2015春-专科起点本科-笔试 - 东北农业大学

东北农业大学网络教育2015年专科起点本科入学考试模拟试题高等数学（一）一、选择题： 1.设，则等于 （ ）A. B. C. D. 2. 已知为常数，则等于 （ ）A.B.C.D. 03. 已知，则等于 （ ） A.B. C. D. 4. 已知，则等于（ ）A. B. C. D. 5. 已知，则等于 （ ） A.B. C. D. 6. 设的一个原函数为，则下列等式成立的是 （ ） A. B. C. D. 7. 设为连续函数，则等于 （ ） A. B. C. D.8.广义积分等于 （ ） A. B. C. D. 9. 设，则等于 （ ） A.B. C. D. 10. 若事件与为互斥事件，且，则等于（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.5D.0.611.设函数，则函数的间断点是 （ ）A. B. C. D. 12. 设在及其领域内可导，且当时，则必有 （ ）A.小于0B.大于0C.等于0D. 不确定13. 设在处可导，且则等于（ ） A.2B. 0C. 2D. 414. 设函数，则等于（ ）A. B. C. D. 15. 曲线，在内是 （ ） A.单调递增且是凹的B. 单调递增且是凸的C. 单调递减且是凹的D. 单调递减且是凸的16. 若，则等于 （ ） A. B. C. D. 17. 设，则等于 （ ） A. B. C. D.18.设为连续的偶函数，且，则等于 （ ） A. B. C. 0D. 19. 设函数，其中为可导函数，则等于 （ ） A.B. C. D. 20. 若事件发生，必然导致事件发生，则事件A和B的关系一定是（ ） A.B. C. 对立事件D.互不相容事件21.当时，下列函数中不是无穷小量的是 （ ）A. B. C. D.22. 设函数，则等于 （ ）A. 3B. 1C. 0D. 不存在23. 设函数，则等于 （ ） A.B. C. D. 24. 设函数在内可导，且，则等于（ ）A. B. C. D. 25. 设函数，则等于 （ ） A. 0B. C. D. 26. 设的一个原函数为，则等于 （ ） A. B. C. D. 27. 设函数在点处的切线斜率为，则该曲线过点（1，0）的方程为 （ ） A. B. C. D.28.若，则 （ ） A. B. C. D. 29. 设函数，则等于 （ ） A.B. C. D. 30. 设100件产品中有次品4件，从中任取5件的不可能事件是 （ ） A. “5件都是正品”B. “5件都是次品”C. “至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”二、填空题： 31.设，则 .32. .33.设，则 .34.函数的驻点为 .35.设，则 .36. . 37.设，则 .38.若，则 .39.已知，则 .40.已知，且都存在，则 .41.设函数在处连续，则 .42. .43.设函数，则 .44.设函数，则 .45.设函数，则 .46. . 47.设函数，则 .48. .49.设，则 .50.由曲线和围成的平面图形的面积 .51. .52.设，则 .53.设，则 .54.设，则 .55.若是函数的一个极值点，则 .56. . 57.设，若用换成对的积分再求解，可解得 .58.若，则 .59.设，则 .60.已知，则 .三、解答题： 61.（本题满分8分）计算.62. （本题满分8分）设函数，求.63. （本题满分8分）计算.64. （本题满分8分）甲、乙二人单独译出某密码的概率分别为0.6.和0.8，求此密码被破译的概率.65. （本题满分8分）计算.66.（本题满分10分）设函数在点处取得极小值1，且点（0，1）为该函数曲线的拐点，试求常数.67.（本题满分10分）设函数是由方程所确定的隐函数，求函数曲线，过点（0，1）的切线方程.68.（本题满分10分）求函数在条件下的极值.69.（本题满分8分）设，求值.70. （本题满分8分）设函数，求.71. （本题满分8分）计算.72. （本题满分8分）设的一个原函数为，求.73. （本题满分8分）已知袋中有8个球，其中5个白球，3个红球.