传递函数与干预变量实用教案

1主要主要(zhyo)内容和要求内容和要求 本章讨论多元的时间建模的相关问题。主要内容和要求： 1.定义传递函数模型的形式； 2.研究传递函数模型和脉冲响应函数的基本特征和性质(xngzh)，以及传递函数模型的稳定性； 3.介绍传递函数模型的识别、估计和诊断校验。 4.干预变量模型识别、估计和诊断校验。 要求学生掌握有关传递函数模型的理论、脉冲响应函数与互相关函数的关系。传递函数建模过程和干预变量模型建模过程。第1页/共96页第一页，共97页。2 在前几章，我们讨论了单变量时间序列分析的建模、估计和诊断有关的问题。本章与前面几章不同的是，所涉及的变量在两个以上。实际上在很多场合，时间序列当期的表现，不仅受自己过去的影响，还与另一个或者多个时间序列相关联。例如销售变量可能与广告支出有关，每天用电支出可能与一定的天气变量，比如室外最高气温和相对湿度的序列有关。传递函数模型(mxng)是分析一个输出变量与一个或多个输入变量有关的动态模型(mxng)的一种方法。第一节第一节 传递函数模型传递函数模型(mxng)的基本概念的基本概念第2页/共96页第二页，共97页。3一、模型一、模型(mxng)的形式的形式 设表示某种商品在一段时间的销售额Yt，由于经济( jngj)时间序列通常的有记忆性，可以用一个ARMA模型来描述其变化规律，假定其变化规律的表达式为10.46tttYY 如果我们考虑广告费，广告费对销售额的影响不仅有即期影响，还具有一定的滞后效应，假定(jidng)其滞后的影响是一期，那么在式中就应加入广告费的滞后一期值和即期值。第3页/共96页第三页，共97页。4 如果广告费的滞后一期值对销售额的影响(yngxing)效用是0.60，即期影响(yngxing)是0.55，则这个简单的输出和输入关系为110.460.550.60tttttYYXX 如果(rgu)用后移算子B，模型的等价形式为0.550.60110.4610.46tttBYXBB第4页/共96页第四页，共97页。5 模型的基本原理是输入Xt通过传递(chund)函数算子 传递(chund)到输出Yt上，而随机扰动项通过算子叠加到输出上，最终输出Yt。 0.550.6010.46BB110.46B第5页/共96页第五页，共97页。6 一个输入变量的单输出(shch)的线性系统的形成机理可以由图5-1表示。 动态系统输入xt输出yt随机干扰t图图5-1 动态动态(dngti)系统图示系统图示第6页/共96页第六页，共97页。7传递函数模型的一般传递函数模型的一般(ybn)形式形式 ( )( )(5.1)( )( )btttB BBYXE BB 其中(qzhng)(B)、(B)、(B)和(B)是后移算子的多项式，阶数分别为s、r、q及p。 (B)和(B)描述(mio sh)Xt 对Yt影响。 (B)和(B)描述(mio sh)随机干扰项对Yt影响。 b称为延迟参数，即Xt 的b期滞后值才开始对Yt产生影响Xt 。 at为随机干扰项。( )( )bB BE B 为传递函数。第7页/共96页第七页，共97页。8其中(qzhng)01( )ssBBB1( )1rrE BBB 1( )1qqBBB 1( )1ppBBB 第8页/共96页第八页，共97页。9传递函数模型传递函数模型(mxng)形成机理形成机理 图5.2 一般(ybn)传递函数模型形成过程第9页/共96页第九页，共97页。10二、脉冲二、脉冲(michng)相应函数特征相应函数特征 传递函数是由B的多项式构成，即 所以，确定了其传递函数部分三个参数s、r和b，传递函数基本情况就了解了。传递函数的特征(tzhng)为传递函数的三个参数的的判定提供了依据。由于传递函数V(B)是有理函数，则V(B)可以表示为B的无穷阶的多项式。( )( )(5.2)( )bB BV BE B第10页/共96页第十页，共97页。11传递函数的多项式形式传递函数的多项式形式(xngsh)为为 V(B)的系数(xsh)vj（j=1,2，）称为脉冲响应函数。 说明Xt的滞后变量是如何影响Yt。有 2012( )V BBB2101201(1)()()rsbrsBBBBBBB 21101201(1)()()rbbb srsBBBBBBB 可以用待定系数法求V(B)的系数vj (j=1,2，)， vj称为脉冲响应函数(hnsh), 描述Xt的滞后变量是如何影响Yt。第11页/共96页第十一页，共97页。12总结起来(q li)脉冲响应函数有如下几个特征：脉冲响应函数(hnsh)vj的形式，112111210,1,2,(5.3)jjjrj rj bjjrj rjbvvvjb bbbsvvvjbs（1）前b个脉冲(michng)函数值为零，即v0= v1 =vb-1；第12页/共96页第十二页，共97页。13 （2） 当时 ， 脉冲响应函数由式 确定，因为j-b是不同(b tn)的参数，这时的脉冲响应函数无固定形式；,1,2,jb bbbs1121jjjrj rj bvvvv第13页/共96页第十三页，共97页。14 （3）当jb+s时，j-b 均为零，这时则有 这恰好是一个r阶的差分方程(fngchng)，可见当jb+s时的脉冲响应函数是该方程(fngchng)的解，所以当jb+s+1时，脉冲响应函数呈指数衰减，r个初始响应函数为 结合这3点，我们可以得到三个参数r、s和b的值。 