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第二部分第二部分 突破重点题型赢取考场高分突破重点题型赢取考场高分题型题型3 3规律探究问题规律探究问题常考类型常考类型突破突破类型类型1 数的规律数的规律 【例1】2017凉山州中考古希腊数学家把1,3,6,10,15,21，叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第二个三角形数，6是第三个三角形数，依此类推，第100个三角形数是5050.【解析】 设第n个三角形数为an，a11，a2312，a36123，a4101234，an12n .将n100代入an，得a100 5050.满分技法 解答数式规律探索题的方法：第一步：标序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数(1,2,3,4，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n个数式我们需要熟记的数字规律有：(1)自然数列规律：0,1,2,3，n(n0)；(2)正整数列规律：1,2,3，n1，n(n1)；(3)奇数列规律：1,3,5,7,9，2n1(n1)；(4)偶数列规律：2,4,6,8，2n(n1)；(5)正整数和：1234n (n1)；(6)正整数平方：1,4,9,16，n2(n1)；(7)正整数平方加1：2,5,10,17，n21(n1)；(8)正整数平方减1：0,3,8,15，n21(n1)满分必练满分必练 1.2017武汉中考按照一定规律排列的n个数：2,4，8,16，32,64，若最后三个数的和为768，则n为(B)A9 B10 C11 D12满分必练 2.2017岳阳中考观察下列等式：212,224,238,2416,2532,2664，根据这个规律，则2122232422017的末尾数字是(B)A0 B2 C4 D6B根据数的规律，第n个数为(2)n，故有最后三个数的和为(2)n2(2)n1(2)n(2)n2(124)(2)n23768，(2)n2256(2)8.n10.B找规律，21末尾数字为2,2122末尾数字为6,212223末尾数字为4,21222324末尾数字为0,2122232425末尾数字为2，发现周期为4.20174的余数是1，因此2122232422017的末尾数字与21末尾数字相同，为2.满分必练 3.2017自贡中考填在下面各正方形中四个数之间都有相同的规律，根据这种规律m的值为(C)A180 B182 C184 D186C观察所给四个正方形可知，11435,33257,55879，故11m(112)(114)，解得m184.【例2】 2017长丰三模观察下图：类型类型2 式子规律式子规律我们把正方形中所有x，y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4xy，第2个图形中的“正方形多项式”为9x4y，遵循以上规律，解答下列问题：(1)第4个图形中的“正方形多项式”为，第n(n为正整数)个图形中的“正方形多项式”为.(2)如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2.求x和y的值；求“正方形多项式”的值Q的最大值(或最小值)，并说明是第几个图形【解】 (1)第1个图形中的“正方形多项式”为4xy，第2个图形中的“正方形多项式”为9x4y，第3个图形中的“正方形多项式”为16x9y，第4个图形中的“正方形多项式”为25x16y，第n(n为正整数)个图形中的“正方形多项式”为(n1)2xn2y.故答案为：25x16y，(n1)2xn2y.(2)依题意，得Q(n1)2xn2yn24n2(n2)26.当n2时，Q最大值为6.第2个图形中的“正方形多项式”的值最大，最大值为6.满分技法满分技法 对于数式规律题，解题的关键是根据已知的数式得出前后数式之间的变化关系或数式与序数之间的关系，当求第n个数式时直接套用关系式即可满分必练 4.2017太和一模从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：(1)根据表中的规律猜想：用n的式子表示S的公式为：S24682n；(2)如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律：第n行的第一个数可用含n的式子表示为：；如果某行的第一个数为157，求其所在的行数加数的个数加数的个数nS12122246233246123442468204552468103056解： (1)24682nn n(n1)故答案为：n(n1)(2)第一行的第一个数字1120，第二行的第一个数字3221，第三行的第一个数字7322，第四行的第一个数字13423，以此类推，第n行的第一个数字为n2(n1)n2n1.故答案为：n2n1.当n2n1157时，解得n13或12(舍去)，其所在的行数为13.类型类型3 3 点坐标规律点坐标规律【解析】 第一次P1(5,2)，第二次P2(8,1)，第三次P3(10,1)，第四次P4(13,2)，第五次P5(17,2)，发现点P的位置4次一个循环201745041，P2017的纵坐标与P1相同为2，横坐标为11250446053，P2017(6053,2)2017南宁中考如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3,0)，点P(1,2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90，第一次旋转至图位置，第二次旋转至图位置，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为(6053,2).