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唐山市20xx20xx学年度高三年级第三次模拟考试理科数学试卷第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则集合( )A B C. D 2.复数满足(为虚数单位),则( )A B C. D 3.已知,则( )A B C. D 4.已知命题在中,若,则;命题,.则下列命题为真命题的是( )A B C. D 5.已知双曲线的两条渐近线分别为,若的一个焦点关于的对称点在上,则的离心率为( )A B2 C. D 6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A6 B7 C. D 7.已知函数的图象与轴相切,则( )A B C. D 8.已知是抛物线上任意一点,是圆上任意一点,则的最小值为( )A B3 C. D 9.利用随机模拟的方法可以估计圆周率的值,为此设计如图所示的程序框图,其中表示产生区间上的均匀随机数(实数),若输出的结果为786,则由此可估计的近似值为( )A3.134 B3.141 C.3.144 D3.14710.在中,点满足.若存在点,使得,且,则( )A2 B C. 1 D 11.若异面直线所成的角是,则以下三个命题:存在直线,满足与的夹角都是;存在平面,满足,与所成角为;存在平面,满足,与所成锐二面角为.其中正确命题的个数为( )A0 B1 C. 2 D312.已知,若的最小值为,则( )A B C. D 第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 设变量满足约束条件则的最大值为 14.某种袋装大米的质量(单位:)服从正态分布,任意选一袋这种大米,质量在的概率为 15.设函数则使得成立的得取值范围是 16.的内角的对边分别为,角的内角平分线交于点,若,则的取值范围是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列是等差数列,是等比数列,.(1)求和的通项公式;(2)若,求数列的前项和.18. 某球迷为了解两支球队的攻击能力,从本赛季常规赛中随机调查了20场与这两支球队有关的比赛.两队所得分数分别如下:球队:122 110 105 105 109 101 107 129 115 100114 118 118 104 93 120 96 102 105 83球队:114 114 110 108 103 117 93 124 75 106 91 81 107 112 107 101 106 120 107 79(1)根据两组数据完成两队所得分数的茎叶图,并通过茎叶图比较两支球队所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);(2)根据球队所得分数,将球队的攻击能力从低到高分为三个等级:球队所得分数低于100分100分到119分不低于120分攻击能力等级较弱较强很强记事件“球队的攻击能力等级高于球队的攻击能力等级”.假设两支球队的攻击能力相互独立. 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求的概率.19.如图,四棱锥的底面是平行四边形,.(1)求证:平面平面;(2)若,为的中点,为棱上的点,平面,求二面角的余弦值.20.已知点,点,点,动圆与轴相切于点,过点的直线与圆相切于点,过点的直线与圆相切于点(均不同于点),且与交于点,设点的轨迹为曲线.(1)证明:为定值,并求的方程;(2)设直线与的另一个交点为,直线与交于两点,当三点共线时,求四边形的面积.21.已知,函数.(1)记,求的最小值;(2)若有三个不同的零点,求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程已知点在椭圆上,将射线绕原点逆时针旋转,所得射线交直线于点.以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求椭圆和直线的极坐标方程;(2)证明::中,斜边上的高为定值,并求该定值.23.选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设,求的最大值.试卷答案一、选择题1-5: CADBB 6-10: BBDCD 11、12:DA二、填空题13. 4 14.0.8185 15. 16. 三、解答题17.