高考数学经典试题汇编

高考数学经典试题汇编1. （14分）已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。解：（1），即，（2）， ；当，即时，；当时，这样的不存在。当，即时，这样的不存在。综上得， 。2. （14分）如图，设圆的圆心为C，此圆和抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。（1） 求P的取值范围；（2） 求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；（3） 求当S取最大值时，向量的夹角。解：（1）把 代入 得 由 ， 得 ，即 （2）设，的方程： ， 即 即 ， 即 点O到AB的距离，又 ， 即 （3）取最大值时，解方程，得 ， 向量的夹角的大小为。3. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则 即，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。 4. 已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合，集合。（1）求和；（2）定义与的差集：且。设，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概率，写出与的三组值，使，并分别写出所有满足上述条件的（从大到小）、（从小到大）依次构成的数列、的通项公式（不必证明）；（3）若函数中， （理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。（1）有最大值，。配方得，由。 ，。 （2）要使，。可以使中有3个元素，中有2个元素， 中有1个元素。则。中有6个元素，中有4个元素， 中有2个元素。则。中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。 （3）（理），得。， ，当且仅当时等号成立。在上单调递增。 又，故没有最小值。 （文）单调递增，又，没有最大值。5. 我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，。（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线或的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由。解：（1）建立直角坐标系（如图），点M的轨迹为双曲线的一部分， ，即 点M的轨迹方程为 （2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时， 路线的路程较短。 理由：设的延长线与（1）中曲线交于点， 则 6. 已知函数对任意的整数均有，且。 （1）（3分）当，用的代数式表示； （2）（理）（10分）当，求的解析式； （文）（ 6分）当，求的解析式； （3）如果，且恒成立， 求的取值范围。（理5分；文9分）解：（1）令 （2）（理）当时， 上述各式相加，得 当时， 上述各式相加，得，即 综上，得。 （文）， （3）恒成立 令，是减函数 7. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）设墙角的两个半平面形成的二面角为定值 。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须ABC的面积S取最大值。设AB= x，AC = y ，则由余弦定理有ABCxyab第22题答图，于是，从而，S=。当且仅当x=y时，S取最大值。故当AB=AC时，(Vb)max = 。同理，当a边放在地上时，(Va)max = 。显然，当ab时，(Va)max (Vb)max ；当ab时，(Va)max (Vb)max ；当a=b时，(Va)max = (Vb)max 。故当ab时，将a边放地上，且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形；当ba时，将b边放地上，且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形；当a=b时，无论将a边还是b边放在地上均可，只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。8. 已知一个数列an的各项是1或3首项为1，且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，记数列的前n项的和为Sn（）试问第2004个1为该数列的第几项？ （）求a2004；（）S2004；（）是否存在正整数m，使得Sm=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对，即（1，3）为第1对，共1+1=2项；（1，3，3，3）为第2对，共1+（22-1）=4项；为第k对，共1+（2k-1）=2k项；故前k对共有项数为2+4+6+2k=k(k+1)（）第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项，即为2003(2003+1)+1=4014013（项）（）因4445=1980，4546=2070，故第2004项在第45对内，从而a2004=3（）由（）可知，前2004项中共有45个1，其余1959个数均为3，于是S2004=45+31959=5922（）前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3k(k+1)-k=3k2+k易得，S25(25+1)=3252+25=1900，S26(26+1)=3262+26=2054，S651=1901，且自第652项到第702项均为3，而2004-1901=103不能被3整除，故不存在m，使Sm=20049. （）设A为动椭圆的中心，BD为过焦点F的弦，M为BD的中点，连接AM并延长交椭圆于点C求证：四边形ABCD为平行四边形的充要条件是为定值且值为（其中a为椭圆的半长轴）（）命题（）的结论能推广到双曲线吗？为什么？（）不妨设椭圆方程为(ab0)，F(c，0)为右焦点，B(x1，y1)，D(x2，y2)， M(x0，y0)，弦BD的方程为x = my+c联立两方程得 ，于是，x0 = my0+c由椭圆第二定义得，于是 首先，若四边形ABCD为平行四边形，则C的坐标为 (2x0，2y0)，将其代入椭圆方程并化简得 ，由此可得其次，若，则，于是x0，从而，也就是点(2x0，2y0)在椭圆上，且M平分AC，故ABCD为平行四边形（）命题（）的结论在双曲线中不成立，因四边形ABCD不可能为平行四边形10. （理）设函数f(x)是二次函数，已知，且f(x)=0有两个相等实根，问是否存在一个常数t（Ot1，使得直线x=t将函数y=f(x)的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分，若存在，求出此常数t，若不存在，请说明理由.（文）已知.（1）求a、k之值；（2）x为何值时f（log2x）有最小值，并求其最小值解：（理）设f(x)=ax2+bx+C，则 （1分） 由(x)=2x+2及f(x)=0可得a=1，b=2，c=1 （2分） 即f(x)=x2+2x+1 （3分） 假设存在常数t（0t1满足条件，则 （6分）即 （8分） 化简得：2t36t2+6t=1（10分）即2(t1)3=1 解得（12分）（文）（1）由题设知 （3分） 由得log2a=0或log2a=1（4分）又a1，故a=2 代入log2（2+k）=2得k=2（5分） a=2，k=2 （6分） （2）（8分）（10分）当（12分）11. 设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于，然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，Pn，Qn+1，已知，设（1）求出过点P0的切线方程；（2）设求的表达式；（3）设求解：（1） 过点P0的切线段为即 （4分） （2） 过点Pn的切线方程为 （6分） 将的坐标代入方程得： （8分） 故数列是首项为的等比数列 （10分） （3） （12分） （14分）12. （理）已知双曲线的离心率，一条准线方程为，直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点，四个点的顺序如图所示.（）求该双曲线的方程；（）求证：|AB|=|CD|；（）如果|AB|=|BC|=|CD|，求证：OBC的面积为定值.（文）已知函数是奇函数，当x0时，f(x)有最小值2，其中bN且f(1).（）试求函数f(x)的解析式；（）问函数f(x)图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由.（理）解（）由已知所求双曲线的方程x2y2=12分（）解法一设l:x=my+b,(m1) 由由4分6分AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，|AB|=|CD|.7分解法二：当l倾斜角为90时，设l:x=m,(m1).3分当l倾斜角不是90时，设l:y=kx+b,(k1). 由4分由6分AD中点与BC中点为同一点，又A、B、C、D四点共线，|AB|=|CD|.7分（）设A(a,a) D(b,b) a0, b0 |AB|=|BC|=|CD|即9分点C在双曲线上 11分 13分 OBC的面积为定值.（文）（）f(x)是奇函数 f(x)=f(x)即2分，4分当且仅当，时，等号成立.于是6分解得 8分（）设存在一点(x0,y0)在y=f(x)图象上,并且关于(1,0)的对称点 (、y0)也在y=f(x)图象上，9分 则11分 （1，0）对称13分13. 设数列的首项a1=1,前n项和Sn满足关系.（）求证：数列是等比数列；（）设数列的公比是f（t）作数列，使求bn及（）求和：（I）证明：由已知得减去已知式，化得.当n=2时，由已知式及a=1得数列an是以1为首项，为公比的等比数列.（4分）（II）解：是以1为首项，为公差的等差数列（III）解：当k为偶数时，当n为偶数时，将相邻两项配对，则当n为奇数时，（14分）