理学概率4修改PPT课件

随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征 例 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.q r.v.的平均取值 数学期望 q r.v.取值平均偏离均值的情况 方差q 描述两 r.v.间的某种关系的数 协方差与相关系数本章内容第1页/共45页 例1.1 一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？ 解 以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为 X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2第2页/共45页 现假设该机床加工 个零件，其中废品 件，合格品nnnn3212n3n1nnn件，优质品 件，这里 . 则这 个零件可以获得总利润为 1230.10.20.4nnn-+3120.10.20.4nnnnnn-?其中 ， 和 分别是事件 、 和 出现的频率.当 很大时， ， 和 分别接近于0.1, 0.7和0.2。nn1nn2nn30.1X = -0.2X =0.4X =nnn1nn2nn3 X 0.10 0.20 0.40 P 0.1 0.7 0.2平均每个零件可获利为 于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为 0.1 0.10.20.70.40.20.21-?（元）.第3页/共45页 定义1.1 设离散型随机变量X 的分布律为kxxx21kppp21XP1)(kkkpxXE则称 （要求此级数绝对收敛） 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) , 则称 为X 的数学期望(或均值)()( )dE Xxf xx+ ?- ?=（要求此积分绝对收敛)数学期望的本质 加权平均 ,它是一个数不再是 r.v. .为 X 的数学期望(或均值) 第4页/共45页 例1.2 设X服从参数为p的(01)分布,求X的数学期望()0(1)1.E Xppp=-+ =解 X 的分布律为X 0 1P 1 p p例1.3 设 ，求 ),(pnBX)(XE 解 X 的分布律为(1),0,1, 2,kkn kknpP XkC ppkn-=-=01!()(1)!()!nnkn kkkknE Xkpkppk nk-=-邋11(1) (1)11(1)nkknknknpCpp-=-1(1)nnp pp-=+-.np=第5页/共45页)(X)(XEe,0,1, 2,!kkpP Xkkkll-=例1.4 设 ，求 .解 X 的分布律为01()e!kkkkE Xkpkkll-=邋11eee.(1)!kkklllllll-=-例1.5 设 X 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).解 X 的分布律11()(1)kkE Xkpp+ ?-=-11kkxppx+ ?= -骣=桫2111.(1)xppxp= -=-1(1),1,2, ,kP Xkppkn-=-=第6页/共45页常见离散型r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p 的 （0-1）分布1, 01P Xp P Xp=-pB(n,p)(1)0,1,2,kkn knP XkC ppkn-=-=npe,0,1,2,!kP Xkkkll-=( )p l参数为 p 的几何分布1(1)1,2, ,kP Xkppkn-=-=1p第7页/共45页7713()012.1515155E X =+ += 例1.6 已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望 解 以 X 表示任取3件中次品的个数，可取值为0, 1, 2，其分布律为821212,10153P X骣 骣鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫 桫=骣桫8370,10153P X骣桫=骣桫822 171,10153P X骣 骣鼢珑鼢珑鼢鼢珑桫 桫=骣桫第8页/共45页1,( )0,.axbf xba=-其它1()( )dd2baabE Xxf xxxxba+ - +=-蝌 例1.7 设X在 a, b上服从均匀分布，求 E(X)解 X 的概率密度为例1.8 设 X 服从参数为 的指数分布，求E(X ) 解 X 的概率密度为1e,0,( )0,.xxf xll-=其它01()( )ded.xE Xxf xxxxlll+ + - =蝌第9页/共45页),(2NX)(XE22()21( )e,2xf xxmsps-=- + 22221eded.22tttxxsmmpp+ + - - =+=蝌xtms-=令例1.9 设 ，求 解 X 的概率密度为22()2()( )ded2xxE Xxf xxxmsps-+ + - - =蝌221()ed2ttxsmp+ - +第10页/共45页分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布1,( )0,axbf xba=其它N( , 2)22()21( )e2xf xmsps-=常见连续型r.v.的数学期望第11页/共45页 定理1.1 设随机变量 Y 是随机变量 X 的函数:Y=g( X ).( ) ()E YE g X=1().kkkg xp=( ) ()( ) ( )dE YE g Xg x f xx+ ?- ?=,1,2,kkpP Xxk=（1）若X为离散型r.v. ,概率分布为（2）若X为连续型r.v. ，其概率密度为f ( x )，如果广义积分如果 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是1()kkkg xp=Y( ) ( )dg x f xx+ - 绝对收敛，则随机变量 的数学期望是Y注：求函数的数学期望方法（1） 先求随机变量 Y 的分布,再求数学期望（不常用）.