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2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理【自主预习【自主预习】主题主题: :平向向量基本定理平向向量基本定理1.1.在物理中在物理中, ,我们学习了力的分解我们学习了力的分解, ,即一个力可以分解即一个力可以分解为两个不同方向的力为两个不同方向的力, ,试想平面内的任意一向量是否可试想平面内的任意一向量是否可以分解为其他两个向量的和以分解为其他两个向量的和? ?提示提示: :可以可以. .2.2.如果如果e1 1, ,e2 2是共线向量是共线向量, ,那么向量那么向量a能否用能否用e1 1, ,e2 2表示表示? ?为为什么什么? ?提示提示: :不一定不一定, ,当当a与与e1 1共线时可以表示否则不能表示共线时可以表示否则不能表示. .3.3.如果如果e1 1, ,e2 2是两个不共线的确定向量是两个不共线的确定向量, ,那么与那么与e1 1, ,e2 2在同在同一平面内的任一向量一平面内的任一向量a能否用能否用e1 1, ,e2 2表示表示? ?提示提示: :可以可以, ,根据是数乘向量和平行四边形法则根据是数乘向量和平行四边形法则. .通过以上探究过程通过以上探究过程, ,试总结平面向量基本定理及两向量试总结平面向量基本定理及两向量的夹角的夹角. .用文字语言描述用文字语言描述: :由向量的平行四边法则可知由向量的平行四边法则可知, ,向量向量a可可以用不共线的向量以用不共线的向量e1 1, ,e2 2表示表示. . 平面向量基本定理平面向量基本定理(1)(1)条件条件: :e1 1, ,e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个_向量向量; ;a是是该平面内该平面内_向量向量. .(2)(2)结论结论: :有且只有一对实数有且只有一对实数1 1,2 2, ,使使a=_.=_.(3)(3)基底基底:_:_的向量的向量e1 1, ,e2 2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有向量的一组基底向量的一组基底. .不共线不共线任意任意1 1e1 1+2 2e2 2不共线不共线两向量的夹角两向量的夹角(1)(1)定义定义: :作向量作向量 = =a, =, =b, ,则则_叫做向量叫做向量a与与b的夹角的夹角. .(2)(2)特例特例: :=0=0, ,向量向量a, ,b_;_;=90=90, ,向量向量a, ,b_;_;=180=180, ,向量向量a, ,b_._.OAOB AOB=AOB=(0(0180180) )同向同向垂直垂直反向反向【深度思考【深度思考】结合教材结合教材P94P94例例1,1,你认为应怎样通过作图你认为应怎样通过作图, ,用基底用基底e1 1, ,e2 2表示向量表示向量1 1e1 1+2 2e2 2? ?第一步第一步:_;:_;第二步第二步:_:_._.以点以点O O为起点作向量为起点作向量1 1e1 1,2 2e2 2以以1 1e1 1,2 2e2 2为邻边作平行四边形则以为邻边作平行四边形则以O O为起为起点的对角线对应的向量即为所作向量点的对角线对应的向量即为所作向量1 1e1 1+2 2e2 2【预习小测【预习小测】1.1.若向量若向量a, ,b的夹角为的夹角为3030, ,则向量则向量- -a,-,-b的夹角为的夹角为( () )A.60A.60B.30B.30C.120C.120D.150D.150【解析【解析】选选B.B.将向量移至共同起点将向量移至共同起点, ,则由对顶角相等可则由对顶角相等可得向量得向量- -a,-,-b的夹角也是的夹角也是3030. .2.2.已知平行四边形已知平行四边形ABCD,ABCD,下列各组向量中下列各组向量中, ,可以成为可以成为该平面内所在向量基底的是该平面内所在向量基底的是( () )【解析【解析】选选D.D.因为因为 不共线不共线, ,故可以成为一组故可以成为一组基底基底. .A.ABDC B.AD BCC.AD CB D.ABDA ，ABDA ，3.3.在正在正ABCABC中中, ,向量向量 的夹角为的夹角为_._.【解析【解析】如图如图, ,向量向量 的夹角为的夹角为ABC=60ABC=60, ,向向量量 方向相反方向相反, ,所以向量所以向量 的夹角为的夹角为120120. .