湖南高三高考模拟三理科数学

理科数学 2018年高三湖南省第三次模拟考试 理科数学考试时间：_分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题 （本大题共12小题，每小题_分，共_分。） （5分）设全集U=Z，A=2，3，5，8，9，B=1，2，3，4，5，6，则图中阴影部分表示的集合是（）A. 2，4，6B. 1，3，5C. 2，5，6D. 1，4，6（5分）如图，在复平面内，若复数z1，z2对应的向量分别是，则复数z1+z2所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（5分）已知a=（），b=（），c=log2，则a，b，c的大小关系是（）A. cabB. cbaC. abcD. bac（5分）若f（x）=sin（2x+），则“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件（5分）等差数列an中，a3=5，a4+a8=22，则an的前8项的和为（）A. 32B. 64C. 108D. 128（5分）已知向量=（2，3），=（1，2），若m+n与2共线，则等于（）A. B. C. 2D. 2（5分）已知sin+cos=，其中在第二象限，则sin2cossincos2=（）A. B. C. D. （5分）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b=c=2，若函数f（x）=x3x的极大值是cosA，则ABC的形状为（）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形（5分）某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为（）A. 2B. 4C. 8D. 16（5分）若函数f（x）=2sin（）（2x10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）=（）A. 32B. 16C. 16D. 32（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）1f（x），其中f（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）A. ef（1）ee2f（2）e2B. e2015f（2015）e2015e2016f（2016）e2016C. e2f（2）+e2ef（1）+eD. e2016f（2016）+e2016e2015f（2015）+e2015（5分）已知函数f（x）=，若g（x）=|f（x）|2ax2a的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A. （0，）B. ，）C. （0，）D. ，）填空题 （本大题共4小题，每小题_分，共_分。） （5分）设命题P：nN，n22n，则命题P的否定p为_（5分）等比数列an中，a1，a5是关于x方程x2bx+c=0的两个根，其中点（c，b）在直线y=x+1上，且c=t2dt，则a3的值是_（5分）定义在R上的函数y=f（x）满足：f（x）=f（x），f（1+x）=f（1x），当x1，1时，f（x）=sin（x），则f（2015）=_（5分）已知正项数列an与数列bn满足：a1=b1（0，2，=+（n2，nN*）若（1+）（1+）（1+）（+）（nN*），则实数的最大值为_简答题（综合题） （本大题共8小题，每小题_分，共_分。） （12分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=（1）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）=3，c=1，ab=2，且ab，求a，b的值（12分）已知数列an的各项均为正数，观察程序框图，若k=1，k=5时，分别有S=和S=（1）试求数列an的通项公式；（2）令bn=3nan，求数列bn的前n项和Tn（12分）如图，四棱锥PABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与DC所成角为45，F是PB的中点，E是BC上的动点（）证明：PEAF；（）若BC=2BE=2AB，求直线AP与平面PDE所成角的大小（12分）如图设椭圆C：（ab0）的离心率e=，椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：x=1与椭圆C交于P、Q两点，P点位于第一象限，A、B是椭圆上位于直线l两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值（12分）对于函数f（x），若存在x0R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点如果函数f（x）=（b，cN*）有且仅有两个不动点0，2，且f（2）（1）试求函数f（x）的单调区间；（2）已知各项不为1的数列an满足，求证：ln；（3）在（2）中，设bn=，Tn为数列bn的前n项和，求证：T20161ln2016T2015请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修4-1：几何证明选讲（10分）（2016漳州模拟）如图，AB是O的一条切线，切点为B，ADE，CFD和 CGE都是O的割线，AC=AB（1）证明：AC2=ADAE；（2）证明：FGAC选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同单位长度已知曲线C：=a（a0），过点P（0，2）的直线l的参数方程为（t为参数）（）求曲线C与直线l的普通方程；（）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，若直线l与曲线C相切，求实数a的值选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2xa|+|2x+3|，g（x）=|x1|+2（1）解不等式|g（x）|5；（2）若对任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围答案单选题 1. D 2. A 3. B 4. B 5. B 6. A 7. C 8. C 9. D 10. D 11. C 12. D 填空题 13. 