（2） 直接应用定理1.1（常用）。第12页/共45页 例1.10 设X的分布律为 X 2 1 0 1/2 1 P 1/6 1/3 1/4 1/12 1/6求 , . ()E aXb+)(2XE解22222211111119()( 2)( 1)01634212616E X骣= -+ -+=桫111111()( 2)()()6342126E aXba ba bba ba b骣+= -+ - + + +桫11.24ab= -+例1.11 设 ，求 ) 1, 0( NX)(2XE解222221()( )ded1.2xE Xxxxxxjp+ + - - =蝌第13页/共45页2kXY 2222011( )()( )dd3aE YE kXkx f xxkxxkaa+ - =蝌例1.12 设X在区间(0, a)上服从均匀分布，求 的数学期望.1,0,( )0,.xaf xa=其他解 X 的密度为 则 例1.13 设 X 的概率密度为1cos ,( )2220,xxf xpp-=其他XZXYcos,sin，求 ,)(YE)(ZE解xxxfXEYEd)(sin)(sin)(.0dcos21sin22xxx( )(cos)cos( )dE ZEXxf xx221coscos d2xx x201cos2d2xx.4第14页/共45页 定理1.2 设随机变量Z是 X、Y 的函数Z=g (X, Y)，（2）若( X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为 yxyxfyxgYXgEZEdd),(),(),()(（1）若(X, Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为, 2, 1,jiyYxXPpjiij11),(),()(jiijjipyxgYXgEZE如果 绝对收敛，则随机变量Z 的数学期望是11( ,)ijijjig x yp则随机变量Z 的数学期望是f (x, y) ，如果 绝对收敛，( , ) ( , )d dg x y f x yx y第15页/共45页例1.14 设( X, Y )的联合密度为., 0, 10, 10,),(其它yxyxyxf求 E( X )、 E( XY ) 解 yxyxxfXEdd),()(127d)(d1010yyxxx11001d()d.3xxy xyy()( , )d dE XYxyf x yx y例1.15 设 (X ,Y ) N (0,1;0,1;0), 求22YXZ的数学期望.dxdyyxfyxZE),()(22 解dxdyeyxyx2222221 2002221drdrerr2第16页/共45页 例1.16 设X N (0,1), Y N (0,1), X ,Y 相互独立，求E (max X ,Y ) . 22221)()(),(yxYXeyfxfyxf dxdyyxfyxYXE),(,max),(maxD1D22max , ( , )Dx y f x y dxdy解1max , ( , )Dx y f x y dxdy222122222121DyxDyxdxdyexdxdyeydyyedxexyx222221dxxedyeyxy222221dyyedxexyx22221dxex211第17页/共45页)(XE)(YE设 C 为常数, 和 都存在。 性质1 E (C ) = C )()(XCECXE性质2)()()(YEXEYXE性质3 证 只证明连续型随机变量情形 ，离散型的证明从略 ()() ( , )d dE XYxy f x yx y( , )d d( , )d dxf x yx yyf x yx y()( )E XE Y设 ( X, Y )的概率密度为 f (x, y)，则有第18页/共45页分别为f X ( x ) 、 f Y( y ) .则有f ( x, y ) = f X ( x ) f Y( y ) ,于是() ( ).E X E Y性质4 若X、Y 相互独立，则 E( XY ) = E( X ) E( Y ) 证 只对连续型加以证明 设 ( X, Y ) 的联合密度为f ( x, y ), 关于 X、Y 的边缘密度()( , )d dE XYxyf x yx y( )( )d dXYxyfx fyx y( )d( )dXYxfxxyfyy注： 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立。第19页/共45页其它, 0, 1,1),(22yxyxf其它, 0, 11,12)(2xxxfX其它, 0, 11,12)(2yyyfY( , )( )( )XYf x yfx fy反例但; 012)(112xxXE; 01)(122dxdyxyXYEyx0)()()(YEXEXYE第20页/共45页., 0, 10,2)(其它xxxfX, 0, 2,e)()2(其它yyfyY)(XYE2. 解)()()(YEXEXYE例1.17 设 X 与 Y 独立， 求 ( )d( )dXYxfxxyfyy1(2)022 dedyxx xyy注 不是所有的 r.v.都有数学期望例如 柯西(Cauchy)分布的密度函数为xxxf,)1 (1)(22|( )(1)xx f x dxdxx但发散它的数学期望不存在!第21页/共45页 引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲 10, 7, 9, 8, 10, 6, 乙 8, 7, 10, 9, 8, 8, 问哪一个射手的技术较好？解 首先比较平均环数甲 = 8.3,乙 = 8.3再比较稳定程度甲：222222 (10 8.3)(9 8.3)(8 8.3)(78.3)(6 8.3)13.34乙：2222(10 8.3)(9 8.3)3 (8 8.3)(78.3)5.34 乙比甲技术稳定，故乙技术较好.进一步比较平均偏离平均值的程度13.34/62.22甲：乙：5.34/60.89第22页/共45页 定义2.1 D(X)=EXE(X)2 称为随机变量 X 的方差.