1121jjjrj rvvvsbrsbrsbv,21。 第14页/共96页第十四页，共97页。15三、常见三、常见(chn jin)的传递函数的形式的传递函数的形式 为了进一步了解传递函数模型，下面(xi mian)给出几个低阶的传递函数模型，从低阶的传递函数模型体会传递函数模型的结构。在应用研究中r和s均较小，一般不超过2。第15页/共96页第十五页，共97页。16（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，0，0）（2，0，1）（2，0，2） 1.r=0 1.r=0的情形的情形(qng xing)(qng xing)23012301()()bb sbb ssbsBBBv BvBBBB220120BBB01020 230123201()()BBBB B0102031 23401234()BBBB22012()BBB01020，31 ，42 第16页/共96页第十六页，共97页。172.r=1的情形的情形(qng xing)231012301(1)()()b sb ssbsBBBBvBBB B（b，r，s）传递函数脉冲响应函数（2，1，1）（2，1，2）20121201(1)()BBBB B2301231(1)BBBB22012()BBB010，20，211v 010，20，31 21v ，312v 第17页/共96页第十七页，共97页。18四、传递函数的稳定性四、传递函数的稳定性 在一元的时间序列分析中，需要讨论序列的平稳性，在传递函数模型中，称为稳定性，其稳定性表现在两个方面。一个(y )是针对传递函数( )( )BB讨论(toln)。另一个是针对 讨论(toln)。( )( )( )bB BV BE B第18页/共96页第十八页，共97页。19 从时间序列滞后的特点来看，既往输入系统(xtng)的变量，滞后期越长，对系统(xtng)的影响则越小，所以脉冲响应函数vj( j=1，2，）应该快速收敛到零，这样传递函数则更稳定性。 为了满足vj( j=1，2，）快速收敛到零，则要求E(B)构成的特征方程的根必须在单位圆之内。110rrr 第19页/共96页第十九页，共97页。20 对于随机干扰(gnro)部分的平稳性要求与前面对ARMA模型平稳性的要求是一样的，要求由(B)构成特征方程 的根在单位圆之内。110ppp 第20页/共96页第二十页，共97页。21【例5.1】假设( jish)传递函数模型为讨论其稳定性。 321 0.361 0.750.25(1 0.45 )tttBBYXaBBB，解：由算子(sun z) 构成的特征为21 0.750.25BB20.750.250其根为21,20.750.754 0.250.750.660.3750.33122ii 第21页/共96页第二十一页，共97页。22 而两个根的模 所以特征方程的根在单位圆之内，传递函数是平稳的。又由于特征方程 的根为0.45，小于1，所以模型(mxng)的随机干扰项部分是平稳的。所以该传递函数模型(mxng)是平稳的。220.3570.3310.25010.450第22页/共96页第二十二页，共97页。23第二节第二节 传递函数模型的识别传递函数模型的识别(shbi)与估计与估计 涉及单变量问题的ARMA模型(mxng) ，其识别工具主要是自相关和偏自相关函数的截尾性质，之所以称为自相关，是因为它们均讨论同一变量在两个不同时刻输出之间的相关性。而传递函数的模型(mxng)是多元的时间序列分析，模型(mxng)的识别会同时涉及到互相关（交叉相关）和自相关问题，因为自相关在前面的章节已经讨论，所以这里只讨论互相关（交叉相关）的问题。第23页/共96页第二十三页，共97页。24一、互相一、互相(h xing)关函数关函数 (一) 互相关函数定义 定义（互相关函数）：给定时间序列(xli)Xt和Yt， （t=1，2，），二者均为一元平稳时间序 列。称cov(,)()()()(5.4)tsXYtxsyX XtsE XY 为互协方差函数(hnsh)。第24页/共96页第二十四页，共97页。25 为互相关函数，记为CCF。互相关函数刻画了两个时间序列(xli)之间的时滞相关性，如果(xt，ys)(t0）的影响可能很小 ，甚至为零，Xt但是对于Yt+s的影响会比较大，因为当前的广告费会对未来的销售额产生影响。至于相关性会到达什么程度，或者什么方向，要根据(gnj)实际问题而言。第27页/共96页第二十七页，共97页。28（二）样本互相（二）样本互相(h xing)关函数关函数 由于总体的互相关函数是未知的，通常(tngchng)需要用一个跨度为N的样本来估计总体互相关函数，假设这个跨度为N的样本为(X1，Y1)， (X2，Y2)， (XN，YN)，不妨假设Xt和Yt为平稳的时间序列。因为如果二者是非平稳的，总可以经过d阶差分将其转换为平稳的时间序列。样本的互协方差函数为111( )()()05.81( )()()0Nxytt ktNxyt kttCkxxyykNCkxxyykN（）第28页/共96页第二十八页，共97页。29样本(yngbn)的互相关系数为 ( ) ( )0, 1,2,5.9xyxyxyCkkkS S （） 其中(qzhng) 分别是两个序列的均值和标准差。