14. 315. -116. 1简答题 17. （1）函数f（x）=2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（+2x）+1，故函数的最小正周期等于=令 2k+2x2k+，kz，可得kxk+，kz，故函数f（x）的单调增区间为k，k+，kz（2）在ABC中，f（C）=3=2sin（+2C）+1，sin（+2C）=1，C=c=1，ab=2，且ab，再由余弦定理可得 1=a2+b22abcosC，故 a2+b2=7解得 a=2，b=【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，复合三角函数的周期性、单调性，以及余弦定理的应用，属于中档题18. （1）由程序框图可知：an为等差数列，=，+=，解得：或（舍去），an=1+2（n1）=2n1（2）bn=（2n1）3n，Tn=13+332+533+（2n1）3n，3Tn=132+333+534+（2n1）3n+1，Tn=3+（n1）3n+1【点评】本题考查了程序框图，等差数列的通项公式，错位相减法数列求和19. 解：（） 建立如图所示空间直角坐标系设AP=AB=2，BE=a则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）于是，则，所以AFPE（6分）（）若，则，=（2，2，2），设平面PDE的法向量为=（x，y，z），由，得：，令x=1，则，于是，而设直线AP与平面PDE所成角为，则sin=直线AP与平面PDE所成角为60【点评】本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角以及用向量语言表述线线的垂直在利用向量语言表述线线的垂直关系时，只要得到数量积为0即可20. （1）椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4，2a=4，即a=2，又离心率e=，=，即b2=3，椭圆C的方程为：；（2）依题意，解得：yP=，设T（1，t），则t，过点T的直线AB的斜率为，直线AB方程为：x2y+2t1=0，点P到直线AB的距离dP=，点Q到直线AB的距离dQ=，联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：16y212（2t1）y+12t212t9=0，y1+y2=，y1y2=，=4=，|AB|2=+=5，S四边形APBQ=|AB|（dP+dQ）=（+）=，记f（t）=4t2+4t+15=4+16，则当t=时，f（t）取最大值16，此时S四边形APBQ取最大值，四边形APBQ面积取最大值=【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题21. （1）设=x，则（1b2）x2+cx+a=0，（b1），0和2是方程的两个根，由韦达定理可知：，解得：，（1分）f（x）=，由f（2）=，解得：1c3，又b，cN*，c=2，b=2，f（x）=（x1），（2分）于是f（x）=，由f（x）0，解得x0或x2； 由f（x）0，解得0x1或1x2，故函数f（x）的单调递增区间为（，0）和（2，+），（3分）单调减区间为（0，1）和（1，2）（4分）（2）由已知可得，4Sn=1，2Sn=an，当n2时，2Sn1=an1，两式相减得：（an+an1）（anan1+1）=0，an=an1或anan1=1（5分）当n=1时，2a1=a1，解得：a1=1，若an=an1，则a2=1这与an1矛盾anan1=1，an=n（6分）ln，为此，只要证明不等式ln，x0，令1+=t，x0则t1，x=，再令g（t）=t1lnt，g（t）=1由t（1，+）知g（t）0，当t（1，+）时，g（t）单调递增，g（t）g（1）=0，于是t1lnt，即ln，x0 （8分）令h（t）=lnt1+，h（t）=，由t（1，+）知h（t）0，当t（1，+）时，h（t）单调递增，h（t）h（1）=0，于是lnt1，即ln，x0 由、可知ln，x0，所以，ln，即1ln，ln；（9分）（3）由（2）可知bn=，则，在ln中令n=1，2，3，2015，并将各式相加得：，即T20161ln2016T2015（12分）【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数列与不等式的综合应用，函数的导数判断函数的单调性构造法的应用，分析法证明不等式的方法，属于难题22. 证明：（1）因为AB是O的一条切线，AE为割线所以AB2=ADAE，又因为AB=AC，所以ADAE=AC2（5分）（2）由（1）得EAC=DAC，ADCACE，ADC=ACEADC=EGF，EGF=ACE，GFAC（10分）【点评】本题考查圆的切线、割线长的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题23. （）曲线C：=a（a0），直角坐标方程为曲线C：x2+y2=a2，过点P（0，2）的直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为直线l：y=x+2.（5分）（），即，代入=a2，即=a2，与直线l联立，消去y，得13x2+16x+164a2=0，由=0知，a2=，a=（10分）【点评】本题考查了极坐标、直角坐标方程、及参数方程的互化，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题24. （1）由|x1|+2|5，得5|x1|+257|x1|3，得不等式的解为2x4（5分）（2）因为任意x1R，都有x2R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以y|y=f（x）y|y=g（x），又f（x）=|2xa|+|2x+3|（2xa）（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x1|+22，所以|a+3|2，解得a1或a5，所以实数a的取值范围为a1或a5（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用解析单选题 1. 