2016年辽宁省盘锦市辽河油田二中高三上学期12月月考数学试卷（理科）

2015-2016学年辽宁省盘锦市辽河油田二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1设全集U=R，且A=x|x1|2，B=x|x26x+80，则（UA）B=（）A1，4）B（2，3）C（2，3D（1，4）2已知（3+i）z=2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题4已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若 mn，m，n，则B若m，a=n，则mnC若m，则mD若m，n，mn，则5已知f（x）=是（，+）上的减函数，那么a的取值范围是（）A，）B（0，）C（，1）D（，1）6函数y=sinxcosx+cos2x在0，的值域是（）A1，1B，1C，1D0，17如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）ABCD8如图，该程序运行后输出的结果为（）A1B2C4D169已知点A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），O（0，0），若，则的夹角为（）ABCD10若抛物线y2=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到x轴的距离为（）A1B2CD411在的展开式中，x的幂指数是整数的有（）A3项B4项C5项D6项12若曲线f（x）=x4x在点P处的切线平行于直线3xy=0，则点P的坐标为（）A（1，2）B（1，3）C（1，0）D（1，5）二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是14若等比数列an的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于15双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为16若3a=0.618，ak，k+1），（kZ），则k=三、解答题：（17-21题均为12分，选做题10分）17已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2，数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m18张明要参加某单位组织的招聘面试面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰已知张明答对每一道题的概率都为（）求张明进入下一轮的概率；（）设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望19如图甲，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点线段AG交线段ED于F点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体（）求证BC平面AFG；（）求二面角BAED的余弦值20己知O：x2+y2=6，P为O上动点，过P作PMx轴于M，N为PM上一点，且（）求点N的轨迹C的方程；（）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由21若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求F（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由选做题：请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交O、BD于点E、F连接CE（1）求证：AGEF=CEGD；（2）求证：23在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos+3=0（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|24设函数f（x）=|2x+1|x2|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）xR，使f（x）t2t，求实数t的取值范围2015-2016学年辽宁省盘锦市辽河油田二中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题一个选项，每题5分共60分）1设全集U=R，且A=x|x1|2，B=x|x26x+80，则（UA）B=（）A1，4）B（2，3）C（2，3D（1，4）【考点】绝对值不等式的解法；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式的解法【分析】利用绝对值是表达式的解法求出集合A，二次不等式的解法求解集合B，然后求解（UA）B【解答】解：A=x|x1|2=x|x3或x1，UA=x|1x3B=x|x26x+80=x|2x4，（UA）B=x|2x3故选：C2已知（3+i）z=2i（i是虚数单位），那么复数z对应的点位于复平面内的（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先表示出复数z，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成复数的标准形式，写出点的坐标，根据点的坐标的符号，看出点所在的象限【解答】解：z=，对应的点的坐标是（）对应的点在第三象限，故选C3下列有关命题的说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”B“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件C命