xyxySS、 、和 在实际中，为了(wi le)获得互相关函数有统计意义的估计，样本容量要求至少为50对观测值，但是为了(wi le)了解互相关函数计算的原理，下面我们模拟一个二变量的时间序列的样本，并给出计算的过程。第29页/共96页第二十九页，共97页。30 【例5.1】 对表5-3中模拟的序列(xli)，计算互相关系数。txtyt111 70-12710-42396-2-241271-15148306131022XXYY第30页/共96页第三十页，共97页。31 分别计算出两个(lin )序列的均值分别为11和8，标准差分别为2.38和1.53。 先计算互协方差函数：511(1)()()6xytttCXXYY102( 4)( 2)( 2)( 1)1 03 26 1162.6676第31页/共96页第三十一页，共97页。32511( 1)()()6xytttCXXYY 1( 4)(1)( 2)21 ( 2)3 ( 1)206 1( 13)2.1676 第32页/共96页第三十二页，共97页。33再计算( j sun)互相关函数 (1)2.667(1)0.7322.38 1.53xyxyxyCS S ( 1)2.167( 1)0.5952.38 1.53xyxyxyCS S 从这里(zhl)的计算结果可以看出互相关系数不是对称的，即不仅与间隔有关，还与方向有关。 第33页/共96页第三十三页，共97页。34 【例【例5.35.3】本例的数据来源于】本例的数据来源于BoxBox与与JenkinsJenkins合著时间序列分析合著时间序列分析预测与控制预测与控制序列序列M M。序列。序列M M是是19701970年某种商品的销售额与销售额的领先年某种商品的销售额与销售额的领先(ln xin)(ln xin)指标共指标共150150对数据，图对数据，图5-45-4是领先是领先(ln xin)(ln xin)指标指标XtXt的数据图，图的数据图，图5-55-5是销售额指标是销售额指标YtYt的数据的数据图，图图，图5-65-6是利用是利用SASSAS计算的差分数据计算的差分数据XtXt和和YtYt的互相关函数。的互相关函数。第34页/共96页第三十四页，共97页。35xt91011121314time0102030405060708090100110120130140150tx图图5-4 领先领先(ln xin)指标的指标的趋势图趋势图第35页/共96页第三十五页，共97页。36yt190200210220230240250260270time0102030405060708090100110120130140150图图5-5 销售额的趋势销售额的趋势(qsh)图图第36页/共96页第三十六页，共97页。37 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 0.00094366 0.00208 | . | . | -7 0.00094366 0.00208 | . | . | -6 -0.048176 -.10622 | . -6 -0.048176 -.10622 | .* * *| . | . | -5 0.030690 0.06766 | . | -5 0.030690 0.06766 | . |* * . | . | -4 -0.013401 -.02955 | . -4 -0.013401 -.02955 | . * *| . | . | -3 0.024782 0.05464 | . | -3 0.024782 0.05464 | . |* * . | . | -2 -0.026508 -.05844 | . -2 -0.026508 -.05844 | . * *| . | . | -1 0.043985 0.09698 | . | -1 0.043985 0.09698 | . |* * *. |. | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 0 -0.0014380 -.00317 | . | . | 1 0.032168 0.07092 | . | 1 0.032168 0.07092 | . |* * . | . | 2 -0.172487 -.38029 | 2 -0.172487 -.38029 | * * * * * * * * *| . | . | 3 0.326598 0.72007 | . | 3 0.326598 0.72007 | . |* * * * * * * * * * * * * * * | | 4 0.047392 0.10449 | . | 4 0.047392 0.10449 | . |* * *. |. | 5 0.049176 0.10842 | . | 5 0.049176 0.10842 | . |* * *. |. | 6 0.019792 0.04364 | . | 6 0.019792 0.04364 | . |* * . | . | 7 0.064040 0.14119 | . | 7 0.064040 0.14119 | . |* * * * | |. marks two standard errors. marks two standard errorstxty Xt 的的 yt互相互相(h xing)关函数关函数图图图图5-65-6 第37页/共96页第三十七页，共97页。