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专题30 空间向量与立体几何考场高招1 利用空间向量解决平行与垂直问题的方法 1. 解读高招设a,b两直线的方向向量分别为a,b,平面,的对应法向量为n,m. 关系平行垂直线线a=b(证明ab)ab=0(证明ab)线面an=0(证明a)a=n(证明a)面面n=m(证明)nm=0(证明)2.典例指引1(1) 1如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB=2a,F为CD的中点. (1)求证:AF平面BCE; (2)判断平面BCE与平面CDE的位置关系,并证明你的结论. D.abc考场高招32运用空间向量解决立体几何问题的步骤 1.解读高招步骤解读建系根据题中的几何图形的特征建立适当的空间直角坐标系定坐标确定点的坐标进而求出有关向量的坐标向量运算进行相关的空间向量的运算翻译将向量中的语言“翻译”成相应的立体几何中的语言,完成几何问题的求解温馨提醒在建立空间直角坐标系求点的坐标时,要使尽可能多的点落在坐标轴上,尽可能多的线段平行于坐标轴,有直角的,把直角边放在坐标轴上2.典例指引2如图,已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,A1A=6,且A1A底面ABCD,点P,Q分别在棱DD1,BC上. (1)若P是DD1的中点,证明:AB1PQ. (2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值为 ,求四面体ADPQ的体积. (2)由题设知,=(6,m-6,0),=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.设n1=(x,y,z)是平面PQD的一个法向量,则取y=6,得n1=(6-m,6,3).又平面AQD的一个法向量是n2=(0,0,1),所以cos=.而二面角P-QD-A的余弦值为,因此,解得m=4,或m=8(舍去),此时Q(6,4,0).设=(01),而=(0,-3,6),由此得点P(0,6-3,6),所以=(6,3-2,-6).因为PQ平面ABB1A1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3=(0,1,0),所以n3=0,即3-2=0,亦即=,从而P(0,4,4).于是,将四面体ADPQ视为以ADQ为底面的三棱锥P-ADQ,则其高h=4.故四面体ADPQ的体积V=SADQh=664=24 (2)如图,过点P作PMA1A交AD于点M,则PM平面ABB1A1.因为A1A平面ABCD,所以PM平面ABCD. 过点M作MNQD于点N,连接PN,则PNQD,PNM为二面角P-QD-A的平面角,所以cosPNM=,即,从而.连接MQ,由PQ平面ABB1A1及知,平面PQM平面ABB1A1,所以MQAB.又ABCD是正方形,所以ABQM为矩形,故MQ=AB=6.设MD=t,则MN=.过点D1作D1EA1A交AD于点E,则AA1D1E为矩形,所以D1E=A1A=6,AE=A1D1=3,因此ED=AD-AE=3.于是=2,所以PM=2MD=2t. 再由,得,解得t=2,因此PM=4.故四面体ADPQ的体积V=SADQPM=664=24.3.亲临考场(2014重庆,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO底面ABCD,AB=2,BAD=,M为BC上一点,且BM=,MPAP.(1)求PO的长;(2)求二面角A-PM-C的正弦值. (2)由(1)知,.设平面APM的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面PMC的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n1=0,n1=0,得故可取n1=,由n2=0,n2=0,得故可取从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos=-,故所求二面角A-PM-C的正弦值为.考点69 利用空间向量求空间角 考场高招3 三法(定义法、间接法、向量法)搞定线面角 1.解读高招方法解读适合题型典例指引定义法利用面面垂直的性质定理,得到线面垂直,进而确定线面角中的垂足.明确斜线在平面内的射影,即可确定线面角垂足位置易确定,顺利找到线面角典例导引3(1)几何法在构成线面角的直角三角形中,可利用等体积法求解垂线段的长度h,而不必画出线面角,利用sin =进行求角垂足位置不易确定,线面角不好找典例导引3(2)方法一向量法借助直线的方向向量与平面的法向量所成的角求直线与平面所成的角.如图所示,设l为平面的斜线,l=A,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与所成的角,则sin =|cos|=能够顺利建立空间直角坐标系,各点坐标容易确定典例导引3(2)方法二2.典例指引2(1) 3(1)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=12,ACB=30, AB=6,则PB与平面ABC所成角的余弦值为; (2)正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,D是A1C1的中点,则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为. (方法二:向量法)如图,取AC的中点为坐标原点,建立空间直角坐标系.设各棱长为2,则A(0,-1,0),D(0,0,2),C(0,1,0),B1(,0,2).设n=(x,y,z)为平面B1CD的法向量,则取n=(0,2,1).故cos=,即所求角的正弦值为.3.亲临考场1.(2017课标,理19)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点. (1)证明:直线CE平面PAB; (2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值. (2)由已知得BAAD,以A为坐标原点,的方向为x轴正方向,|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=( 1,0,0).设M(x,y,z)(0x1),则=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).因为BM与底面ABCD所成的角为45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,所以|cos|=sin45,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,设=,则考点70 立体几何的综合问题考场高招 4解决立体几何中的折叠问题、最值问题的规律题型方法解读典例指引折叠问题(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形典例导引5(1)最值问题求最值的途径有很多,如利用代数知识建立函数法、由常用不等式解不等式法等都是一些常用的求最值的方法;有时也可以利用共线求距离最值典例导引5(2)2.典例指引4已知长方形ABCD,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线BD折起,使AC=a,得到一个四面体A-BCD,如图所示. (1)试问:在折叠的过程中,直线AB与CD能否垂直?若能,求出相应a的值;若不能,请说明理由; (2)求四面体ABCD体积的最大值. 【解】 (1)直线AB与CD能够垂直.因为ABAD,若ABCD,ADCD=D,则AB平面ACD,从而ABAC.此时,a=,即当a=时,ABCD.(2)因为BCD的面积为定值,所以当点A到平面BCD的距离最大,即当平面ABD平面BCD时,该四面体的体积最大.此时,过点A在平面ABD内作AHBD,垂足为H,则AH平面BCD,AH就是该四面体的高.在ABD中,AH=,SBCD=34=6,此时VA-BCD=SBCDAH=,即为该四面体体积的最大值.3.亲临考场1. (2017课标,理16)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,DBC,ECA,FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为. 所以三棱锥的体积V=SABCh=x2.令f(x)=25x4-10x5,x,则f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)单调递增,在单调递减,所以f(x)max=f(2)=80.所以V=4,所以三棱锥体积的最大值为42.(2017课标,理16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线AB与a成60角时,AB与b成30角; 当直线AB与a成60角时,AB与b成60角; 直线AB与a所成角的最小值为45; 直线AB与a所成角的最大值为60. 其中正确的是.(填写所有正确结论的编号) 【答案】 14
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