5. 设随机变量X的密度函数为其它，0204/ 101, 2/ 1)(xxxfX F(1/2, 4)=PX1/2, Y4=P2X1/24/12/1)(2/112/12dxdxxfX 证明 因为1=F(0+,0)=F(0, 0+)F(0,0)=0 6. 证明还是F(x,y) 不是分布函数. 0, 00, 1yxyx即F(x, y)在点(0,0)处关于x, y都不是右连续的, 所以F(x, y)不是分布函数。 1. 0F(x, y)1, x(,+), y(,+); 2. F(x, y)对每个变量都是非减函数; 3. x(,+)有F(x,)=0, F(, )=0, y(,+)有F(,y)=0, F(+, +)=1. 4. F(x,y)关于x和y都右连续，即： F(x+, y)=F(x, y), F(x, y+)=F(x, y) DyxDyxyxf),(,0),(, 2/),( 2. 解 由于D的面积为/2, 所以, (X,Y)的密度函数为:yxdxdyyxf4/1),( p=PXY=所以, ZB(3, p), 因此, PZ=2=C32p2(1p)3(1/16)(3/4)=9/64 3. 随机变量X, Y相互独立, X, Y的分布律为:写出(X,Y)的分布律, 并求PX+Y=1和PXY=0.2/12/122PY3/ 13/ 13/ 1101PX PX=i,Y=j=PX=iPY=j=1/6, i=1,0,1, j=2, 2. PX+Y=1=PX=1, Y=2=1/6. PXY=0=PX=0,Y=2+PX=0, Y=2=1/3. 解 因为X, Y相互独立, 所以(X, Y)的分布律为: 4. 设随机变量X, Y相互独立且有相同的分布, X的分布律为:记U=maxX, Y, V=minX, Y, 求(U, V)的分布律. 3/ 13/221PX PU=1,V=1=PX=1PY=1=4/9, 解 显然U, V只能取1, 2, 且UV, (U, V)的分布律为: PU=2,V=1=PX=1PY=2+PX=2PY=1=4/9, PU=2,V=2=PX=2PY=2=1/9,或写成:9/19/49/4)2 , 2() 1 , 2() 1 , 1 (),(PVU9/19/4209/4121VU 5. 下表列出了随机变量X, Y的联合分布律和边缘分布律中的部分数值, 如果X与Y相互独立, 试在表中的空白处填上其余数值.16/ 18/ 18/ 121321YXPxxPyyyYX 解 由边缘分布的概念有： 又由于X,Y相互独立， 所以 1/24 3/4 1/4 1/2 3/8 1/12 1/4 1/3 解 由于事件X=0与X+Y=1相互独立, 所以X=0与X+Y也相互独立. 又由于 7. 设随机变量X, Y的概率分布为:且事件X=0与X+Y=1相互独立, 求常数a, b.1 . 014 . 0010baYX PX=0=0.4+a, PXY=1a+b, PX+Y1=0.5 PX=0且X+Y=1=a, PX=0, XY1=0.4所以, (0.4+a)(a+b)=a, (0.4+a)0.5=0.4因此, a=0.4, b=0.1.也可以由X0与X+Y1独立得: (b+0.1)0.5=0.1 解 易得: 8. 已知随机变量X和Y的联合概率密度为:求X和Y的联合分布函数F(x, y)及P0X0.5, 0Y 0.5.其它, 010 , 10,4),(yxxyyxf所以, X和Y相互独立, 所以 P=FX(0.5)FX(0)FY(0.5)FY(0)0.0625其它其它,010,2)(,010,2)(yyyfxxxfYX其它,01, 1,110 , 1,1, 10,10 , 10,)()(),(2222yxyxyyxxyxyxyFxFyxFYX 也可以不用独立性, 直接按定义计算:x0或y1时, 21004),(yuvdvduyxFy x1, 0y1时, 14),(1010 uvdvduyxFX1, y1时, 0625. 045 . 005 . 00 xydxdy P0X0.5, 0Y0.5 解 (1)由已知: 12. 设随机变量X和Y相互独立, XU(0, 0.2), YE(5), (1) 写成(X, Y)的密度函数; (2) 求PYX.又由于 X和Y相互独立, 所以(X, Y)的密度函数为: (2) PYX=P0YX45=PX1=12PX2=15PX3=19=0.001. PX1+X2+X345=PX1=10PX2=13PX3=17=0.006. 所以, 进货45件不够卖的概率为0.001, 进货40件够卖的概率为0.006。其它，020 , 10, 3/),(2yxxyxyxf 12. 