满分技法 探索点的坐标变化规律时，先根据函数图象(往往为一次函数)求出特殊点的坐标，再从特殊到一般，归纳各坐标之间的共性，进而类比出点的坐标变化规律满分必练 5.2017广安中考正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示放置，点A1，A2，A3在直线yx1上，点C1，C2，C3在x轴上，则An的坐标是(2n11,2n1).(2n11,2n1)点A1，A2，A3，在直线yx1上，A1的坐标是(0,1)，即OA11.A1B1C1O为正方形，OC11，即点A2的横坐标为1.A2的坐标是(1,2)，A2C12.A2B2C2C1为正方形，C1C22，OC2123，即点A3的横坐标为3，A3的坐标是(3,4)，.观察可以发现：A1的横坐标是0201，A1的纵坐标是120；A2的横坐标是1211，A2的纵坐标是221；A3的横坐标是3221，A3的纵坐标是422；据此可以得到An的横坐标是2n11，纵坐标是2n1.点An的坐标是(2n11,2n1)满分必练满分必练 6.2017菏泽中考如图，ABy轴，垂足为B，将ABO绕点A逆时针旋转到AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y x上，再将AB1O1绕点B1逆时针旋转到A1B1O2的位置，使点O1对应点O2落在直线y x上，依次进行下去若点B的坐标是(0,1)，则O12的纵坐标为93 .33333【例4】正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形ABCD的顶点A，B，C，D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：(1)填写下表：(2)原正方形能否被分割成2018个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由类型类型4 4 图形规律图形规律正方形正方形ABCD内点的个数内点的个数1234n分割成的三角形的个数分割成的三角形的个数46_【解】 (1)填表如下.(2)能设点数为n，则2(n1)2018，解得n1008，答：原正方形能被分割成2018个三角形，此时正方形ABCD内部有1008个点正方形正方形ABCD内点的内点的个数个数1 2 34 n分割成的三角形的个分割成的三角形的个数数4 6 8 10 2n2满分技法满分技法 1.解答图形排列规律探索题的方法：第一步标序数：按图号标序；第二步找关系：找后一个图与前一个图中所求量之间的关系(一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量)或找出图中的所求量与序数之间的关系；第三步算结果：计算每个图中所求量的个数；第四步找规律：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步归纳：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图中所求量的个数；第六步验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确2对于图形循环变换类规律题，求经过N次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察这组图形，得到该组图形经过一个循环变换需要的次数，记为n；第二步：用N除以n，当商b余m(0mn)时，第N次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第N次变换后对应的图形满分必练 7.2017重庆中考下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有3个菱形，第个图形中一共有7个菱形，第个图形中一共有13个菱形，按此规律排列下去，第个图形中菱形的个数为(C)A73 B81 C91 D109C整个图形可以看作是由两部分组成：上半部分是菱形，下半部分是由菱形组成的一条线段，各自的变化规律我们可以用一个表格来呈现：由此，不难推断出这组图形中菱形个数的变化规律为n2n1.当n9时，有n2n1929191，第个图形中菱形的个数为91. 第个第个 第个 第个第n个上半部分1124229321642n2下半部分211321431541 n1满分必练 8.2017德州中考观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2、图3)，则图6中挖去三角形的个数为(C)A121 B362 C364 D729C图1挖去三角形的个数为1；图2挖去三角形的个数为13；图3挖去三角形的个数为3231；图4挖去三角形的个数为333231；图5挖去三角形的个数为34333231；图6挖去三角形的个数为3534333231364.
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