先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解【解答】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合B中，但不在集合A中又A=2，3，5，7，9，B=1，2，3，4，5，6，则右图中阴影部分表示的集合是：1，4，6故选：D【点评】本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键2. 读图得到A，B的坐标，求出复数z1，z2，作和后得到z1+z2，进一步得到z1+z2所对应的点的坐标，则答案可求【解答】解：由图可得，A（1，2），B（1，1），则z1=1+2i，z2=1i，则z1+z2=2+iz1+z2所对应点的坐标为（2，1），位于第一象限故选：A【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3. 利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案【解答】解：20=1，0=，log21=0，cba故选：B【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题4. 根据三角函数的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若f（x）的图象关于x=对称，则2+=+k，解得=+k，kZ，此时=不一定成立，反之成立，即“f（x）的图象关于x=对称”是“=”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性是解决本题的关键5. 利用等差中项求出a6，然后利用等差数列求和求解即可【解答】解：a4+a8=2a6=22a6=11，a3=5，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和以及性质的应用，属容易题6. 求出 m+n与2的坐标，根据 m+n与2共线可得（2mn）（1）4（3m+2n）=0，化简求得 的值【解答】解：m+n=（2mn，3m+2n），2=（4，1），m+n与2共线，（2mn）（1）4（3m+2n）=0，14m=7n，则=，故选A【点评】本题考查两个向量的加减法的法则，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（2mn）（1）4（3m+2n）=0，是解题的关键7. 利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求sincos和sincos的值，可得要求式子的值【解答】解：sin+cos=，其中在第二象限，平方可得sincos=，故sincos=，则sin2cossincos2=sincos（sincos）=，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题8. 求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的极值，从而求出角的度数，判断三角形的形状即可【解答】解：f（x）=（x1）（x+1），由：（x1）（x+1）=0，可得x=1或x=1，x1，x1时，f（x）0，函数是增函数，x（1，1）时，f（x）0，函数是减函数，易知f（x）极大=f（1）=cosA，从而A=60，而b=c=2，故B=C=60，故三角形是等边三角形，故选：C【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及三角形问题，是一道基础题9. 首先，根据三视图，得到该几何体的具体的结构特征，然后，建立关系式：，然后，求解当xy最大时，该几何体的具体的结构，从而求解其体积【解答】解：由三视图，得该几何体为三棱锥，有，x2+y2=128，xy，当且仅当x=y=8时，等号成立，此时，V=268=16，故选：D【点评】本题重点考查了三视图、几何体的体积计算等知识，属于中档题10. 由f（x）=2sin（）=0，结合已知x的范围可求A，设B（x1，y1），C（x2，y2），由正弦函数的对称性可知B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0，代入向量的数量积的坐标表示即可求解【解答】解：由f（x）=2sin（）=0可得x=6k2，kZ2x10x=4即A（4，0）设B（x1，y1），C（x2，y2）过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点B，C 两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0则（+）=（x1+x2，y1+y2）（4，0）=4（x1+x2）=32故选D【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键正弦函数对称性质的应用11. 根据选项中的不等式的形式可以想到构造一函数：设g（x）=exf（x）ex，求导数，根据条件可以判断g（x）0，从而得出g（x）在R上单调递增，从而便可判断A，B错误；而同理构造函数：h（x）=exf（x）+ex，通过求导数，便可判断出h（x）在R上单调递增，这样便可判断选项C，D的正误，从而找出正确答案【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1；f（x）1f（x）；f（x）+f（x）10；g（x）0；g（x）在R上是增函数；g（1）g（2），即ef（1）ee2f（2）e2，A错误；g（2015）g（2016），B错误；同理，设h（x）=exf（x）+ex，由g（x）0得，h（x）=exf（x）+exf（x）+ex0；h（x）在R上单调递增；h（2）h（1），h（2016）h（2015），C正确故选：C【点评】考查通过构造函数解决问题的方法，根据导数符号判断函数单调性的方法，以及增函数定义的运用，通过观察选项中不等式的形式，从而构造函数是本题的关键，并要正确求导12. 