从中任取一个球，不放回地取两次，设事件，求.74.（本题满分10分）当时，证明：.75.（本题满分10分）某工厂要制造一个无盖的圆柱形发酵池，其容积是.池底的材料30元/，池壁的材料20元/，问如何设计，才能使成本最低，最低成本是多少元？76.（本题满分10分）求二元函数的极值.77.（本题满分8分）计算.78. （本题满分8分）设，求.79. （本题满分8分）计算.80. （本题满分8分）已知，且，求.81. （本题满分8分）设事件与相互独立，且，求.82.（本题满分10分）已知函数在点处取得极大值5，其导函数的图像经过点（1，0）和（2，0）（如图11所示）.(1)根据导函数的图像写出函数的单调区间；(2)求极值点的值；(3)求的值.83.（本题满分10分）设由方程确定，求.84.（本题满分10分）求由曲线及围成的平面图形的面积以及此平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.模拟试题高等数学（一）参考答案一、选择题1.C2. D3. C4. B5. A6.A7. B8. B9.A10.C11.D12. B13. D14. B15. A16.C17. C18. B19.C20.A21.C22. D23. A24. D25. C26. B27. C28. C29. D30.B二、填空题31. 232.033.34. 035. 436.37.38. 139. 040. 41.42.43.44.45.46. 47.48. 149. 50. 51. 252.53.54. 155. 56. 57.58. 59. 60.1三、解答题61. 解：.62.解：因为 ，所以63.解： .64.解：设“甲破译密码”，“乙破译密码”，“密码被破译”则，所以65.解： .66.解：由得. 由拐点得. 函数在点处取得极值必有：. 联立，可解得.67.解法一 直接求导法，等式两边对求导，得，解得.解法二 公式法，设，所以，解法三 微分法，等式两边求微分，得，所以.当时，由方程得，则，所以过点（0，1）的切线方程为，即.68.解：设，则令由与消失得，代入得：，解得，则，所以为极值.69. 解：因为,所以，解得70.解：因为 所以.71.解法一 设，则.当时，；当时，.因此.解法二 .解法三 设，即，则.当时，；当时，. 则 .72.解： 因为，所以 73.解：.74.证：设，则因为，（1）当时，所以是单调增加函数.即时，即，所以；（2）当时，所以是单调减少函数.即时，即，所以；综上，知当时，.75.解：设池底半径为 ，池高为（如图32），则，得又设制造成本为，则 ， .令，得驻点.因为，所以为唯一的极小值点，即为最小值点.所以，底半径为1m，高为m时，可使成本最低，最低成本为元.76.解：因为，由方程组解得.由于所以，则，又，所以，点（5，2）为极小值点，极小值为.77. 解：78.解： 79.解： 80.解：因为，则81.解：82.解：（1）函数的单调性是由导函数的正、负来确定的.根据题目所给的导数图像，可知轴上方的，而轴下方的，所以函数的单调增加区间为与，而在（1，2）内是单调减少的.（2）在处，且时，时，可知是极大值点，即.（3）因为， ，由上面三式解得.83.解法一 等式两边对求导得，所以等式两边对求导得，所以，则有 .解法二 设，则，所以，则有 .解法三 对等式求微分得，所以.84.解：由已知曲线画出平面图形如图12所示的阴影区域.由 东北农业大学网络教育2015年专科起点本科入学考试模拟试题高等数学（二）一、选择题： 1、当时，与的比较是（ ）A. 较高阶的无穷小 B. 较低阶的无穷小 C. 同阶但不等价的无穷小 D.等价的无穷小2、设()在点处可导，且， A. B. 2 C. D. -23、设,则（ ）A. B.0 C. D.4、在上满足罗尔定理条件的函数（ ）A. 其极小值必是最小值 B. 其极大值必是最大值 C. 其极大值不可能在区间端点取得 D.其导函数在内必有零点5、函数的水平渐近线方程是（ ）A. B. C. D.6、设是的一个原函数，则（ ）A. B. C. D.7、级数A. 