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”D命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x21，则x1”，故错误对于B：因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为xR，均有x2+x+10故错误由排除法即可得到答案【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x1”因为否命题应为“若x21，则x1”，故错误对于B：“x=1”是“x25x6=0”的必要不充分条件因为x=1x25x6=0，应为充分条件，故错误对于C：命题“xR，使得x2+x+10”的否定是：“xR，均有x2+x+10”因为命题的否定应为xR，均有x2+x+10故错误由排除法得到D正确故答案选择D4已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）A若 mn，m，n，则B若m，a=n，则mnC若m，则mD若m，n，mn，则【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】A利用面面平行的判定定理判断B利用线面平行的性质判断C利用线面垂直的判定定理判断D利用面面垂直的判定定理判断【解答】解：A根据平行线的性质可知，当mn，m，n，则，所以A正确B根据线面平行的性质可知，只有当m，n共面时才有mn，所以B错误C根据面面平行的性质可知，如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，则必垂直另一个平面，所以C正确D根据线面垂直的性质可知，若m，n，mn，则，所以D正确故选B5已知f（x）=是（，+）上的减函数，那么a的取值范围是（）A，）B（0，）C（，1）D（，1）【考点】函数单调性的性质【分析】由f（x）为（，+）上的减函数，知（3a1）x+4a递减，logax递减，且（3a1）1+4aloga1，从而得，解出即可【解答】解：因为f（x）为（，+）上的减函数，所以有，解得，故选A6函数y=sinxcosx+cos2x在0，的值域是（）A1，1B，1C，1D0，1【考点】三角函数的最值【分析】首先对三角函数式进行化简得y=，再求出2x+的取值范围后求值域【解答】解：由题意知化简三角函数式：y=sinxcosx+cos2x=+=x0，sin（2x+）1故选：C7如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】三视图复原的几何体是正四棱锥，求出底面面积，正四棱锥的高，即可求出体积【解答】解：如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V=4=故选C8如图，该程序运行后输出的结果为（）A1B2C4D16【考点】程序框图【分析】由题意可得：a=13，b=2，a=1+1=2；a=23，b=4，a=2+1=3；a=33，b=16，a=3+1=4；进而程序结束得到答案【解答】解：由题意可得：a=13，b=2，a=1+1=2；a=23，b=4，a=2+1=3；a=33，b=16，a=3+1=4；因为a=43不成立，所以输出b的数值为16故选D9已知点A（3，0），B（0，3），C（cos，sin），O（0，0），若，则的夹角为（）ABCD【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】根据题意求出的坐标，再由它的模求出角，进而求出点C的坐标，利用数量积的坐标表示求出和夹角的余弦值，再求出夹角的度数【解答】解：A（3，0），C（cos，sin），O（0，0），=（3+cos，sin），（3+cos）2+sin2=13，解得，cos=，则=，即C（，），和夹角的余弦值是=，和的夹角是故选：D10若抛物线y2=4x上一点M到该抛物线的焦点F的距离|MF|=5，则点M到x轴的距离为（）A1B2CD4【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求得准线方程，利用抛物线定义可知M到准线的距离为5，进而利用xM+1=5求得M的横坐标，代入抛物线方程求得M的纵坐标，从而求得答案【解答】解：根据题意可知抛物线的准线方程为x=1，M到该抛物线的焦点F的距离为5M到准线的距离为5，即xM+1=5xM=4，代入抛物线方程求得y=4点M到x轴的距离为4故选D11在的展开式中，x的幂指数是整数的有（）A3项B4项C5项D6项【考点】二项式定理的应用【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为整数得展开式中x的幂的指数是整数的项【解答】解：当r=0，6，12，18，24时，x的指数分别是整数故x的幂的指数是整数的有5项故选项为C12若曲线f（x）=x4x在点P处的切线平行于直线3xy=0，则点P的坐标为（）A（1，2）B（1，3）C（1，0）D（1，5）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出P的坐标为（a，b），根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，由曲线在点P的切线与已知直线平行，得到斜率相等，先根据已知直线的方程求出已知直线的斜率即为曲线上过点P切线方程的斜率，即为导函数在x=a时的函数值，把x=a代入导函数表示出函数值，让其等于切线方程的斜率列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，然后把a的值代入f（x）中即可得到b的值，根据求出的a与b的值写出点P的坐标即可【解答】解：设点P的坐标为（a，b），由f（x）=x4x，得到f（x）=4x31，因为曲线上过P的切线与直线3xy=0平行，所以过点P的切线的斜率k等于直线3xy=0的斜率，即k=3，则f（a）=4a31=3，解得a=1，把a=1代入得：f（1）=0，则点P的坐标为（1，0）故选C二、填空题（每小题5