由题意可得|f（x）|=2a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象，考虑直线经过点（2，ln3）和y=ln（x+1）（0x2）相切的情况，求得a，运用导数的几何意义，即可得到a，进而通过图象观察即可得到所求范围【解答】解：g（x）=|f（x）|2ax2a的图象与x轴有3个不同的交点，则|f（x）|=2a（x+1）有3个不同的实根，即有函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象有3个交点，作出函数y=|f（x）|与y=2a（x+1）的图象，当直线经过点（2，ln3）两图象有3个交点，即有2a=，即a=；当直线与y=ln（x+1）（0x2）相切时，两图象有2个交点设切点为（m，n），则切线的斜率为=2a，又n=2a（m+1），n=ln（m+1）解得a=，m=e12，则图象与x轴有3个不同的交点，即有a的取值范围是，）故选D【点评】本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想方法是解题的关键填空题 13. 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题P：nN，n22n，则命题P的否定p为nN，n22n，故答案为：nN，n22n【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题14. 计算定积分可得c值，代点可得b值，进而由韦达定理和等比数列的性质可得【解答】解：计算定积分可得，再由点（c，b）在直线y=x+1可得b=10，原方程可化为x210x+9=0，由韦达定理和等比数列的性质可得，a1a50，a1+a5=100，a1，a50，从而a30，a3=3故答案为：3【点评】本题考查等比数列的性质，涉及定积分的计算，属中档题和易错题15. 根据f（1+x）=f（1x）即可得出f（x）=f（x+2），而f（x）=f（x），从而可得出f（x）=f（x+4），这便说明f（x）是周期为4的周期函数，从而可得出f（2015）=f（1），通过条件可求出f（1），从而可得出f（2015）的值【解答】解：根据条件：f（x）关于x=1对称，且f（x）=f（x）；f（x）=f（x+2）=f（x）；f（x）=f（x+2）=f（x+4）；f（x）是以4为周期的周期函数；故答案为：1【点评】考查由f（ax）=f（b+x）可得出f（x）关于对称，并可得到f（x）=f（a+b+x），以及周期函数的定义，已知函数求值的方法16. 由条件将n换为n+1，推得=+，再将含的不等式，化简整理，可得1+b1，由b1（0，2，可得的最大值【解答】解：n2时，=+（n2，nN*），=+，=+，bn+1an（bn+1）an+1=0（n2且nN*），所以=（n2且nN*），（1+）（1+）（1+）=bn+1=bn+1=（1+b1）（+）=（1+b1）（+），由1+b1（1，3，故1，的最大值为1故答案为：1【点评】本题考查数列不等式恒成立问题的解法，考查累乘法的运用，考查运算求解能力，具有一定的难度简答题 17. （1）利用两个向量的数量积公式化简函数f（x） 的解析式为2sin（+2x）+1，由此求得它的最小正周期（2）在ABC中，由f（C）=3求得 C=再利用 c=1，ab=2，且ab 以及余弦定理求得a，b的值18. （1）根据程序框图得出an为等差数列，利用k=1和k=5得出方程组解出a1和d，即可得出an；（2）使用错位相减法求出Tn19. （）建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE，AF的坐标，得到其数量积为0即可证明结论（）先根据条件求出D的坐标以及，的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向量的夹角计算公式即可得到答案20. （1）通过椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4、利用椭圆定义可知a=2，通过离心率e=可知b2=3，进而可得结论；（2）由（1）可知yP=，通过设T（1，t）（t），利用过点T的直线AB的斜率为可知直线AB方程为x2y+2t1=0，进而可知点P到直线AB的距离dP=、点Q到直线AB的距离dQ=，通过联立直线AB与椭圆方程、利用韦达定理及两点间距离公式可知|AB|2=5，利用S四边形APBQ=|AB|（dP+dQ）计算可知S四边形APBQ=，通过配方可知f（t）=4t2+4t+15在t=时取最大值16，进而可得结论21. （1）利用函数f（x）=x，可知：（1b2）x2+cx+a=0，由韦达定理可知，由f（2）=，求得c的取值范围，即可求得c和b的值，即可求得函数的解析式，利用导数法求函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知：求得4Sn=1，即可求得2Sn=an，当n2时，2Sn1=an1，两式相减得：（an+an1）（anan1+1）=0，即可求得an=an1或anan1=1，即可求得an=n，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性，即可求得ln，x0，继而求得ln；（3）bn=，则，ln中令n=1，2，3，2015，并将各式相加得T20161ln2016T201522. （1）利用切线长与割线长的关系及AB=AC进行证明（2）利用成比例的线段证明角相等、三角形相似，得到同位角角相等，从而两直线平行23. （）利用直角坐标与极坐标间的关系：2=x2+y2，进行代换即得（）确定曲线C，与直线l联立，利用=0，即可求实数a的值24. （1）利用|x1|+2|5，转化为7|x1|3，然后求解不等式即可（2）利用条件说明y|y=f（x）y|y=g（x），通过函数的最值，列出不等式求解即可