收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D.收敛于8、在空间中，方程 表示的是（ ）A. 平面的曲线 B. 母线平行于0轴的抛物柱面 C. 母线平行于0轴的抛物线柱面 D. 抛物面9、微分方程的通解为的通解为（ ）A. B. C. D.10、设，则A. B. C. D.11、当时，与比较是（ ）A. 是较高阶的无穷小量 B. 是较低阶的无穷小量 C. 与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量 D.与是等价无穷小量12、设函数，则等于（ ）A. -2009 B. 2009 C. -2009! D. 2009！13、若是的极值点，则（ ）A. 必定存在，且 B. 必定不存在 C. 可能不存在 D.必定存在，但不一定等于零14、函数在点处（ ）A. 无定义 B. 不连续 C. 可导 D.连续但不可导15、（ ）A. B. C. D.16、设是的一个原函数,则（ ）A. B. C. D.17、幂级数的收敛半径是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.18、在空间直解坐标系中，方程表示的图形是（ ）A. 椭圆 B. 椭圆面 C. 抛物面 D. 椭圆柱面19、设，则（ ）A. B. C. D. 20、若和是二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解，则（ ）A. 必是该方程的通解 B.必是该方程的解 C. 必是该方程的特解 D.不一定是该方程的解21、当时，与等价的无穷小量是（ ）A. B. C. D.小22、设函数，则（ ）A. B. C. D.23、设函数，则不定积分（ ）A. B. C. D.24、若，是常数，则级数（ ）A. 收敛 B. 条件收敛 C.发散 D.敛散性与值有关25、设函数，则定积分（ ）A. B.3 C. D.626、设函数，则的一个驻点是（ ）A.（2，6） B.（4，3） C.（0，6） D.（0，3）27、设是连续函数，区域，则二重积分（ ）A. B. C. D.28、（ ）A. B. C. D. 2、设有直线，则该直线必定（ ）A.过原点且垂直于轴 B.过原点且平行于轴 C.不过原点但垂直于轴 D.不过原点，且不平行于轴30、方程的通解是（ ）A. B. C. D.二、填空题： 31、 。32、设函数在处连续，则 33、设，则 。34、设，则 。35、设，且为常数，则 。36、定积分 。37、设二元函数，则 。38、交换二重积分次序 。39、曲线在点（2，1）处的切线斜率为 。40、函数的极大值点是 。41、 42、设，则 43、设曲线，在点处的斜率为3，则点的坐标为 44、设函数，则 45、设积分区域，则二重积分化成极坐标下的二次积分为 46、函数在区间上的最小值是 47、微分方程的通解 48、的幂级数展开式中，的系数是 49、曲线的拐点是 50、过点且与直线垂直的平面方程是 51、设函数，则 52、比较积分大小： 53、设函数，则 54、设，则 55、若的二阶导数连续，则56、级数的和为 57、设区域由曲线，围成，则二重积分 58、微分方程的通解是 59、设二元函数，则 60、极限 三、解答题： 61、求62、设63、计算64、求微分方程的通解65、设，求66、（1）求由曲线与直线所围成的平面图形D的面积S；（2）计算二重积分其中D为（1）中的平面区域。67、求由曲线，与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体体积。68、判断级数的敛散性。69、求70、计算71、求微分方程的通解72、 求曲线的渐近线73、设，求74、计算二重积分 ，其中是顶点分别为（0，0），（1，1），（2，0）的三角形区域75、有一边长为48厘米的正方形铁皮，四角各截支一个大小相同的正方形，然后将四边折起做成一个方形无盖容器，问截去的小正方形的边长多大时，所得容器的容积最大？