答案答案: :120120AB,BC BABC 与ABBA 与ABBC ，4.4.设设D,ED,E分别是分别是ABCABC的边的边AB,BCAB,BC上的点上的点, , 若若 (1 1,2 2为实数为实数),),则则1 1+2 2的值为的值为_._.1ADAB2，2BEBC3，12DEABAC 【解析【解析】易知易知 所以所以1 1+2 2= = 答案答案: : 1212DEABBCABACAB2323 12ABAC.63 1.212【备选训练【备选训练】已知已知G G为为ABCABC的重心的重心, ,设设试用基底试用基底a, ,b表示向量表示向量 ( (仿照教材仿照教材P94P94例例1 1的解析过程的解析过程) )AB,AC. abAG.【解析【解析】连接连接AGAG并延长并延长, ,交交BCBC于点于点D,D,则则D D为为BCBC的中点的中点, ,22AGADABBD3321(ABBC)3221ABBC3321ABACAB331111ABAC.3333 ab【互动探究【互动探究】1.1.在平面向量基本定理中为何要求向量在平面向量基本定理中为何要求向量e1 1, ,e2 2不共线不共线? ?提示提示: :若向量若向量e1 1, ,e2 2共线共线, ,则则1 1e1 1+ +2 2e2 2与向量与向量e1 1, ,e2 2共线共线, ,即向量即向量1 1e1 1+ +2 2e2 2只能表示与向量只能表示与向量e1 1, ,e2 2共线的向量共线的向量, ,无无法表示平面内其他的向量法表示平面内其他的向量. .2.2.对于同一向量对于同一向量a, ,若基底不同若基底不同, ,则表示这一向量则表示这一向量a的实的实数数1 1,2 2的值是否相同的值是否相同? ?提示提示: :不相同不相同, ,根据平面向量基本定理根据平面向量基本定理a= =1 1e1 1+ +2 2e2 2, ,向向量量e1 1, ,e2 2改变时改变时, ,1 1, ,2 2的值也变化的值也变化. .【拓展延伸【拓展延伸】平面向量基本定理的实质平面向量基本定理的实质这个定理告诉我们这个定理告诉我们, ,平面内任意向量都可以沿两个不共平面内任意向量都可以沿两个不共线的方向分解为两个向量的和线的方向分解为两个向量的和, ,并且这种分解是唯一并且这种分解是唯一的的.1 1e1 1+2 2e2 2叫做叫做e1 1, ,e2 2的一个线性组合的一个线性组合. .由平面向量由平面向量基本定理可知基本定理可知, ,如果如果e1 1, ,e2 2不共线不共线, ,那么由那么由e1 1, ,e2 2的所有线的所有线性组合构成的集合性组合构成的集合1 1e1 1+2 2e2 2(1 1,2 2R)R)就是平面就是平面内的全体向量内的全体向量. .【探究总结【探究总结】知识归纳知识归纳: :方法总结方法总结: :用基底表示向量的两种方法用基底表示向量的两种方法(1)(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化, ,直至用基底表示为止直至用基底表示为止. .(2)(2)通过列向量方程或方程组的形式通过列向量方程或方程组的形式, ,利用基底表示向利用基底表示向量的唯一性求解量的唯一性求解. .【题型探究【题型探究】类型一类型一: :对平面向量基本定理的理解对平面向量基本定理的理解【典例【典例1 1】(1)(1)如果如果e1 1, ,e2 2是平面是平面内两个不共线的向量内两个不共线的向量, ,那么下列说法中不正确的是那么下列说法中不正确的是( () )a=e1 1+e2 2(,R)(,R)可以表示平面可以表示平面内的所有向内的所有向量量; ;对于平面对于平面内任一向量内任一向量a, ,使使a=e1 1+e2 2的实数对的实数对(,(,) )有无穷多个有无穷多个; ;若向量若向量1 1e1 1+1 1e2 2与与2 2e1 1+2 2e2 2共线共线, ,则则 若实数若实数,使得使得e1 1+e2 2= =0, ,则则=0.=0.A.A.B.B.C.C.D.D.1122.(2)(2)设向量设向量e1 1与与e2 2不共线不共线, ,若若3x3xe1 1+(10-y)+(10-y)e2 2=(4y-7)=(4y-7)e1 1+2x+2xe2 2, ,则实数则实数x,yx,y的值分别为的值分别为( () )A.0,0A.0,0B.1,1B.1,1C.3,0C.3,0D.3,4D.3,4【解题指南【解题指南】(1)(1)两个向量可以作为基底的条件是不共两个向量可以作为基底的条件是不共线线. .