38txty “.”标志相关系数两倍标准差处，可以看出当滞后期数k1时，互相关函数(hnsh)显著为零，接着滞后期数k2和k=3时的互相关函数(hnsh)分别为-0.3803和0.7201，从统计的角度显著不为零，说明Xt的滞后2期和3 期对Yt影响显著性。第38页/共96页第三十八页，共97页。39（三）互相关函数（三）互相关函数(hnsh)与传递函数与传递函数(hnsh)的关系的关系 如前所述，传递函数模型可以表示为以脉冲响应函数为系数的时间序列各个时刻值Xt ，Xt-1 ，的加权和，互相关函数又是识别传递函数的模型工具(gngj)。互相关函数和脉冲响应函数关系如何呢？后面将进一步讨论。 第39页/共96页第三十九页，共97页。40假设(jish)模型Yt为2012( )tttttYV B XBBX 设 011t kt kt kt kYXX 将两边(lingbin)同时乘以Xt，则011t ktt ktt ktt ktYXXXXXX 两边同时求数学(shxu)期望，有011()()()()t ktt ktt ktt ktE YXE XXE XXEX 第40页/共96页第四十页，共97页。41因为变量Xt与随机(su j)干扰项 t相互独立，则有，01( )( )(1)xyxxkkk , 2, 1, 0k上式两边同时除以x和y ，得互相(h xing)关函数为01( )( )(1)(0)(5.10)xxyxxkxykkkv ( )0 xk第41页/共96页第四十一页，共97页。42 从（5.10）式可以(ky)看出互相关函数xy(k)、脉冲响应函数vj和X的自相关函数x(k)、之间的关系。如果能从（5.10）式中解出脉冲响应函数，那么模型的传递函数就得到了。遗憾的是（5.10）式的未知参数有无穷项，直接求解是不可能的。但是输入时间序列是白噪声序列，情况就大为不同了，因为白噪声序列的自相关函数为0，这时（5.10）式的右边除了 之外，其余的项均为零，则（5.10）式可简化。(0)kxv第42页/共96页第四十二页，共97页。43即简化( jinhu)为如下的形式 ( )(5.11)xxykykv( )(5.12)ykxyxk第43页/共96页第四十三页，共97页。44 这给了我们极好的启示，如果能够找到新序列，其派生于Xt，既带有Xt的信息，又是白噪声序列，问题就可以得到解决。而这时模型的传递函数(hnsh)和互相关函数(hnsh)之间仅相差一个常数因子 ， 这个常数因子是可以通过样本估计出来的。 /yx第44页/共96页第四十四页，共97页。45 如前所述，如果输入的时间序列是白噪声，则可以得到如（5.11）和(5.12)式那样简单的脉冲响应函数与互相关函数的关系式，为了达到这个目的(md)，我们对Xt和Yt做预白化处理， 即建立模型过滤Xt和Yt。使输入的是 Xt和Yt，而输出的是两个白噪声序列t和t。 关于传递函数的预白化过程通过统计软件可以得到。第45页/共96页第四十五页，共97页。46设传递函数模型(mxng)为( )tttYB X假定输入序列(xli)Xt是一个平稳序列(xli)，其适应的模型为( )( )ttB XB ( )(5.13)( )ttBXB有第46页/共96页第四十六页，共97页。47 其中t为白噪声序列，由于是Xt滤波后的结果，含有(hn yu)Xt的信息 。假定输出序列Yt与输入序列Xt有同样的特征，那么用这个相同滤波器 也可以将Yt进行滤波，得( ) /( )BB( )(5.14)( )ttBYB第47页/共96页第四十七页，共97页。48将代入（5.14）式，则( )tttYB X( ) ( )( )tttBB XB( )( ) ( )( )( )ttBBBBB( )(5.15)kvk( )( )( )ttBV BB第48页/共96页第四十八页，共97页。49 例【5.4】继续利用(lyng)例【5.3】的数据计算预白化后的序列和的互相关函数。 (1 0.4492 )ttxB(1 0.4492 )ttxB或0.2793Stx(1 0.4492 )ttYB1.9480Sty 通过识别，差分后的序列 服从(fcng)一阶移动平均模型，建立模型为：预白化变换(binhun)后的标准差 。对 yt 施加同样的变换，得预白化数据的标准差 第49页/共96页第四十九页，共97页。50互相(h xing)关函数 Lag Covariance Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 -7 -0.0013061 -.00240 | . | . | -6 -0.034684 -.06374 | . *| . | -5 0.013016 0.02392 | . | . | -4 0.0012583 0.00231 | . | . | -3 0.022045 0.04051 | . |* . | -2 0.0054125 0.00995 | . | . | -1 0.051478 0.09460 | . |*. | 0 0.034232 0.06291 | . |* . | 1 0.043060 0.07913 | . |*. | 2 0.010062 0.01849 | . | . | 3 0.367442 0.67523 | . |* | 4 0.246112 0.45227 | . |* | 5 0.185447 0.34079 | . |* | 6 0.140160 0.25757 | . |* | 7 0.145861 0.26804 | . |* | 8 0.107803 0.19811 | . |* | 9 0.094235 0.17317 | . |* | 10 0.053115 0.09761 | . |*. | 11 0.078822 0.14485 | . |* | 12 0.038038 0.06990 | . |* . |. marks two standard errors图5-7 预白化变量序列t和t的互相(h xing)关函数图第50页/共96页第五十页，共97页。