76、将函数展开成的幂级数77、（本题满分8分） 计算78、（本题满分8分）计算79、（本题满分8分）已知方程确定函数，求和80、（本题满分8分）设积分区域是由坐标轴及直线所围成，求二重积分81、（本题满分8分）设函数，在处可导，求常数和。82、（本题满分10分）欲做容积为的无盖长方体，如何选取长，宽和高，才能使用料最省？83、（本题满分10分）求幂级数 的和函数。84、（本题满分10分）设函数具有连续一阶导数，且满足，求。模拟试题高等数学（二）参考答案1、A 2、D 3、A 4、 D 5、C6、B 7、C 8、C 9、 C 10、C11、C 12、C 13、C 14、D 15、D16、 B 17、B 18、D 19、 A 20、B21、C 22、D 23、B 24、D 25、C26、C 27、B 28、B 29、A 30、C31、 -132、 -133、 034、 35、 36、 37、 138、 39、 40、 （2，-2）41、 142、 43、 （1,0）44、 -145、 46、 347、 48、 49、 50、 51、52、53、54、55、56、257、58、59、60、161、解：当时， 62、解：由于 ，故，当时，得，故63、解：64、解： 65、解： 66、解：(1) (2)67、解：根据题意画出平面图形的草图（如图如示），则所求体积为，所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体体积减去，所围成的平面图形绕轴旋转一周所生成的旋转体体积。当时，由，得 68、解：这是一个正项级数，用正项级数比值判定法判定即可。令，则， 因此当，即时，该级数收敛；当，即时，该级数发散。69、解：70、解：原式 71、解：先求方程的通解，其特征方程为，特征根为，于是齐次方程的通解为，方程中的，其中，不是特征根。可令，则，代入原方程并整理得，解得所求通解为72、解：（1） 曲线没有水平渐近曲线 （2），曲线有铅直渐近线 （3）曲线有铅直渐近线73、解：由于， 故，74、解：画出草图如下：区域的不等式描述为故75、解：设截下的小正方形的边长为厘米，则正方形容器的底边长为，高为，容积为，其中的变化范围是，。令，得驻点坐标，（舍去），所以是唯一的极大值点，最大值是答：当截去的小正方形的边长是8厘米时，容器的容积达到最大，此时容积是8192立方厘米。76、解：设，则， 故当时，即时， 故当时，77、解：当时，78、解：令， 79、解：， 从而80、解： ， 81、解：在处连接，而，。又在处可导，而，82、解：设长为，宽为，则高为，则目标函数为 ，得驻点，由于，是的极小值点。83、解：设，所以84、解：等式两端对求导数，得到一阶线性微分方程，即，其中，则有东北农业大学网络教育2015年专科起点本科入学考试模拟试题高等数学（三）一、选择题1.已知 ，则等于（ ）A. B. C. D.不存在 2.下列积分收敛的是 （ ）A. B. C. D.3.在下列极限中，正确的是 （ ）A. B.不存在C. D. 4. ，则下列正确的是 （ ）A. B.C. D.5.与平面平行的直线方程是 （ ）A. B. C. D. 6.下列结论正确的是 （ ）A.收敛 B. 绝对收敛C.绝对收敛 D. 收敛7. 的通解为 （ ）A. B.C. D. 8.的间断点有 （ ）A.一个 B.二个 C.三个 D.O个 9.已知，则等于 （ ）A. B. C. D. 10.在下列极限中，正确的是 （ ）A. B. C. D. 11若，则等于（ ） A. B. C. D. 12.下列曲面方程表示柱面的是 （ ）A. B. C. D. 13.在下列级数中，条件收敛的是 （ ）A. B. C. D. 14. 则等于 （ ）A. B. C. D. 15.的解是 （ ）A. B. C. D. 16.展开为的幕级数，其收敛域为（ ） A. B. C. D. 17. ，则的值为（ ）A. B. C. D.均不对 18. ，则的值为（ ）A. B. C. D.19.级数绝对收敛，则满足（ ）A. B. C. D.20.点（1，1，1）到平面的距离的值为（ ） A. B. C. D.均不对21.方程的阶数为（ ）A. B. C. D.22.幕级数收敛半径为 （ ）A. B. C. D.