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高考数学经典试题汇编1. (14分)已知函数,且(1)求的值;(2)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为。若存在,求出这个的值;若不存在,说明理由。解:(1),即,(2), ;当,即时,;当时,这样的不存在。当,即时,这样的不存在。综上得, 。2. (14分)如图,设圆的圆心为C,此圆和抛物线有四个交点,若在轴上方的两个交点为A、B,坐标原点为O,的面积为S。(1) 求P的取值范围;(2) 求S关于P的函数的表达式及S的取值范围;(3) 求当S取最大值时,向量的夹角。解:(1)把 代入 得 由 , 得 ,即 (2)设,的方程: , 即 即 , 即 点O到AB的距离,又 , 即 (3)取最大值时,解方程,得 , 向量的夹角的大小为。3. (16分)前段时期美国为了推翻萨达姆政权,进行了第二次海湾战争。据美军估计,这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源,这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元,只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设,美国每月的石油总收入以的速度递增,直至第四个月方才稳定下来,但维护费还在缴纳。问多少个月后,美国才能收回在伊的“投资”?解:设个月后,美国才能收回在伊的“投资”,则 即,即个月后,美国才能收回在伊的“投资”。 4. 已知二次函数有最大值且最大值为正实数,集合,集合。(1)求和;(2)定义与的差集:且。设,均为整数,且。为取自的概率,为取自的概率,写出与的三组值,使,并分别写出所有满足上述条件的(从大到小)、(从小到大)依次构成的数列、的通项公式(不必证明);(3)若函数中, (理)设、是方程的两个根,判断是否存在最大值及最小值,若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由。(文)写出的最大值,并判断是否存在最大值及最小值,若存在,求出相应的值;若不存在,请说明理由。(1)有最大值,。配方得,由。 ,。 (2)要使,。可以使中有3个元素,中有2个元素, 中有1个元素。则。中有6个元素,中有4个元素, 中有2个元素。则。中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。 (3)(理),得。, ,当且仅当时等号成立。在上单调递增。 又,故没有最小值。 (文)单调递增,又,没有最大值。5. 我边防局接到情报,在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动,边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图,已知快艇出发位置在的另一侧码头处,公里,公里,。(1)(10分)是否存在点M,使快艇沿航线或的路程相等。如存在,则建立适当的直角坐标系,求出点M的轨迹方程,且画出轨迹的大致图形;如不存在,请说明理由。(2)(4分)问走私船在怎样的区域上时,路线比路线的路程短,请说明理由。解:(1)建立直角坐标系(如图),点M的轨迹为双曲线的一部分, ,即 点M的轨迹方程为 (2)走私船如在直线的上侧且在(1)中曲线的左侧的区域时, 路线的路程较短。 理由:设的延长线与(1)中曲线交于点, 则 6. 已知函数对任意的整数均有,且。 (1)(3分)当,用的代数式表示; (2)(理)(10分)当,求的解析式; (文)( 6分)当,求的解析式; (3)如果,且恒成立, 求的取值范围。(理5分;文9分)解:(1)令 (2)(理)当时, 上述各式相加,得 当时, 上述各式相加,得,即 综上,得。 (文), (3)恒成立 令,是减函数 7. 秋收要到了,粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板,在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓,这个农户在犹豫,是将长为a的边放在地上,还是将边长为b的边放在地上,木板又该放在什么位置的时候,才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案,使粮仓所能储放的粮食最多(即粮仓的容积最大)设墙角的两个半平面形成的二面角为定值 。将b边放在地上,如图所示,则粮仓的容积等于以ABC为底面,高为a的直三棱柱的体积。由于该三棱柱的高为定值a,于是体积取最大值时必须ABC的面积S取最大值。设AB= x,AC = y ,则由余弦定理有ABCxyab第22题答图,于是,从而,S=。当且仅当x=y时,S取最大值。故当AB=AC时,(Vb)max = 。同理,当a边放在地上时,(Va)max = 。显然,当ab时,(Va)max (Vb)max ;当ab时,(Va)max (Vb)max ;当a=b时,(Va)max = (Vb)max 。故当ab时,将a边放地上,且使底面三角形成以a为底边的等腰三角形;当ba时,将b边放地上,且使底面三角形成以b为底边的等腰三角形;当a=b时,无论将a边还是b边放在地上均可,只须使底面三角形构成以所放这条边为底边的等腰三角形即可。8. 