51 预白化变量序列和的互相关函数第一个显著不为零的为 ，即滞后期是3时， 0.67523。图5-6和图5-7的图形略有不同，这是因为图5-6是Xt和Yt的互相关图，而图5-7是Xt和Yt被预白化后序列的t和t的互相关图。进一步根据式（5.11）或（5.12）可以(ky)计算出模型的脉冲相应函数，以 k=-7为例，计算脉冲相应函数(3)(3)71.9480( 7)( 0.0024)0.01670.2793v 第51页/共96页第五十一页，共97页。52表表5-4 互协方差、互相关和脉冲响应函数互协方差、互相关和脉冲响应函数(hnsh)的计算表的计算表( )k1.948( )0.2794kvk滞后期（k）互相关函数脉冲响应函数-7-.00240-0.0167 -6-.06374-0.4446 -50.023920.1668 -40.002310.0161 -30.040510.2825 -20.009950.0694 -10.094600.6598 00.062910.4388 10.079130.5519 20.018490.1290 30.675234.7094 40.452273.1544 50.340792.3769 第52页/共96页第五十二页，共97页。53图图5-8 脉冲响应函数脉冲响应函数(hnsh)数据图数据图第53页/共96页第五十三页，共97页。54 将表5-4的脉冲响应函数在直角坐标系中画出，如图5-8，将图5-8和图5-7相比较，可以(ky)看出脉冲响应函数和互相关函数几乎具有相同的模式，这就从非常直观的角度说明，我们完全可以(ky)依据互相关函数来判定传递函数分子和分母多项式的阶数r和s以及延迟参数b。第54页/共96页第五十四页，共97页。55 二、二、 传递函数模型传递函数模型(mxng)(mxng)的识的识别别 传递函数模型有两个部分，一个是传递函数部分，另一个是随机干扰部分。所以模型的识别也包括两个部分。其一：识别传递函数分子和分母多项式的阶数r和s以及延迟参数b的阶数。其二对噪声部分模型的识别。基本步骤是先根据脉冲相应函数与互相关函数的关系估计出 ，根据 的特征(tzhng)确定s、r和，由于总体的互相关函数是未知的，用样本的互相关函数来估计。 (1,2,.)jvj jv第55页/共96页第五十五页，共97页。56步骤步骤(bzhu)如下：如下： 1.首先估计预白化变量t和t，计算t和t的相关系数 ； 然后根据 估计脉冲响应函数 。 2.根据估计出的脉冲响应函数性质判定s、r和； 3.噪声部分的识别，检查( jinch)噪声部分的自相关和偏自相关函数的特征。观察噪声部分ARMA模型的阶数。( )kvk( )kkv第56页/共96页第五十六页，共97页。57 例【5.5】 继续(jx)例【5.4】，判定传递函数的阶数r，s和b。 从图5.7可以看出，预白化变量(binling)序列t和t的互相关函数第一个显著不为零的为r(3)，r(3)=0.67523，所以延迟参数为b=3。从 开始，脉冲响应函数快速衰减到零，则r=1 ， s=0。初步传递函数的模型为 14ksb 30212(1-)tttBYXuBB301(1)tttBYXuB第57页/共96页第五十七页，共97页。58三、传递函数模型三、传递函数模型(mxng)的估计与检验的估计与检验 （一） 模型(mxng)的估计 根据前面一节的识别过程，通过对系统脉冲响应函数的矩估计，已经对系统的传递函数部分的阶数(r，s，b)和随机干扰项的阶数（p，q）进行了初步识别，用，和分别表示（），（），E(B)和（）的系数向量，它们(t men)是待估计的参数向量，根据传递函数的模型 ( )( )( )( )btttB BbYXaE Bb可以改写模型为 ( )( )( )5.18)( )( )( )btttbB BbaYXbE Bb（第58页/共96页第五十八页，共97页。59 在给定(i dn)样本序列 的条件下，求得样本的残差序列 ，且 是未知参数的函数，即使 21( , , ,)( , , ,)NttS , , , 2211( , , ,)NattN 达到极小的 就是(jish)参数的最小二乘估计，而是方差(fn ch)的估计量。(,)(1,2,)ttx ytNt( , , , )tttt第59页/共96页第五十九页，共97页。60解：我们(w men)选择第二个模型进行估计。（1）首先）首先(shuxin)对模型的传递函数部分对模型的传递函数部分 301(1)tttBYXuB进行(jnxng)估计，得 34.6874(1 0.726 )tttBYXuB 例【5.6】 续例【5.3】对模型进行估计 。