一元二次方程根与系数地关系

实用标准12.4一元二次方程的根与系数的关系中考考点1理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。2会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。3会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。考点讲解1若一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的两根为x1,x 2，则 x1 +x2=-， x1 x2=。2以 x1,x 2 为根的一元二次方程是(x-x 1)(x-x2)=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0(a 0) 。3对二次项系数为 1 的方程 x2+px+q=0 的两根为 x 1,x 2 时，那么 x1 +x2=-p ， x1 x2 =q。反之，以 x1 ,x 2 为根的一元二次方程是： (x-x 1)(x-x 2)=0 ，展开代入两根和与两根积，仍得到方程：x2+px+q=0。4一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面：（ 1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。（ 2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。（ 3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为 x 1,x2，不解方程，求2+x22的值。x 1 x +x= ， x x=， x22=(x +x2-2xx=(2-2 = +x)1)121212122（ 4）验根、求根、确定根的符号。（ 5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。（ 6）已知两数和与积，求这两个数。（ 7）解特殊的方程或方程组。考题评析1 ( 北京市东城区) 如果一元二次方程x2 +3x-2=0 的两个根为x 1， x 2，那么 x1 +x2 与 x 1 x 2 的值分别为（）（A）3，2（B）-3 ，-2（C） 3，-2（D）-3 ，2考点：一元二次方程的根与系数关系。评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0) 的两根x1,x 2 , 满足 x1 +x2=，x1x2=可直接计算，答案为 B。精彩文档实用标准2 ( 杭州市 ) 若是方程的两个根，则的值为（）（A） 7（B）1（C）（D）答案： A考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由韦达定理知，先求出 x1+x2， x1 x2 的值，然后将代数式 (x +1)(x2+1) 展开，最后将x+x， x x的值代入即可。112123（辽宁省）下列方程中，两根分别为的是（）（ A）（ B）（ C）（ D）答案： B考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：因给出了二根，所以好求二根和二根积，再根据x1+x2=-p x 1 x 2=q，即可确定正确答案为B。4（辽宁省）已知，是方程的两个实数根，则的值为。考点：一元二次方程根与系数的关系评析思路：由根与系数的关系可知a+b=-2 ，ab= -5 。而所求式中有a2+2a 部分，因a 是方程的根，所以有a2+2a-5=0 ，即 a2+2a=5，再加 a b，原式值为0。答案： 05（河南省）关于x 的方程，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。答案：解：设方程的两个实数根是x 1、 x2. 由根与系数关系，得x 1+x2=5k+1 ，x1 x2=k 2-2.精彩文档实用标准又，=4，=4. 4k2-5k-9=0.解这个方程，得k 1=-1 ， k 2=（不合题意，舍去）.当 k=-1 时，原方程的判别式 =b2-4ac=-(5k+1)2-4(k 2-2)=(-4) 2 -4(1-2)=200.所以存在满足条件的负数k， k=-1.考点：一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的应用。评析：此题是存在型的试题，一般结论都是在存在成立的条件下，按照给出的条件进行讨论，因此题是关于两个实根的关系，所以在讨论时必注意0。6（福州市）以2， -3 为两个根的一元二次方程是（） .（ A） x 2-x-6=0（ B） x2 +x-6=0（ C） x2-x+6=0（D） x2+x+6=0答案： B考点：一元二次方程根与系数关系。评析：利用一元二次方程x2+px+q=0 的根 x1 ,x 2 与系数关系：直接计算即得答案。7（广州市）已知2 是关于 x 的方程x2 +3mx-10=0 的一个根，则m=.考点：一元二次方程的根与系数关系评析：根据方程解的概念，将未知数的值代入方程求出m，或利用根与系数的关系解方程组求出。答案： 18（贵阳市）若x1 ,x 2 是方程x2 -2x+m=0 的两个根，且=2，则 m=.精彩文档实用标准考点：一元二次方程根与系数关系评析：由一元二次方程ax2+bx+c=0（ a 0）的两根 x1 、x2 与系数的关系，得 x1 +x2=2x 1x 2=，求的值，代入已知的等式求出。答案： 19（河北省）在Rt ABC中， C=900 ， a、 b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边， a、 b 是关于 x 的方程的两根，那么AB 边上的中线长是（）（A）（B）（ C）5（D）2考点：直角三角形三边关系勾股定理、根与系数的关系评析思路：因直角三角形两直角边a、 b 是方程的二根，有a+b=7 a b=c+7，由勾股定理知 c2 =a2+b2，联立组成方程组求得c=5，斜边上的中线为斜边的一半，故选B。10（北京市海淀区）已知：关于 x 的方程的两个实数根的倒数和等于3，关于 x 的方程有实数根且k 为正整数，求代数式的值。考点：根的判别式，根与系数的关系。评析：先根据根与系数的关系求得a 值，再将 a 代入到第二个方程。