(2)(2)基底若确定基底若确定. .利用平面向量基本定理分解的利用平面向量基本定理分解的1 1,2 2唯一唯一. .【解析【解析】(1)(1)选选B.B.由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知, ,是正是正确的确的. .对于对于, ,由平面向量基本定理可知由平面向量基本定理可知, ,若一个平面的若一个平面的基底确定基底确定, ,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的一的. .对于对于, ,当当1 12 2=0=0或或1 12 2=0=0时不一定成立时不一定成立, ,应应为为1 12 2- -2 21 1=0.=0.(2)(2)选选D.D.因为向量因为向量e1 1与与e2 2不共线不共线, ,所以所以 3x4y7,x3,10y2xy4.解得，【规律总结【规律总结】对基底的理解对基底的理解(1)(1)两个向量能否作为一组基底两个向量能否作为一组基底, ,关键是看这两个向量关键是看这两个向量是否共线是否共线. .若共线若共线, ,则不能作基底则不能作基底, ,反之反之, ,则可作基底则可作基底. .(2)(2)一个平面的基底若确定一个平面的基底若确定, ,那么平面上任意一个向量那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来都可以由这组基底唯一线性表示出来, ,设向量设向量a与与b是平是平面内两个不共线的向量面内两个不共线的向量, ,若若x x1 1a+y+y1 1b=x=x2 2a+y+y2 2b, ,则则 1212xx ,yy .【巩固训练【巩固训练】若向量若向量a, ,b不共线不共线, ,则则c=2=2a- -b, ,d=3=3a-2-2b, ,试判断试判断c, ,d能否作为基底能否作为基底. .【解析解析】设存在实数设存在实数,使使c= =d, ,则则2 2a- -b=(3=(3a-2-2b),),即即(2-3)(2-3)a+(2-1)+(2-1)b= =0, ,由于向量由于向量a, ,b不共线不共线, ,所以所以2-3=2-1=0,2-3=2-1=0,这样的这样的是是不存在的不存在的, ,从而从而c, ,d不共线不共线, ,c, ,d能作为基底能作为基底. .类型二类型二: :用基底表示平面向量用基底表示平面向量【典例【典例2 2】如图所示如图所示, ,在在 ABCDABCD中中, ,点点E,FE,F分别为分别为BC,DCBC,DC边边上的中点上的中点,DE,DE与与BFBF交于点交于点G,G,若若 试用试用a, ,b表示向量表示向量 AB,AD ，abDE,BF. 【解题指南【解题指南】利用向量的加法运算和中点的有关知识利用向量的加法运算和中点的有关知识结合图形求解结合图形求解. .【解析【解析】 1DEDAABBEADABBC2 11ADABAD.22BFBAADDF11ABADAB.22 abba【延伸探究【延伸探究】1.1.本例条件不变本例条件不变, ,试用基底试用基底a, ,b表示表示 【解析【解析】由由平面几何知识知平面几何知识知 AG.2BGBF3 ，221AGABBGABBF()3322122.3333 故abaabaab2.2.若本例中的基向量若本例中的基向量 即若即若 试用试用a, ,b表示向量表示向量 【解析【解析】 AB,ADCE CF “”换为“， ”CE,CF, abDE,BF. DEDCCE2FCCE2CFCE2. baBFBCCF2ECCF2CECF2. ab【规律总结【规律总结】平面向量基本定理的作用以及注意点平面向量基本定理的作用以及注意点(1)(1)根据平面向量基本定理根据平面向量基本定理, ,任何一组基底都可以表示任何一组基底都可以表示任意向量任意向量. .用基底表示向量用基底表示向量, ,实质上是利用三角形法则实质上是利用三角形法则或平行四边形法则或平行四边形法则, ,进行向量的加减法运算进行向量的加减法运算. .(2)(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形, ,利用已知向量表示未知向量利用已知向量表示未知向量, ,或找到已知向量与未知向或找到已知向量与未知向量的关系量的关系, ,用方程的观点求出未知向量用方程的观点求出未知向量. .