第60页/共96页第六十页，共97页。61参数估计相应(xingyng)的统计量如表01参数名参数名估计值估计值估计量的标准差估计量的标准差 t统计量统计量 p值值4.6870.0780860.03.00010.7260.00702103.41.0001 从t检验(jinyn)的结果可以知道0和1在统计上是显著不为零的，即传递函数部分的模型显著。第61页/共96页第六十一页，共97页。62Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Std Error 0 1.00000 | |*| 0 1 -.31447 | *| . | 0.083045 2 0.07467 | . |* . | 0.090888 3 0.00882 | . | . | 0.091310 4 -.03802 | . *| . | 0.091315 5 0.15943 | . |*. | 0.091425 6 0.02877 | . |* . | 0.093322 7 -.07483 | . *| . | 0.093383 8 0.08285 | . |* . | 0.093796 9 -.10321 | . *| . | 0.094299 10 0.13444 | . |*. | 0.095075 11 -.00392 | . | . | 0.096377 12 -.00336 | . | . | 0.096379 . marks two standard error图图5-9 传递函数部分传递函数部分(b fen)残差残差ut的自相关图的自相关图 （2）识别传递函数部分模型的残差序列遵从的模型，从残差序列ut的自相关图可以知道(zh do)，其自相关函数一阶结尾，如图5-9，则初步识别ut是一阶移动平均模型。第62页/共96页第六十二页，共97页。63 （3）根据）根据(gnj)（2）的结果，得传递函数模型的初步形状）的结果，得传递函数模型的初步形状3011(1)(1)tttBYXB aB估计整个(zhngg)模型，得 34.71987(1 0.32534 )(1 0.72496 )tttBYXB aB或 34.71987(1 0.32534 )(1 0.72496 )(1)tttBBYXaBB第63页/共96页第六十三页，共97页。64101参数名参数名估计值估计值估计量的估计量的标准差标准差t值值P值值0.29560.08033.680.00034.71790.071166.366.00010.72480.0055131.87.0001 从t统计量可以看出 ， 和 在统计上显著不为零，即传递函数模型(mxng)显著。该系统可以解释为输入变量Xt 通过 10134.7179(1 0.7248 )BB对输出变量 Yt产生影响，随机(su j)干扰项通过 (1 0.2951 )(1)BB叠加到系统上，广告费对产品销售有滞后(zh hu)3期的影响。101第64页/共96页第六十四页，共97页。65（二）（二） 模型模型(mxng)的检验的检验 在系统被识别和估计之后，还需要对模型进行诊断，检验模型的有效性。检验的内容有两类 : 其一是整个传递函数模型的是否欠拟合，即检验模型的残差是否存在自相关； 其二是残差序列与Xt派生(pishng)的预白化序列t是否互相关。第65页/共96页第六十五页，共97页。66 检验的假设为残差序列检验的假设为残差序列(xli)(xli)不存在自相关，检验的统计量为：不存在自相关，检验的统计量为：1221(2)()( ) ()KakQm mmkkKpq（5.19）其中：p和q是干扰模式的参数个数，K一般(ybn)取得足够大。 max( ,)ur sb20()pKpqQ20()pKpqQ 如果检验的P值 时，Q0为由样本计算出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适合(shh)的；否则当 模型有序列相关，需要修正改进。1.残差序列自相关检验第66页/共96页第六十六页，共97页。672. 残差序列互相(h xing)关检验因为因为(yn wi)(yn wi)传递函数模型为传递函数模型为( )( )( )( )btttB BBYXaE BB可以(ky)改写为( )( )( )( )( )( )btttBB BBYXaBE BB( )( )( )( )btttBB BYaBE B（9.20）第67页/共96页第六十七页，共97页。68 从计量经济的经典假定看，输入序列从计量经济的经典假定看，输入序列XtXt与与 Xt Xt的派生的派生(pishng)(pishng)序列序列t t应该应该与随机干扰项相互无关，所以检验它们是否存在互相关是必要的。检验的统计量为与随机干扰项相互无关，所以检验它们是否存在互相关是必要的。检验的统计量为220()( ) (1 (1)KakSnlkKrs （5.21） 其中其中r+s+1r+s+1是传递函数部分的参数个数，是传递函数部分的参数个数，n n是模型是模型(mxng)(mxng)估计的残差个数，估计的残差个数，l l是模型是模型(mxng)(mxng)参数个数。参数个数。如果如果20(1 (1)pKrsS 其中S0为由样本计算(j sun)出的统计量值，则接受无序列相关的假设，模型是适应的；否则模型存在输入变量与残差序列互相关，需要修正改进。 