均不对23.若，则等于 （ ）A. B. C. D.24.在处满足（ ）A.间断 B.连续不可导 C.连续且一阶可导 D.无法判断 二、填空题25. 确定，则 。26.函数的拐点是 。27. 。28.变换二次积分的顺序： 。29.由确定，则处的切线方程为 。30. 的渐近线为 。31. 。32.的单调减少区间为 。33. 则 。34. 。35. 。36.交换二次积分的顺序： 。三、解答题37.求的值. 38.，求. 39.求 40.求41.解微分方程： 42.求的间断点，并判断其类型43.求二重积分，其中为44 .若在处连续，求的值 45. 求46. 为二阶可微函数，求47. 求48. 求49. 展开为的幕级数，并给出收敛区间- 50.已知，求间断点，并判断类型. 51.求的通解. 52计算，其中由，轴所围成的区域 53.求54.，求. 55.求56.求 57.求微分方程的通解. 58.求，59.分析的间断点，并判断其类型. 60.计算叫，其中由曲线及曲线在（1，1）处切线和轴所围区域 四、证明题61.证明：当时，则成立. 62.证明：当时，则成立. 63.证明：当时，则成立. 五、综合题64.某曲线在处的切线斜率满足，且曲线通过（1，1）点. （1）求的曲线方程；（2）求由，曲线及轴围成区域的面积；（3）上述图形绕轴旋转所得的旋转体的体积. 65.比较和的大小，并证明之. 66.求通过（1，1）点的直线中，使得为最小的直线方程 67.从（0，0）作抛物线的切线. （1）求由切线、抛物线所围成区域的面积; （2）上述图形绕轴旋转所得的旋转体体积. 68.证明方程在（0，1）内有唯一实根. 69求函数的最大值与最小值 70.在直线与抛物线交点上引抛物线的法线，试求由两法线及联结两法线交点上的弦所围成的三角形面积.71.设在上连续，且（0，1）内可导，且，试证：对于任意给定正数，在（0，1）内存在不同的，使.72.在宽为的河中修建一条宽为的运河，两者成直角相交，问能驶进这条运河的船，其长度如何.模拟试题高等数学（三）参考答案1.D 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A 7.D 8.B 9.A 10.B 11.A 12.C 13.C 14.A 15.C 16.B 17.C 18.A 19.C 20.A 21.B 22.D 23.C 24.C 25. 26. 27. 28. 29. 30. 垂直渐近线，水平渐近线31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. （1），（2），代入得（3）；。代入得，得到：，则，所以由，得，即，所以42. 间断点为 时，可去间断；，即时，可去间断；且，第类无穷间断。43. 原式 44.，则45. 46. 47. 令，则原式 48. 原式49. ，且50. 为其间断点，则 当时，可去间断点； 当时，第类无穷间断。51. ，所以，故所以52.原式 53. 54. 因为，所以55. 原式56.原式 57. （1），（2）设，则， 代入得故，所以，则，58. ；59. 间断点为当时，可去间断；当，第类无穷间断.60. ，则 由于连续，所以，所以，解得，61.证明：令，则，所以，故，所以，即原不等式成立62.证明：令，解得，或1， ，比较大小得， ，即原不等式成立.63.证明：令，解得，故，即64.（1），则 ，由得，所以（2）（3）65.证明：，下面考虑令， 所以单调下降，且，即，所以，即66.令，即， 则 ，所以，唯一驻点，即为所求。即，直线方程为 67.设切点为，切线方程，则，所以即切线方程为 68.证明：，且 在上连续，由连续函数介值定理可知，存在使，即方程在有根. ，故在内严格单调上升，故方程在的根是唯一的。69.得，计算 所以， 70.交点坐标：，即交点坐标分别为，；两交点切线斜率，；两法线方程为和法线交点坐标： ，则 71. 证明：因为是正数，则，又因为在上连续，由介值定理知，使得，在，上分别用拉氏中值定理，有 ， 由，知，相加72. ，化简，（唯一驻点），于是是的唯一极小值，此时，所以即船的最大长度为.