称 为 X 的均方差或标准差.)(XD 注：D(X ) 描述 r.v. X 的取值偏离平均值的平均偏离程度，是一个数值。方差的计算公式 1设 X 为离散型随机变量，分布律为则12)()(kkkpXExXD,1,2,kkP Xxp k 2设 X 为连续型随机变量，概率密度为f (x), 则xxfXExXDd)()()(2322)()()(XEXEXD证222()()2() () D XE XE XE XXE XE X22()2() ()E XEXE XE E X22()2 () () ()E XE X E XE X22() () .E XE X第23页/共45页222() ()()(1).E XE XpD Xppp例2.1 设 X 服从参数为 p 的( 0 1)分布，求D( X ) 解 X 0 1 p 1 p pE( X ) = p ,2220()()11,EpXpp例2.2 设 ，求)(XD( X )解e!kkXPpkk, 2, 1, 0k)(XE2()(1)(1)()E XE X XXE X XE X0e(1)(1)!kkE X Xk kk22222ee e,(2)!kkk22(),E X2222()(E XE XD X第24页/共45页例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).解(1),0,1,2,kkn knP XkC ppknE(X)=n p2021nn kkknkk cEpXp 11 1!11 !nn kkkknppknk 12!111 !2 !nnn kn kkkkknnppppknkknk122121!2 !1111!2 !nnn kn kkkkknnnpppn npppkn kkn k12122001!2 !111!1!2 !nnn kn kkkkknnnpppn npppk n kk n k 21npn np22222() ()(1)E XE XnpnnDnpXp1npp第25页/共45页例2.4 设X 参数为 p 的几何分布，求D( X ).解1(1),1,2, ,kP Xkppkn1()E Xp21211kkkE Xpp 1111111kkkkpkkppkp12112nnppxxx利用222211() ()1()E XE XppD Xpp例2.5 设 X 在 a , b上服从均匀分布，求D( X ) 解, 0,1)(其它bxaabxf2)(baXE222221()3( )dd,baaabbEx f xxxxbaX222()()() ().12baD XE XE X第26页/共45页1e,0( )0,0 xxf xx()E X222()(.)E XE XD Xxxfx,e21)(222)()(XE例2.6 设 X 服从参数为 的指数分布，求 D( X ) 解22220()21( )ded,xx f xxxxE X),(2NX例2.7 设 ，求D( X ) 解2)22(1()()e(d2xxD XE XExX2222ed2tttxt令2第27页/共45页常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 （0-1）分布1, 0 1P Xp P Xp p(1-p)B(n,p)(1),0,1,2,kkn knP XkC ppknnp(1-p) (),0,1,2,!keP Xkkk参数为 p 的几何分布1(1),1,2, ,kP Xkppkn21pp第28页/共45页分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它, 0,1)(bxaabxf12)(2ab1,0,( )0,xexf x其它2N(, 2)222)(21)(xexf2参数为 的指数分布第29页/共45页0)0()()()(22ECCECECECD)()(2XDCCXD)()()()(2222XDCXEXCECXECXECXD性质1 设 C 为常数，则 D(C ) = 0证性质2证性质3证()()D XCD X2()()D XCE XCE XC 2E XC E XE C2E XE X()D X性质4()( )( ) 2 ( )( ) ( )( )D XYD XDYE XE XE YE Y若X 与Y 相互独立，则有)()()(YDXDYXD证2()() D XYEXYE XY2()( )EXE XYE Y22()2()( )( ) EXE XXE XYE YYE Y22()( )2 ()( )E XE XE YE YEXE XYE Y()( )2 ()() ( )( )D XD YE XE XE YE Y第30页/共45页()( )0EXE XYE Y()( ).D XD Y若X 与Y 相互独立，()D XY()( )2 ()() ( )( )D XD YE XE XE YE Y则性质5 随机变量X的方差D(X)=0的充分必要条件是：X以概率1取常数C=E(X),即1P XC注 ()0D X X恒取常数例2.3 设X B( n , p)，求D(X ).解一 前面已求解。发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi, 0, 1ni,2, 1)1()(ppXDiniiXX1故)1 ()()(1pnpXDXDniinXXX,21解二 引入随机变量nXXX,21相互独立，且第31页/共45页例2.8 设 X 与 Y 相互独立， ， ，求( )2D X =(10, 0.2)YB(35 )DXY-解22(35 )3()5( )DXYD XD Y-=+9225 100.20.858.=创 例2.9 已知X ,Y 相互独立, 且都服从N (0,0.5), 求 E( | X Y | ).) 5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX()0,()1E XYD XY-=-=故(0,1)ZXYN=-解221(|)(|)|ed2zEXYE Zzzp+ ?- ?-=22022ed.2zzzpp+ ?