第68页/共96页第六十八页，共97页。69 【例【例5.75.7】续【例】续【例5.65.6】，对模型进行残差】，对模型进行残差自相关和输入变量与残差序列自相关和输入变量与残差序列(xli)(xli)的互相的互相关检验。关检验。( )k表表5-7 自相关自相关(xinggun)函数表函数表滞后期K 自相关函数16-0.0300.0850.0370.0220.1840.068712-0.0410.0590.0500.1270.028-0.0141318-0.0590.0300.0230.064-0.1030.06618240.069-0.0130.025-0.079-0.0760.086第69页/共96页第六十九页，共97页。70 根据模型的结构( jigu)b=3，r=1和 s=0，再有模型做了一阶差分，则 。max( ,)3ur sb所以(suy)有效的样本容量为 146。 根据（5.19）式，分别计算(j sun)K6，12，18和24统计量，如K=6 时，12122222(2)()( )146 148( 0.03)0.0850.0370.0220.1847.40KakQm mmkk第70页/共96页第七十页，共97页。71 计算的结果列在表5.8，可以看出该模型(mxng)的残差不存在自相关。表表5.8 残差自相关检验残差自相关检验(jinyn)统计量表统计量表K自由度自由度 统计量统计量P值值657.400.195121111.270.4213181715.230.5791242319.550.66862第71页/共96页第七十一页，共97页。72( )ak表表5-7 变量输入变量输入(shr)变量与残差的互相关函数变量与残差的互相关函数滞后期滞后期k变量输入变量与输入变量与的互相关函数050.0060.107-0.1290.058-0.0520.1996110.0100.0040.0440.0640.0180.09312170.016-0.019-0.015-0.0290.0840.0431823-0.1290.1060.0290.063-0.0460.112第72页/共96页第七十二页，共97页。73根据(gnj)（5.21）式 计算(j sun)K=5，23时的统计量值。20()( )KakSnkk520222222()( )(1453) 0.006(0.107)(-0.129)0.058( 0.052)0.19910.47akSnkk 23202222()( )(1453) 0.006(0.107).( 0.046)0.11220.58akSnkk 第73页/共96页第七十三页，共97页。74表表5.10 残差互相残差互相(h xing)关检验统计量表关检验统计量表2K自由度自由度统计量统计量P值值5410.470.0332111012.600.2466171614.110.5905232220.850.302 从计算的结果可以看出，不能拒绝(jju)残差与输入变量无互相关的假设，故认为残差与输入变量显著无关。当模型的诊断检验确定模型是适宜的，则进而可以利用模型进行结构分析和预测了。第74页/共96页第七十四页，共97页。75第三节第三节 干预干预(gny)模型模型 时间序列常受诸如节假日、罢工(b gng)、促销和其他政策变化之类的外部事件的影响，我们称这类外部事件为干预。由于外部事件的干预使时间序列呈现出一些异常，如果不对这些异常值进行处理，直接对观测值建模，其模型会缺乏代表性，不处理异常值的模型既不能代表发生干预以前的数据，也不能代表干预发生以后的数据。第75页/共96页第七十五页，共97页。76 那么如何处理这些由于外部事件的干预所产生的异常值，从而使模型有更好的拟合优度呢？一种比较直观和常见的处理方法是在模型中引入一个仅仅取0和1的变量，用以评估外部事件的发生对经济变量的影响，这种变量称为干预变量，相应的分析通常(tngchng)称为干预分析。本节讨论干预发生时间已知的情形，通常(tngchng)干预变量分析也用来分析时间序列是否有异常值发生。第76页/共96页第七十六页，共97页。77二、干预变量的类型(lixng)和组合 实际上干预模型就是在模型中引入干预变量(binling)，下面我们引入干预变量(binling)形状。 （一）干预变量 有两种最简单的干预变量是阶跃函数和脉冲函数。当外部事件在T时刻发生后，一直对经济变量有影响，这种干预可用阶跃函数式表示(biosh)，如图是阶跃函数的图形。第77页/共96页第七十七页，共97页。78TtS 01TttTStTt1T阶跃函数阶跃函数(hnsh)第78页/共96页第七十八页，共97页。79 10TttTPtT( )TtPt1T 另一种干预在时刻T，仅对该时刻有影响，马上会快速回到干预没有(mi yu)发生前的情形，这种干预变量用脉冲函数式表示。如图所示。脉冲脉冲(michng)函数函数第79页/共96页第七十九页，共97页。80（二）干预(gny)模型中常见的干预(gny)变量的形状 实际上，当干预发生之后，经济现象并非马上做出反映，或者有一定的滞后期，或者当干预发生后经济现象做出的反映可能是缓慢上升或缓慢下降，可能开始时缓慢上升而后又缓慢下降回到没有发生干预的水平(shupng)，由此我们总是可以将阶跃函数和脉冲函数进行某种处理，使之更适合我们要讨论的问题。