设随机变量(X, Y) 的概率密度为求: (1) PX+Y1; (2) 边缘密度函数与条件密度函数; (3) 判断X, Y的独立性. 解 (1) PX+Y1=1),(yxdxdyyxfdyxyxdxx)3(10212x01y12D1022)1 (46)1 (dxxxxx =1/3+1/41/41/91/2465/72 (2) fX(x)=dyyxf),(10 ,322)3(2202xxxdyxyx其它，其它，020,631)(,010,322)(2yyyfxxxxfYX 对任意0 x1, 有即： fY(y)=dxyxf),(20 ,631)3(102yydxxyx fY|X(y|x)20,263)(),(yxyxxfyxfX即,其它，020,263)|(|yxyxxyfXY类似地, 对任意0y2有:其它，010,226)|(2|xyxyxyxfYX(3) 显然有: f(x,y)fX(x)fY(y)所以X,Y不独立. 证明 由已知: 15. 设随机变量X1,X2相互独立, X1B(n1, p),X2B(n2,p), 证明X1+X2B(n1+n2, p).所以, X1+X2可取0,1,n1+n2, 而且11,.,1 , 0,)1 (11nkppCkXPknkkn22,.,1 , 0,)1 (22nkppCkXPknkknkiikXPiXPkXXP02121kminn1, n2时, iknikikninikiinppCppC2211)1 ()1 (0knnkknniknkiinknnkppCCCpp21212121)1 ()1 (0102121niikXPiXPkXXPn1kn2时, (n2kmaxn1, n2时, iknikiknininkniinppCppC221121)1 ()1 (knnkknniknnkniinknnkppCCCpp2121212121)1 ()1 (PZ321123 1. 已知随机变量(X, Y)的分布律为:求Z=2XY,U=minX,Y,V=maxX,Y和W=XY的分布律.1 . 04 . 00102 . 03 . 01101YX0 解 Z, U, V, W的分布律分别为:0.20.30.10.40PU1010.50.4 0.1PV1010.30.2 0.5PW10100.6 0.4 4. 设随机变量X与Y相互独立且均服从U(0, 1), 试求Z= X+Y的密度函数. 解 由卷积公式:dxxzfxfzfYXZ)()()(所以, 0z1时，其它,021,210,)(zzzzzfZ所以, Z的密度函数为：.1)(0zZzdxzf0 1 xz21z-x=1z-x=010时有zzyyyzyxedyeedxedy1)(00所以, Z=XY的概率密度为:0,00,)(zzezfzZ 6. 设(X, Y)的概率密度为求: Z=(X+Y)/2的密度函数.,00, 0,),()(其它yxeyxfyx2)(zYXPzZPzFZ 解 z0时, FZ(z)=0, z0时有zzzzyzyzyxzeedyeedxedy222022020)(21)(所以, Z=(X+Y)/2的密度函数为:0,00,4)(2zzzezfzZ 7. 若随机变量X, Y相互独立且都服从N(0, 1), 证明: Z=X2+Y2的密度函数为: .0,00,21)(2zzezfzZ)(22zYXPzZPzFZ 证明 z0时, FZ(z)=0, z0时有dxdyeyxzyx2222221rdredrz2200221所以, Z的密度函数为：2021|2zzree0,00,21)()(2zzezFzfzZZ 10. 设随机变量X,Y相互独立, X的分布律为PX=i=1/3 (i=-1, 0, 1), Y的密度函数为 记Z=X+Y, (1) 求Z的概率分布; (2) 求PZ1/2|X=0.,010, 1)(其它yyfY11)(ZYPXPzYXPzZPzFZ 解 (1) z1时, FZ(z)=0, 1z0时有1031131zzdy011)(ZYPXPZYPXPzZPzFZ0z1时有10031131131zzdydy11)(ZYPXPzYXPzZPzFZ1z2时有10101031131131131zzdydydy所以, Z的分布函数为:2,121, 3/ ) 1(1,0)(zzzzzFZ110ZYPXPZYPXP所以, Z是连续型随机变量, Z的密度函数为:其它, 021, 3/1)(zzfZ (2) PZ1/2|X=002/1, 0XPZXP =PY1/2=1/202/1, 0XPYXP或 PZ1/2|X=0=PY1/2|X=0=PY1/2=1/2 16. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x, y)| 1x3, 1y3上的均匀分布, 求: (1) (X, Y)的分布函数; (2) 随机变量U=|XY|的密度函数. 16. 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G=(x, y)| 1x3, 1y3上的均匀分布, 求: (1) (X, Y)的分布函数; (2) 随机变量U=|XY|的密度函数. 解 (1) x1, 或y3时, F(x,y)=) 1(214/1131 xdxdyxx3, 1y3时, F(x,y)=) 1(214/1311 ydxdyy即，F(x,y)=3, 3,131 , 3,2/ ) 1(3, 31,2/ ) 1(31 , 31, 4/ ) 1)(1(1y10yxyxyyxxyxyxx或， 对任意0u2, 有:uyxdxdyyxf|),( FU(u)=PUu=P|XY|uDdxdy4/101 3 xy13D4)2(44122uuu所以, 随机变量U的密度函数为:其它，020,21)(uuufU (2)由于对任意u65. 解 由已知有: XiN(60, 25), 所以1587. 0) 1 (11560655151iiiiXPXP 解 (1) X的分布律为 1. (1) 在下列句子中随机地取一单词, 以X表示取到的单词所包含的字母的个数, 写出X的分布律并求E(X). (2) 在上述句子的30个字母中随机地取一字母, 以Y表示取到的字母所在的单词所包含的字母数,写出Y的分布律并求E(Y). “THE GIRL PUT ON HER BEAUTIFUL RED HAT” k 2 3 4 9 PX=k 1/8 5/8 1/8 1/8 E(X)=21/8+35/8+41/8+91/8=15/4=3.75 (2) Y的分布律为 k 2 3 4 9 PX=k 1/15 1/2 2/15 3/10 E(Y)=21/15+31/2+42/15+93/10=73/15=4.867求E(X), E(X2), E(3X2+5) . 解 E(X)=20.4+00.3+20.3=0.2 3. 设随机变量X的分布律为X -2 0 2pk 0.4 0.3 0.3 解 记X“取出合格品前已取出的废品数”，则X只取0, 1, 2, 3四个值, 其分布律为： E(X2)=(2)20.4+020.3+220.3=2.8 E(3X2+5)=170.4+50.3+170.3=13.4 5. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出的是废品就不再放回去, 求在取出合格品前已取出的废品数的数学期望.出售的设备若在出售一年之内损坏可予以调换, 若工厂出售一台设备盈利100元, 调换一台设备厂方需花费300元, 求厂方出售一台设备净盈利的数学期望. 所以, E(X)=19/44+29/220+31/220=0.3 . 7. 一工厂生产的某种设备的寿命X(单位:年)服从指数分布, 其概率密度函数为： , 厂方规定, 0,00,)(4/41xxexfx 解 由于 PX1=104/41dxex4/11e220/1220/944/94/33210PX所以, E(净盈利)=100300(1e1/4)33.64求 (1) Y=2X的数学期望; (2) Y=e-2X的数学期望. 9. 设随机变量X的概率密度为0,00,)(xxexfx 解 (1) E(Y)= 02dxxex2 (2) E(Y)= dxeexx023103dxex =10.4+20.2+30.4=2 10. 设随机变量(X, Y)的分布律为: (1)求E(X), E(Y); (2)设Z=Y/X, 求E(Z); (3)设Z=(X-Y)2, 求E(Z). 解 (1) jijYiXiPXE,)( X Y 1 2 3101 0.2 0.1 0.0 0.1 0.0 0.3 0.1 0.1 0.1jijYiXjPYE,)( =-10.3+00.4+10.3=0 jijYiXPijZE,)(2）（0667. 015/1jijYiXPjiZE,2,)()(3）（5 解 求E(X), E(Y), E(XY), E(X2+Y2).dxdyyxxfXE ),()(dxdyxyy 101212 11. 设随机变量(X, Y)的概率密度为:其它,010,12),(2xyyyxf1022)1 (6dyyy8 . 05/45/62dxdyyxyfYE ),()(dxdyyy 1013126 . 05/35/123103)1 (12dyyydxdyyxxyfXYE ),()(dxdyxyy 1013121023)1 (6dyyy5 . 