-=第32页/共45页例2.10 已知 X 的 概率密度为2,01,( )0,AxBxxf x+0, 则称*()()XE XXXnD X第34页/共45页（1）仅知r.v.的期望与方差并不能确定其分布XP -1 0 1 0.1 0.8 0.1YP -2 0 20.025 0.95 0.0252 . 0)(, 0)(XDXE2 . 0)(, 0)(YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如注 （2）在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布. 例如 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y =1 2 X , 求Y 的密度函数.解( )12 1.72.4,E Y ( )4 312D Y 2(2.4)241( )e,2 6yYfyyp+-=- ? 0, D (Y ) 0 , 存在，则称Cov(, )X Y为 X 与 Y 的相关系数。记为.XY若, 0XY 称 X ,Y 不相关.性质1 22Cov,X YEXE XYE Y 22EXE XE YE Y D X D Y因此)()(| ),(Cov|YDXDYXCov(,)1()( )XYX YD XD Y注),cov(YXXY 证 由柯西许瓦兹不等式 可得222()()E XYE XE Y 第37页/共45页Cov(, )0,0.XYX Y性质3 若 X 与 Y 相互独立，则性质4 的充分必要条件是：存在常数 a, b,使得1|XY1.P YaXb0XYX , Y 不相关ov(, )0CX Y )()()(YEXEXYE)()()(YDXDYXDX ,Y 相互独立X , Y 不相关等价命题：1|XY表明X与Y之间以概率1存在线性关系。|XY较大表明X与Y之间线性相关程度较好。|XY较小表明X与Y之间线性相关程度较差。0XY表明X与Y不相关。不相关是就线性关系而言，相互独立时就一般关系而言的。第38页/共45页 例3.2 设二维随机变量 ( X, Y )的概率分布为 X Y 1 0 1 -1 1 / 8 1 / 8 1 / 8 0 1 / 8 0 1 / 8 1 1 / 8 1 / 8 1 / 8证明 X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相互独立 证( X, Y )关于X 和Y 的边缘分布为X 1 0 1P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 Y 1 0 1 P 3 / 8 2 / 8 3 / 8 323()1010( )888E XE Y ,()0ijiji jE XYx y p于是有Cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y因此 ，即 X 与 Y 不相关0XY由于11,1,8P XY 3391 1,8864P XP Y 所以 X 与 Y 不相互独立第39页/共45页例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为, 0,1,1),(22其它yxyxf验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立解1:22 yxD()( , )d d( , )d dDE Xxf x yx yxf x yx y2120011d ddcos d0,Dx x yrr同理( )0,()0.E YE XY于是Cov(, )()() ( )0X YE XYE X E Y因此 ，即 X 与 Y 不相关0XY第40页/共45页221, | | 1,( )( , )d0,Xxxfxf x y y其它221, | 1,( )( , )d0,.Yyyfyf x y x其它例3.3 设 ( X,Y ) 的联合概率密度为, 0,1,1),(22其它yxyxf验证 X 与 Y 不相关，但不相互独立解222411, | | 1,| | 1,( )( )0,XYxyxyfx f x其它( , )( )( ),XYf x yfx fy所以 X 与Y 不相互独立.第41页/共45页例3.4 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY 12ov(, )()() ( , )CX Yxyf x y dxdy dudteutttu22221)1 (2)( 22112st u令dsdtesttts22221)()1(21 22112sx11ty22解dtetduetu222212)1 (222112 21 XY则X ,Y 相互独立X ,Y 不相关若 ( X ,Y ) N ( 1, 12, 2, 22, ),注第42页/共45页4 矩 定义4.1 设X与Y是两个随机变量,称E(Xk)为X的k阶原点矩; 称EX E( X ) k 为X的 k 阶中心矩；称E( X k Y l ) 为X与Y 的 k + l 阶混合原点矩；称 EXE( X ) k YE( Y ) l为X与Y 的 k + l 阶混合中心矩注 E( X )是X的1阶原点矩。D( X )是X的2阶中心矩。Cov(, )X Y是X与Y的2阶混合中心矩。定义4.2 设二维随机变量（X1, X2）关于X1和X2的二阶中心矩和二阶混和中心矩,1,2ijiijjcEXE XXE Xi j都存在，则称矩阵11122122ccCcc为二维随机变量（X1, X2）的协方差矩阵。第43页/共45页 性质1 n维随机变量 服从n维正态分布的充分必要条件是12,nXXX12,nXXX的任意线性组合1122nnk Xk Xk X都服从一维正态分布，其中 为任意常数。12,nk kk性质2 如果 服从 n 维正态分布，设12,nXXX12,mY YY是 的线性函数，则1,2,iXin12,mY YY也服从多维正态分布。性质3 设 服从 n 维正态分布，则12,nXXX12,nXXX相互独立12,nXXX两两不相关。第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页