分，每题5分共20分）13若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是【考点】简单线性规划；几何概型【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案【解答】解：满足约束条件区域为ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P=故答案为：14若等比数列an的首项为，且a4=（1+2x）dx，则公比q等于3【考点】等比数列；定积分【分析】先计算定积分得到a4，因为等比数列的首项为，然后根据等比数列的通项公式列出关于q的方程，求出即可【解答】解：由已知得：a4=14（1+2x）dx=x+x2|14=18又因为等比数列的首项为，设公比为q根据等比数列的通项公式an=a1qn1，令n=4得：a4=q3=18，解得q3=27，所以q=3故答案为315双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为【考点】双曲线的简单性质；基本不等式【分析】根据条件，确定几何量之间的关系，再利用基本不等式，即可得到结论【解答】解：由题意，b=，c=2a=（当且仅当a=时取等号）当a=时，的最小值为故答案为：16若3a=0.618，ak，k+1），（kZ），则k=1【考点】指数函数的单调性与特殊点【分析】先判断出0.618所在的范围，必须与3有关系，再根据y=3x在定义域上是增函数，得出a所在的区间，即能求出k的值【解答】解：0.6181，且函数y=3x在定义域上是增函数，3a=0.618，1a0，则k=1故答案为1三、解答题：（17-21题均为12分，选做题10分）17已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，其导函数为f（x）=6x2，数列an的前n项和为Sn，点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m【考点】数列的求和；导数的运算【分析】（）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a0），根据导函数求得f（x）的表达式，再根据点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上，求出an的递推关系式，（）把（1）题中an的递推关系式代入bn，根据裂项相消法求得Tn，最后解得使得对所有nN*都成立的最小正整数m【解答】解：（）设这二次函数f（x）=ax2+bx（a0），则f（x）=2ax+b，由于f（x）=6x2，得a=3，b=2，所以f（x）=3x22x又因为点（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上，所以Sn=3n22n当n2时，an=SnSn1=（3n22n）3（n1）22（n1）=6n5当n=1时，a1=S1=3122=615，所以，an=6n5（nN*）（）由（）得知=，故Tn=（1）因此，要使（1）（nN*）成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为1018张明要参加某单位组织的招聘面试面试要求应聘者有7次选题答题的机会（选一题答一题），若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰已知张明答对每一道题的概率都为（）求张明进入下一轮的概率；（）设张明在本次面试中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】（）分别求得张明答4道题进入下一轮的概率、答5道题进入下一轮的概率、答6道题进入下一轮的概率、答7道题进入下一轮的概率，相加即得所求（）依题意，的可能取值为4，5，6，7，再求出取每一个值的概率，即可求得它的概率分布列以及数学期望【解答】解：（）张明答4道题进入下一轮的概率为；答5道题进入下一轮的概率为；答6道题进入下一轮的概率为；答7道题进入下一轮的概率为；故张明进入下一轮的概率为（）依题意，的可能取值为4，5，6，7当=4时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰.；类似有； P（=6）=；P（=7）=于是的分布列为4567P19如图甲，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点线段AG交线段ED于F点，将AED沿ED翻折，使平面AED平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体（）求证BC平面AFG；（）求二面角BAED的余弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（）由已知条件推导出DEAF，DEGF，DEBC，DE平面AFG由此能够证明BC平面AFG（） 以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角BAED的余弦值【解答】（）证明：在图甲中，ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点，DEAF，DEGF，DEBC在图乙中，DEAF，DEGF，AFFG=F，DE平面AFG又DEBC，BC平面AFG（）平面AED平面BCDE，平面AED平面BCDE=DE，DEAF，DEGF，FA，FD，FG两两垂直以点F为坐标原点，分别以FG，FD，FA所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz则由题意知：，E（0，2，0），0）设平面ABE的一个法向量为则，取x=1，则，z=1，显然为平面ADE的一个法向量，所以二面角BAED为钝角，二面角BAED的余弦值为20己知O：x2+y2=6，P为O上动点，过P作PMx轴于M，N为PM上一点，且（）求点N的轨迹C的方程；（）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（）设M（x，y），则可设P（x，y0），Q（x，0），根据又，可确定y0=3y，进而可知点P的坐标代入圆的方程，求得曲线C的方程（）设D（x1，y1），E（x2，y2），设出过点B的直线DE的方程，与题意方程联立，利用韦达定理求出横坐标的和与乘积，求出kAD+kAE化简即可判断否为定值【解答】解：（）设N（x，y），P（x0，y0），则M（x0，0），由，得，由于点P在圆O：x2+y2=6上，则有，即点N的轨迹C的方程为（） 