【补偿训练【补偿训练】如图如图, ,在在 ABCDABCD中中,M,N,M,N分别为分别为DC,BCDC,BC的中的中点点, ,已知已知 用用c, ,d表示表示 =_,=_, =_. =_.AM,AN,cdAD AB 【解析【解析】设设 则由则由M,NM,N分别为分别为DC,BCDC,BC的中点的中点, ,得得 由由, ,得得a= (2= (2d- -c),),b= (2= (2c- -d),),AB,AD, ab11BN,DM.22 ba1ADDMAM.21ABBNAN,.2 ，即即bacabd2323答案答案: : 4242AB,AD.3333 即dccd42423333cd dc类型三类型三: :向量的夹角向量的夹角【典例【典例3 3】(1)(2016(1)(2016韶关高一检测韶关高一检测) )已知向量已知向量a, ,b, ,c满满足足| |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,c= =a+ +b, ,ca, ,则则a, ,b的夹角等于的夹角等于_._.(2)(2)已知已知| |a|=|=|b|=2,|=2,且且a与与b的夹角为的夹角为6060, ,若若a+ +b与与a的的夹角为夹角为,a- -b与与a的夹角为的夹角为,求求+. .【解题指南【解题指南】(1)(1)根据条件根据条件, ,作出作出a, ,b, ,c构成的三角形构成的三角形, ,结合图形求夹角结合图形求夹角. .(2)(2)在图形中作出向量在图形中作出向量a, ,b, ,a+ +b与与a- -b, ,利用平面几何的利用平面几何的知识结合向量的知识求解知识结合向量的知识求解. .【解析【解析】(1)(1)作作 则则 ( (如图所示如图所示),),则则a, ,b夹角为夹角为180180-C.-C.因为因为| |a|=1,|=1,|b|=2,|=2,ca, ,所以所以C=60C=60, ,所以所以a, ,b的夹角为的夹角为120120. .答案答案: :120120BC,CA ，abBA cab(2)(2)如图如图, ,作作 = =a, =, =b, ,且且AOB=60AOB=60, ,以以OA,OBOA,OB为邻边作平行四边形为邻边作平行四边形OACB,OACB,则则 = =a+ +b, , = =a- -b, =, =a, ,因为因为| |a|=|=|b|=2,|=2,且且AOB=60AOB=60, ,OAOB OC BAOAOB BCOA 所以所以OABOAB为正三角形为正三角形,OAB=60,OAB=60=ABC,=ABC,即即a- -b与与a的夹角的夹角=60=60. .因为因为| |a|=|=|b|,|,所以平行四边形所以平行四边形OACBOACB为菱形为菱形, ,所以所以OCAB,OCAB,所以所以COA=90COA=90-60-60=30=30, ,即即a+ +b与与a的夹角的夹角=30=30, ,所以所以+=90=90. .【规律总结【规律总结】两向量夹角的实质及求解的关键两向量夹角的实质及求解的关键(1)(1)实质实质: :两向量的夹角两向量的夹角, ,实质上是从同一起点出发的两实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角个非零向量构成的角. .(2)(2)关键关键: :求两个向量的夹角求两个向量的夹角, ,关键是利用平移的方法使关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合两个向量的起点重合, ,然后按照然后按照“一作二证三算一作二证三算”的步的步骤骤, ,并结合平面几何知识求出夹角并结合平面几何知识求出夹角. .【巩固训练【巩固训练】如图如图, ,已知已知ABCABC是等边三角形是等边三角形. .(1)(1)求向量求向量 的夹角的夹角. .(2)(2)若若E E为为BCBC的中点的中点, ,求向量求向量 的夹角的夹角. .ABBC 与向量AEEC 与【解析【解析】(1)(1)由向量夹角的定义知由向量夹角的定义知, , 的夹角为的夹角为B B的补角的补角, ,而而B=60B=60, ,故向量故向量 的夹角是的夹角是120120. .(2)(2)因为点因为点E E为为BCBC的中点的中点, ,由平面几何知识知由平面几何知识知AEEC,AEEC,故向量故向量 与与 的夹角是的夹角是9090. .ABBC 与ABBC 与AE EC
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