已知一个数列an的各项是1或3首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,记数列的前n项的和为Sn()试问第2004个1为该数列的第几项? ()求a2004;()S2004;()是否存在正整数m,使得Sm=2004?如果存在,求出m的值;如果不存在,说明理由将第k个1与第k+1个1前的3记为第k对,即(1,3)为第1对,共1+1=2项;(1,3,3,3)为第2对,共1+(22-1)=4项;为第k对,共1+(2k-1)=2k项;故前k对共有项数为2+4+6+2k=k(k+1)()第2004个1所在的项为前2003对所在全部项的后1项,即为2003(2003+1)+1=4014013(项)()因4445=1980,4546=2070,故第2004项在第45对内,从而a2004=3()由()可知,前2004项中共有45个1,其余1959个数均为3,于是S2004=45+31959=5922()前k对所在全部项的和为Sk(k+1)=k+3k(k+1)-k=3k2+k易得,S25(25+1)=3252+25=1900,S26(26+1)=3262+26=2054,S651=1901,且自第652项到第702项均为3,而2004-1901=103不能被3整除,故不存在m,使Sm=20049. ()设A为动椭圆的中心,BD为过焦点F的弦,M为BD的中点,连接AM并延长交椭圆于点C求证:四边形ABCD为平行四边形的充要条件是为定值且值为(其中a为椭圆的半长轴)()命题()的结论能推广到双曲线吗?为什么?()不妨设椭圆方程为(ab0),F(c,0)为右焦点,B(x1,y1),D(x2,y2), M(x0,y0),弦BD的方程为x = my+c联立两方程得 ,于是,x0 = my0+c由椭圆第二定义得,于是 首先,若四边形ABCD为平行四边形,则C的坐标为 (2x0,2y0),将其代入椭圆方程并化简得 ,由此可得其次,若,则,于是x0,从而,也就是点(2x0,2y0)在椭圆上,且M平分AC,故ABCD为平行四边形()命题()的结论在双曲线中不成立,因四边形ABCD不可能为平行四边形10. (理)设函数f(x)是二次函数,已知,且f(x)=0有两个相等实根,问是否存在一个常数t(Ot1,使得直线x=t将函数y=f(x)的图象与坐标轴所围成的图形分成面积相等的两部分,若存在,求出此常数t,若不存在,请说明理由.(文)已知.(1)求a、k之值;(2)x为何值时f(log2x)有最小值,并求其最小值解:(理)设f(x)=ax2+bx+C,则 (1分) 由(x)=2x+2及f(x)=0可得a=1,b=2,c=1 (2分) 即f(x)=x2+2x+1 (3分) 假设存在常数t(0t1满足条件,则 (6分)即 (8分) 化简得:2t36t2+6t=1(10分)即2(t1)3=1 解得(12分)(文)(1)由题设知 (3分) 由得log2a=0或log2a=1(4分)又a1,故a=2 代入log2(2+k)=2得k=2(5分) a=2,k=2 (6分) (2)(8分)(10分)当(12分)11. 设曲线上的点为过P0作曲线c的切线与x轴交于Q1,过Q1作平行于y轴的直线与曲线c交于,然后再过P1作曲线c的切线交x轴于Q2,过Q2作平行于y轴的直线与曲线c交于,依此类推,作出以下各点:P0,Q1,P1,Q2,P2,Q3,Pn,Qn+1,已知,设(1)求出过点P0的切线方程;(2)设求的表达式;(3)设求解:(1) 过点P0的切线段为即 (4分) (2) 过点Pn的切线方程为 (6分) 将的坐标代入方程得: (8分) 故数列是首项为的等比数列 (10分) (3) (12分) (14分)12. (理)已知双曲线的离心率,一条准线方程为,直线l与双曲线右支及双曲线的渐近线交于A、B、C、D四点,四个点的顺序如图所示.()求该双曲线的方程;()求证:|AB|=|CD|;()如果|AB|=|BC|=|CD|,求证:OBC的面积为定值.(文)已知函数是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f(1).()试求函数f(x)的解析式;()问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.(理)解()由已知所求双曲线的方程x2y2=12分()解法一设l:x=my+b,(m1) 由由4分6分AD中点与BC中点为同一点,又A、B、C、D四点共线,|AB|=|CD|.7分解法二:当l倾斜角为90时,设l:x=m,(m1).3分当l倾斜角不是90时,设l:y=kx+b,(k1). 由4分由6分AD中点与BC中点为同一点,又A、B、C、D四点共线,|AB|=|CD|.7分()设A(a,a) D(b,b) a0, b0 |AB|=|BC|=|CD|即9分点C在双曲线上 11分 13分 OBC的面积为定值.(文)()f(x)是奇函数 f(x)=f(x)即2分,4分当且仅当,时,等号成立.于是6分解得 8分()设存在一点(x0,y0)在y=f(x)图象上,并且关于(1,0)的对称点 (、y0)也在y=f(x)图象上,9分 则11分 (1,0)对称13分13. 设数列的首项a1=1,前n项和Sn满足关系.()求证:数列是等比数列;()设数列的公比是f(t)作数列,使求bn及()求和:(I)证明:由已知得减去已知式,化得.当n=2时,由已知式及a=1得数列an是以1为首项,为公比的等比数列.(4分)(II)解:是以1为首项,为公差的等差数列(III)解:当k为偶数时,当n为偶数时,将相邻两项配对,则当n为奇数时,(14分)
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