因第二个方程只证有实根，所以k 可以等于1, 然后再根据的范围再确定k 值，分别代入所求代数式就可以了。答案： 0说明学生往往忽略 k=1 的这种情况：认为一元二次方程有实根，必是两个，这是不全面的，也有的不考虑 的范围。11. （河北省）若 x1 、 x2 是一元二次方程 3x2+x-1=0 的两个根 , 则+的值是 ( )(A)-1(B)0(C)1(D)2考点：一元二次方程根与系数的关系精彩文档实用标准评析：根据一元二次方程根与系数的关系，先求出x+x , x1 x的值，然后将求的代数式122变形为，最后将x1+x2 =-， x1 x2=-代入即可，故选C。12（哈尔滨市）已知： ABC的两边 AB、 AC的长是关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k 2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC的长为 5.（ 1） k 为何值时，ABC是以 BC为斜边的直角三角形.（ 2） k 为何值时，ABC是等腰三角形，并求出ABC的周长 .考点： Rt 三边关系，等腰三角形底与腰的关系, 一元二次方程根与系数关系评析：（ 1）已知一元二次方程的两根，首先想到不解方程，而是利用根与系数的关系达到目的，又根据 Rt 三边的关系222可知，通过222 2AB AC可实现。AB+AC=BCAB+AC=(AB+AC)答案： k=2 或 k= -5注：如果利用根与系数关系不能求解，再利用解方程求根的方法。（ 2）首先利用判断式判断AB与 AC是否相等， 再考虑其它情况，即 AB=BC或 AC=BC，当 AB=BC或 AC=BC时， BC=5是一元二次方程的一个根，故可求k 的值，也就可求另一个根，三角形的周长可求。答案： 14 或 16.注：在求周长时，应判断是否能构成三角形。13（安徽）已知方程x2 +(1-)x-=0 的两根为x1、 x2，求 x+x的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：根据根与系数的关系，先求出x1 +x2、x1x2 的值然后将x12 +x22=(x 1+x2 ) 2-2x 1x2 变为以上形式，再将 x+x =-1 ， x x=-代入即可。1212解：由根与系数关系，x1+x2 =-1+,x 1 x2 =-, x+x=(x 1 +x2) 2 -2x 1 x2精彩文档实用标准=(-1) 2+2=3-2+2=3.说明：如果先解出根x1、 x2，再求出x+x的正确值可以。14（北京市东城区）已知关于x 的方程 x 2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根的平方和等于4，求实数 k 的值。考点：一元二次方程根与系数的关系评析：先设方程二根为x1 、 x2，分别求出x1+x2， x1 x 2 的值，再根据两根的平方和是4，求出 k 值，但必须保证方程有两个实根，所以还必须保证0 才能确定k 的值，此题一些考生忽略 0 的隐含条件的。解：设方程x 2-(k-1)x+k+1=0的两个实数根是x1, x 2，那么x1+x2 =k-1, x1 x2 =k+1.由 x +x =4,得 (x 1+x 2) 2 -2x 1 x2=4.即 (k-1) 2-2(k+1)=4 k2-4k-5=0解这个方程，得k=5 或 k=-1.当 k=5 时 ,=(5-1) 2-4(5+1)0,因此， k=-1 为所求。真题实战1（常州市）已知关于x 的方程 x2+mx 6=0 的一个根是2，则另一个根是，m=。答案： -3 ；12（天门市）若方程的两根是x 1、 x2 ，则代数式的值是。答案： 6精彩文档实用标准3已知x1、 x 2 是方程x2 x 1=0 的两个根，则的值是（）A、1B、 1C、 1D、0答案： B4（石家庄市） 设方程的两根为 x和 x ，且，则 m等于（）12A 8B 4C8D 4答案： C5（潍坊市）下列方程中，两实数根的和等于2 的方程是（）A 2x2 4x+3=0B 2x2 2x 3=02D 2x2 3=0C 2x +4x 3=0 4x答案： D6（山西省）若方程x2-2x-1=0的二根为x1， x2，则代数式的值是（）A6B4C2D-2答案： A7 ( 南昌市 ) 已知方程2x2 +kx 10=0 的一个根是2，求它的另一根及k 的值。解：设方程的另一根为x1 ，那么-2x 1=-5 ，又， k=-1 。答：方程的另一根是，k 的值是 -1 。8（苏州市）已知关于x 的方程x2+(m 2)x+m 3=0。（ 1）求证：无论 m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根；（ 2）若这个方程的两个实数根x1,x 2 满足 2x 1+x2=m+1,求 m的值。精彩文档实用标准(1) 证明:无论 m取什么实数 , 这个方程总有两个不相等的实数根.(2) 解 x ,x2是这个方程的两个实数根 ,1又 2x1+x2 =m+1,(3)(3)-(1),得 x 1=2m-1(4)把 (4) 代入 (1), 得x2=3-3m(5)把 (4) 、 (5)代入 (2),得 (2m-1)(3-3m)=.9（南通市）设x1 、 x2 是关于 x 的方程x2 (k+2)+2k+1=0的两个实数根，且x12 +x22=11.（ 1）求 k 的值；（ 2）利用根与系数的关系求一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方。解：（ 1）由题意得x1+x2=k+2， x1 x 2=2k+1，又，解得 k= 3。又 =-(k+2)2-4(2k+1)=k2 -4k ，当 k=3 时， =-3 0，原方程无实数解；当 k=-3 时， =21 0，原方程有实数解。故 k=-3 。（ 2）当 k=-3 时，原方程为 x2 +x-5=0 。设所求方程为 y 2+py+q=0，两根为 y1、 y 2，则 y1 =x1+x2=-1 ，y2=(x 1-x 2 ) 2=-2x 1x2=11+10=21 。精彩文档实用标准 y1+y2 =20， y 1 y 2=-21所求方程是y 2-20y-21=010（昆明）已知一元二次方程2的两根是 x、 x ，则+的值是（）x -2x-1=012A、B、 2C、 -D、-2答案： D11（沈阳）设x 1、 x2 是方程2x2-4x-3=0的两个根，则+=_ 。答案： -精彩文档