解:(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,依题意有,解得d2,q2,故an2n1,bn2n, (2)由已知c2n1a2n14n3,c2nb2n4n,所以数列cn的前2n项和为S2n(a1a3a2n1)(b2b4b2n)2n2n(4n1)18解:(1)两队所得分数的茎叶图如下A球队B球队7593813693152407195510836771678845011440720921240通过茎叶图可以看出,A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值;A球队所得分数比较集中,B球队所得分数比较分散(2)记CA1表示事件:“A球队攻击能力等级为较强”,CA2表示事件:“A球队攻击能力等级为很强”;CB1表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱”,CB2表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱或较强”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CA1与CA2互斥,C(CA1CB1)(CA2CB2)P(C)P(CA1CB1)+ P(CA2CB2)P(CA1)P(CB1)P(CA2)P(CB2)由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为,故P(CA1),P(CA2),P(CB1),P(CB2),P(C)0.3119解:(1)ABCD,PCCD,ABPC,ABAC,ACPCC,AB平面PAC,ABPA,又PAAD,ABADA,PA平面ABCD,PA平面PAB,平面PAB平面ABCD(2)连接BD交AE于点O,连接OF,E为BC的中点,BCAD,PD平面AEF,PD平面PBD,平面AEF平面PBDOF,PDOF,以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,3),E(,0),F(2,0,1),设平面ADF的法向量m(x1,y1,z1),(2,0,1),(3,3,0),由m0,m0得取m(1,1,2)设平面DEF的法向量n(x2,y2,z2),(,0),(,1),由n0,n0得取n(1,3,4)cosm,n,二面角A-DF-E为钝二面角,二面角A-DF-E的余弦值为 20解:(1)由已知可得|PD|PE|,|BA|BD|,|CE|CA|,所以|PB|PC|PD|DB|PC|PE|PC|AB|CE|AB|AC|AB|4|BC|所以点P的轨迹G是以B,C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点),可求G的方程为1(y0)(2)由O,D,C三点共线及圆的几何性质,可知PBCD,又由直线CE,CA为圆O的切线,可知CECA,OAOE,所以OACOEC,进而有ACOECO,所以|PC|BC|2,又由椭圆的定义,|PB|PC|4,得|PB|2,所以PBC为等边三角形,即点P在y轴上,点P的坐标为(0,) (i)当点P的坐标为(0,)时,PBC60,BCD30,此时直线l1的方程为y(x1),直线CD的方程为y(x1),由整理得5x28x0,得Q(,),所以|PQ|,由整理得13x28x320,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,x1x2,|MN|x1x2|,所以四边形MPNQ的面积S|PQ|MN|(ii)当点P的坐标为(0,)时,由椭圆的对称性,四边形MPNQ的面积为综上,四边形MPNQ的面积为21解:(1)g(a)lna222(lna1),g(a)2(),所以0a1时,g(a)0,g(a)单调递减;a1时,g(a)0,g(a)单调递增,所以g(a)的最小值为g(1)0(2)f(x),x0因为yf(x)有三个不同的零点,所以f(x)至少有三个单调区间,而方程x2(2a24a)xa40至多有两个不同正根,所以,有解得,0a1由(1)得,当x1时,g(x)0,即lnx10,所以lnx,则xe(x0),令x,得e因为f(e)20,f(a2)0,f(1)20,f(e2)0,所以yf(x)在(e,a2),(a2,1),(1,e2)内各有一个零点,故所求a的范围是0a122解:(1)由xcos,ysin得椭圆C极坐标方程为2(cos22sin2)4,即2;直线l的极坐标方程为sin2,即(2)证明:设A(A,),B(B,),由(1)得|OA|2,|OB|2,由SOAB|OA|OB|AB|h可得,h22故h为定值,且h23解:(1)由题意得|x1|2x3|,所以|x1|2|2x3|2整理可得3x210x80,解得x2,故原不等式的解集为x|x2(2)显然g(x)f(x)f(x)为偶函数,所以只研究x0时g(x)的最大值g(x)f(x)f(x)|x1|2x3|x1|2x3|,所以x0时,g(x)|x1|2x3|x2所以当x时,g(x)取得最大值3,故x时,g(x)取得最大值3唐山市20xx20xx学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一选择题:A卷:CDDBBBBACDDAB卷:CADBBBBDCDDA二填空题:(13)4(14)0.8185(15)(,1)(0,1)(16),1)三解答题:17解:(1)设数列an的公差为d,数列bn的公比为q,依题意有,解得d2,q2,4分故an2n1,bn2n, 6分(2)由已知c2n1a2n14n3,c2nb2n4n,所以数列cn的前2n项和为S2n(a1a3a2n1)(b2b4b2n) 