设D（x1，y1），E（x2，y2），过点B的直线DE的方程为y=k（x3），由消去y得：（2k2+1）x212k2x+18k26=0，其中0；=kAD+kAE是定值221若存在实常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x分别满足：f（x）kx+b和g（x）kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”已知h（x）=x2，（x）=2elnx（e为自然对数的底数）（1）求F（x）=h（x）（x）的极值；（2）函数h（x）和（x）是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由已知中函数f（x）和（x）的解析式，求出函数F（x）的解析式，根据求导公式，求出函数的导数，根据导数判断函数的单调性并求极值（2）由（1）可知，函数f（x）和（x）的图象在（，e）处相交，即f（x）和（x）若存在隔离直线，那么该直线必过这个公共点，设隔离直线的斜率为k则隔离直线方程为ye=k（x），即y=kxk+e，根据隔离直线的定义，构造方程，可求出k值，进而得到隔离直线方程【解答】解：（1）F（x）=f（x）（x）=x22elnx（x0），F（x）=2x=令F（x）=0，得x=，当0x时，F（x）0，x时，F（x）0故当x=时，F（x）取到最小值，最小值是0（2）由（1）可知，函数f（x）和（x）的图象在（，e）处相交，因此存在f（x）和（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k则隔离直线方程为ye=k（x，即y=kxk+e由f（x）kxk+e（xR），可得x2kx+ke0当xR恒成立，则=k24k+4e=（k2）20，k=2，此时直线方程为：y=2xe，下面证明（x）2xeexx0时恒成立令G（x）=2 xe（x）=2xe2elnx，G（x）=2=（2x2e）=2（x），当x=时，G（X）=0，当0x时G（x）0，则当x=时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值所以G（x）=2xeg（x）0，则（x）2xe当x0时恒成立函数f（x）和（x）存在唯一的隔离直线y=2xe选做题：请考生在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22如图，已知O和M相交于A、B两点，AD为M的直径，直线BD交O于点C，点G为弧中点，连接AG分别交O、BD于点E、F连接CE（1）求证：AGEF=CEGD；（2）求证：【考点】圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段【分析】（1）要证明AGEF=CEGD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题（2）由（1）的推理过程，我们易得DAG=GDF，又由公共角G，故DFGAGD，易得DG2=AGGF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论【解答】证明：（1）连接AB，AC，AD为M的直径，ABD=90，AC为O的直径，CEF=AGD，DFG=CFE，ECF=GDF，G为弧BD中点，DAG=GDF，DAG=ECF，CEFAGD，AGEF=CEGD（2）由（1）知DAG=GDF，G=G，DFGADG，DG2=AGGF，由（1）知，23在直角坐标系xOy中，直线C的参数方程为为参数），曲线P在以该直角坐标系的原点O的为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为24cos+3=0（1）求直线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设直线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式；参数方程化成普通方程【分析】（1）参数t得到曲线C的普通方程为xy1=0，利用x=cos，y=sin，即可得出P的直角坐标方程；（2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=即可得出【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为xy1=0；x=cos，y=sin，曲线P在极坐标系下的方程为24cos+3=0，曲线P的直角坐标方程为x2+y24x+3=0（2）曲线P可化为（x2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为，故|AB|=24设函数f（x）=|2x+1|x2|（1）求不等式f（x）2的解集；（2）xR，使f（x）t2t，求实数t的取值范围【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|x2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若xR，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围【解答】解：（1）当，x5当，1x2当x2，x+32，x1，x2综上所述 x|x1或x5（2）由（1）得，若xR，恒成立，则只需，综上所述2016年11月9日