02/112/3 解 (1) E(X+Y)=E(X)+E(Y)=3/4 12. 设随机变量X, Y的概率密度分别为0 x,00,2)(2xexfxX (1) 求E(X+Y), E(2X3Y2); (2) 当X, Y相互独立时, 求E(XY).dxdyyxfyxYXE ),()()(2222dxdyyxyy 101222)(1210432)1 (12)1 (4dyyyyy0667. 115/1625/123/23/40 x,00,4)(4xexfxY E(2X3Y2)=2E(X)3E(Y2)=13/8=5/8 (2) E(XY)=E(X)E(Y)=1/8 13. 旅游车上载有12位游客, 沿途有6个旅游景点, 如果到达一个景点无人下车就不停车. 设X表示停车总次数,求E(X). (假定每位游客在各个景点下车是等可能的, 他们下车与否是相互独立的.) 解 记Xi则有, PXi0=(5/6)12, PXi=1=1(5/6)12, i=1,2,6且，X=X1+X2+X61,2,.,6i , 第i个景点无人下车,0第i个景点有人下车, 1所以，E(X)=E(X1+X2+X6)=61(5/6)12 15. 某种商品每周的需求量XU(10, 30), 经销商店进货数量是区间10, 30中的某一个整数. 商店每销售一单位商品可获利500元; 若供大于求, 则剩余的每单位商品带来亏损100元; 若供不应求, 则可从外部调剂供应, 此时经调剂的每单位商品仅获利300元. 求使商店每周所获利润的期望值最大的最少进货量及最大期望利润值. 解 记商店进货数量为k, 所获利润为Y, 则有所以, 5250350k7.5k2kX10,X)100(k500X03XkkX300500k，）（Y30kk10)200300(201)100600(201E(Y)dxkxdxkx故，最少进货量为23时，最大期望利润值为9332.5元.求E(X)和D(X). 2. 设随机变量X的概率密度为其他,021,210,)(xxxxxf 解 E(X)= dxxxf)( 1/3+(41)(81)/3121102)2(dxxxdxx D(X)= dxxfxdxxfxEx)() 1()()(22 =1/42/3+1/2 1/6 212102)2() 1() 1(dxxxdxxx 4. (1)设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立, 且有E(Xi)=i, D(Xi)=5-i, i=1,2,3,4.设Y=2X1-X2+3X3-X4/2,求E(Y),D(Y). (2) 设随机变量X, Y相互独立, 且XN(720, 302), Y N(640, 252), 求Z1=2X+Y, Z2=X-Y, Z3=X+Y的概率分布, 并求PX1400 . 解 (1) E(Y)=2E(X1)E(X2)+3E(X3)(1/2)E(X4) =212+33(1/2)4=7 D(Y)=22D(X1)+D(X2)+32D(X3)+(1/2)2D(X4) =44+3+92+(1/4)1=37. 25 (2) Z1N(2720+640, 4302+252)=N(2080, 652) Z2N(720640, 302+252)=N(80, 1525) PXY=PXY0=PZ20 =P(Z280)/15251/21400=P(Z31400 =1(40/15281/2)=1(1.02)=0.1539附表2 Z3N(720640, 302+252)=N(1360, 1525) =1(2.05)=10.979820.02018 =P(Z31360)/15251/240/15281/2 5. 卡车装运水泥, 设每袋水泥重量X(单位: kg )服从N(50, 2.52), 若总重量超过2000的概率不大于0.05, 那么最多可装多少袋水泥？ 解 设最多装n袋水泥, 则总重量YN(50n, 2.52n), PY2000 =P(Y50n)/2.5n1/2(200050n)/2.5n1/20.05 (200050n)/2.5n1/20.95 (2000-50n)/2.5n1/21.65 20n+1.65n1/28000 n39.48即最多可装39袋水泥.附表2 7. 已知正常男性成人血液中, 每毫升中的白细胞数平均是7300, 均方差是700. 试利用切比雪夫不等式估计, 每毫升男性成人血液中白细胞数在52009400之间的概率. 解 因为E(Xc)2E(X22cX+c2) 解 p=P5200X9400=P|X-7300|2100 17002/21002=8/9 8. 设X为随机变量, c是任意常数, 证明: D(X)E(X-c)2且等号成立当且仅