2n2n(4n1)12分18解:(1)两队所得分数的茎叶图如下A球队B球队7593813693152407195510836771678845011440720921240通过茎叶图可以看出,A球队所得分数的平均值高于B球队所得分数的平均值;A球队所得分数比较集中,B球队所得分数比较分散6分(2)记CA1表示事件:“A球队攻击能力等级为较强”,CA2表示事件:“A球队攻击能力等级为很强”;CB1表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱”,CB2表示事件:“B球队攻击能力等级为较弱或较强”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CA1与CA2互斥,C(CA1CB1)(CA2CB2)P(C)P(CA1CB1)+ P(CA2CB2)P(CA1)P(CB1)P(CA2)P(CB2)由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为,故P(CA1),P(CA2),P(CB1),P(CB2),P(C)0.3112分19解:(1)ABCD,PCCD,ABPC,ABAC,ACPCC,AB平面PAC,CDBAFPEOzyxABPA,又PAAD,ABADA,PA平面ABCD,PA平面PAB,平面PAB平面ABCD5分(2)连接BD交AE于点O,连接OF,E为BC的中点,BCAD,PD平面AEF,PD平面PBD,平面AEF平面PBDOF,PDOF,7分以AB,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,3,0),D(3,3,0),P(0,0,3),E(,0),F(2,0,1),设平面ADF的法向量m(x1,y1,z1),(2,0,1),(3,3,0),由m0,m0得取m(1,1,2)9分设平面DEF的法向量n(x2,y2,z2),(,0),(,1),由n0,n0得取n(1,3,4)11分cosm,n,二面角A-DF-E为钝二面角,二面角A-DF-E的余弦值为12分20解:(1)由已知可得|PD|PE|,|BA|BD|,|CE|CA|,所以|PB|PC|PD|DB|PC|PE|PC|AB|CE|AB|AC|AB|4|BC|所以点P的轨迹G是以B,C为焦点的椭圆(去掉与x轴的交点),可求G的方程为1(y0)5分(2)由O,D,C三点共线及圆的几何性质,可知PBCD,又由直线CE,CA为圆O的切线,可知CECA,OAOE,所以OACOEC,进而有ACOECO,所以|PC|BC|2,又由椭圆的定义,|PB|PC|4,得|PB|2,所以PBC为等边三角形,即点P在y轴上,点P的坐标为(0,) 7分(i)当点P的坐标为(0,)时,PBC60,BCD30,此时直线l1的方程为y(x1),直线CD的方程为y(x1),由整理得5x28x0,得Q(,),所以|PQ|,由整理得13x28x320,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1x2,x1x2,|MN|x1x2|,所以四边形MPNQ的面积S|PQ|MN|11分(ii)当点P的坐标为(0,)时,由椭圆的对称性,四边形MPNQ的面积为综上,四边形MPNQ的面积为12分21解:(1)g(a)lna222(lna1),1分g(a)2(),2分所以0a1时,g(a)0,g(a)单调递减;a1时,g(a)0,g(a)单调递增,所以g(a)的最小值为g(1)05分(2)f(x),x0因为yf(x)有三个不同的零点,所以f(x)至少有三个单调区间,而方程x2(2a24a)xa40至多有两个不同正根,所以,有解得,0a18分由(1)得,当x1时,g(x)0,即lnx10,所以lnx,则xe(x0),令x,得e因为f(e)20,f(a2)0,f(1)20,f(e2)0,所以yf(x)在(e,a2),(a2,1),(1,e2)内各有一个零点,11分故所求a的范围是0a112分22解:(1)由xcos,ysin得椭圆C极坐标方程为2(cos22sin2)4,即2;2分直线l的极坐标方程为sin2,即4分(2)证明:设A(A,),B(B,),由(1)得|OA|2,|OB|2,7分由SOAB|OA|OB|AB|h可得,h229分故h为定值,且h10分23解:(1)由题意得|x1|2x3|,所以|x1|2|2x3|22分整理可得3x210x80,解得x2,故原不等式的解集为x|x25分(2)显然g(x)f(x)f(x)为偶函数,所以只研究x0时g(x)的最大值6分g(x)f(x)f(x)|x1|2x3|x1|2x3|,所以x0时,g(x)|x1|2x3|x28分所以当x时,g(x)取得最大值3,故x时,g(x)取得最大值310分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
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