常见的形状有很多，下面列出常见的形状。第80页/共96页第八十页，共97页。81（1）突然发生）突然发生(fshng)持续时间长久持续时间长久 突然(trn)发生持续时间长久的干预影响的函数形式为 ，如图5.10所示。 TbtB S TbtB StTb图5.10 函数(hnsh)的图形 TbtB S第81页/共96页第八十一页，共97页。82（2）缓慢发生）缓慢发生(fshng)持续时间长久持续时间长久 缓慢(hunmn)发生持续时间长久的干预影响函数为 1bTtBSB 随机随机(su j)模拟序列（模拟序列（n=100）(39)31 0.65tttBYSaB第82页/共96页第八十二页，共97页。83 此种干预影响在T时刻(shk)发生，滞后期为b期，即在T+b期系统有所响应，但是由于函数有因子 ，所以反映是缓慢的。11 0.65B第83页/共96页第八十三页，共97页。84（3）突然发生）突然发生(fshng)持续时间短持续时间短暂暂 突然发生持续时间短暂的干预影响函数为 其表现为在T时刻发生的干预，在T+b时刻才做出反映，且仅仅( jnjn)在T+b时刻才做出反映，影响的效率为。如下图所示。 TbtB P第84页/共96页第八十四页，共97页。85 1bTtBPB随机随机(su j)模拟序列模拟序列2(39)5(1 0.45 )tttZB PB a第85页/共96页第八十五页，共97页。86（4） 缓慢发生(fshng)持续时间短暂 缓慢发生(fshng)持续时间短暂的干预影响结构为 缓慢发生(fshng)持续时间短暂的干预影响函数表现为T时刻发生(fshng)的干预，在T+b时刻开始影响，但是影响的效率比较缓慢，且很快恢复到以前的情形。如图所示。 BBPbtT1第86页/共96页第八十六页，共97页。87(39)510.8tttBYPaB随机模拟随机模拟(mn)序列序列第87页/共96页第八十七页，共97页。88 在估计干预变量模型时，我们可以根据系统(xtng)数据输出的特点，考虑干预变量有如何的结构。在较复杂的情况时，还可以将上面的四种情况组合起来。模仿传递函数的模型，一个干预模型有如下形式： 1( )( )( )( )bjjkjtttjjB BBycIaBB 其中 为干预变量 或 ， 是在整个时间序列中时刻(shk) 发生了干预。限于篇幅，本节仅仅讨论干预发生的时间是已知的情形。 jtI jttS jttP (1,2, )jtjkjt第88页/共96页第八十八页，共97页。89三、三、 美国美国CREST牌牙膏的市场占有率实例牌牙膏的市场占有率实例(shl)分分析析 本例的数据是CREST牌牙膏的19581963的周市场占有率。在数据的第138期，整个序列发生(fshng)了很大的变化，如图所示。究其原因，主要是美国牙医学会在1960年8月1日公报宣布CREST牌牙膏“对各种牙病任何阶段都有重要的辅助治疗作用”。第89页/共96页第八十九页，共97页。90 X 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 N 0 100 200 300 图图 5.10 销售量趋势销售量趋势(qsh)图图第90页/共96页第九十页，共97页。91 从图中的趋势线可以看出在T=138期时有一个跳跃，但是T=138期前后的时间序列除了平均值不同之外，其波动的规律几乎是一致的。所以我们首先识别从138到276期的数据所遵从的模型ARIMA(0,1,1)的模型，识别的过程这里(zhl)不再赘述。第91页/共96页第九十一页，共97页。92设干预(gny)变量为阶跃函数，即 01381138TttIt 又根据牙膏这种产品(chnpn)的特点，假定即期和滞后一期均有效果，则干预形式为 01()TtB I则有模型(mxng)+ 01()(1)11TtttBBxIaBB第92页/共96页第九十二页，共97页。93 利用SAS的ARIMA过程(guchng)，用无条件最小二乘方法，有估计量如表5.11。表表5.11 模型参数模型参数(cnsh)统计量统计量t101参数名估计值标准差t统计量p值0.750060.0417717.96.0001 0.141710.03063 4.63.00010.141230.030734.60.0001第93页/共96页第九十三页，共97页。94 从假设检验的结果可知，三个参数均不能拒绝为零的原假设，该干预模型是显著(xinzh)的。干预变量引入是合理的。有模型描述干预对牙膏销售的影响。(0.14171 0.14123 )(1 0.75006 )11TtttBBxIaBB第94页/共96页第九十四页，共97页。95第95页/共96页第九十五页，共97页。96感谢您的观看(gunkn)！第96页/共96页第九十六页，共97页。NoImage内容(nirng)总结1。传递函数建模过程和干预变量模型建模过程。叠加到输出上，最终输出Yt。b称为延迟参数，即Xt 的b期滞后(zh hu)值才开始对Yt产生影响Xt。可以用待定系数法求V(B)的系数vj (j=1,2，。假定输入序列Xt是一个平稳序列，其适应的模型为。假定输出序列Yt与输入序列Xt有同样的特征，那么用这个相同滤波器。其二是残差序列与Xt派生的预白化序列t是否互相关。感谢您的观看第九十七页，共97页。