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命题角度3.2 随机事件的频率与概率1.随机抽取了40辆汽车在经过路段上某点时的车速（km/h），现将其分成六段： ， ， ， ， ， ，后得到如图所示的频率分布直方图. （）现有某汽车途经该点，则其速度低于80km/h的概率约是多少？（）根据直方图可知，抽取的40辆汽车经过该点的平均速度约是多少？（）在抽取的40辆且速度在（km/h）内的汽车中任取2辆，求这2辆车车速都在（km/h）内的概率.【答案】（I）；（II）（km/h）；（III）.试题解析：（）速度低于80km/h的概率约为： .（）这40辆小型车辆的平均车速为： （km/h），（）车速在内的有2辆，记为车速在内的有4辆，记为，从中抽2辆，抽法为共15种，其中车速都在内的有6种，故所求概率.2.一汽车厂生产三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：轿车轿车轿车舒适型100150标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有类轿车10辆（I）求的值；（II）用分层抽样的方法在类轿车中抽取一个容量为5的样本将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（III）用随机抽样的方法从类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分的值如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，设样本平均数为，求的概率【答案】（I）400；（II）；（III）试题解析：（I）设该厂这个月共生产轿车辆，由题意得，所以则2000（100300）（150450）600400 （II）设所抽样本中有辆舒适型轿车，由题意，得 因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车用表示2辆舒适型轿车，用表示3辆标准型轿车，用表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10个事件的基本事件有： ， ， ， ， ， ， ，共7个故，即所求概率为 3.已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表： 若抽取学生人，成绩分为（优秀），（良好），（及格）三个等次，设分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为等级的共有（人），数学成绩为等级且地理成绩为等级的共有8人.已知与均为等级的概率是.（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是，求的值；（2）已知，求数学成绩为等级的人数比等级的人数多的概率.【答案】（1）（2）试题解析：（1），故 而 所以（2）且由得则的所有可能结果为，.共有18种，可能结果为，.共有8种，则所求.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 4.某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：（）在答题卡上作出这50名学生身高的频率分布直方图；（）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（）现从身高在这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率.【答案】（）见解析；（）估计这50名学生身高的方差为80；（） .试题解析：（）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（）由题意可估计这50名学生的平均身高为 .所以估计这50名学生身高的方差为 .所以估计这50名学生身高的方差为80.（）记身高在的4名男生为， ， ， ，2名女生为， .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： ， ， ， ， ,共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： ,共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为（）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：（）记身高在的4名男生为， ， ， ，2名女生为， .从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有： ， ， ， ， ,共20个基本事件.其中至少抽到1名女生的情况有： ,共16个基本事件.所以至少抽到1名女生的概率为.5.如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染. （1）若该人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市，到达后停留天（到达当日算天)，求此人停留期间空气重度污染的天数为天的概率；（2）若该人随机选择3月7日至3月12日中的天到达该市，求这天中空气质量恰有天是重度污染的概率.【答案】（1）（2） (2) 记3月7日至3月12日中重度污染的天为，另外天记为，则天中选天到达的基本事件如下： ，共种，其中天恰有天是空气质量重度污染包含这个基本事件，故所求事件的概率为.6.教育学家分析发现加强语文乐队理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲乙两个同轨班级进行试验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面的列联表（单位：人）（1）能够据此判断有97.5%把握热内加强语文阅读训练与提高数学应用题得分率有关？ （2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学应用题所用的时间在57分钟，小刚正确解得一道数学应用题所用的时间在68分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明现正确解答完的概率；【答案】（1）见解析；（2）.7.某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关规定第一关没过者没奖励，过关者奖励件小奖品（奖品都一样）下图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率()求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；()规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；()已知小明在某四次游戏中所过关数为2,2,3,4，小聪在某四次游戏中所过关数为3,3,4,5，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率【答案】 () () ； () 试题解析： ()小明的过关数与奖品数如下表：过关数012345奖品数0124816小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为； ()小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为； ()小明在四次游戏中所得奖品数为2,2,4,8， 小聪在四次游戏中所得奖品数为4,4,8,16， 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：22484668124668128101012161618182024共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为8.某销售公司为了解员工的月工资水平，从1000位员工中随机抽取100位员工进行调查，得到如下的频率分布直方图：（1）试由此图估计该公司员工的月平均工资；（2）该公司工资发放是以员工的营销水平为重要依据来确定的，一般认为，工资低于4500。元的员工属于学徒阶段，没有营销经验，若进行营销将会失败;高于4500元的员工是具备营销成熟员工，基进行营销将会成功。现将该样本按照“学徒阶段工资”、“成熟员工工资”分成两层，进行分层抽样，从中抽出5人，在这5人中任选2人进行营销活动。活动中，每位员工若营销成功，将为公司赢得3万元，否则公司将损失1万元。试问在此次比赛中公司收入多少万元的可能性最大？【答案】（1）（2）收入2万元的可能性最大.试题解析：（1）由此图估计该公司员工的月平均工资： 元.（2）抽取比为，从工资在1500,4500)区间内抽人，设这两位员工分别为1,2；从工资在4500,7500区间内抽人，设这三位员工分别为.从中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：（1,2）， ， .两人营销都成功，公司收入6万元，有以下3种不同的等可能结果： ；概率为；其中一人营销成功，公司收入为2万元，有以下6种不同的等可能结果： ， ，概率为；两人营销都失败，公司收入-2万元，即损失2万元，有1种结果：（1,2），概率为.，收入2万元的可能性最大. 9.某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表：停靠时间2.533.544.555.56轮船数量12121720151383（）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为小时，求的值；（）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率【答案】（1）4；（2）答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为10. 在测试中，客观题难题的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数.现对某校高三年级120名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：测试后，从中随机抽取了10名学生，将他们编号后统计各题的作答情况，如下表所示（“”表示答对，“”表示答错）：（1）根据题中数据，将抽样的10名学生每道题实测的答对人数及相应的实测难度填入下表，并估计这120名学生中第5题的实测答对人数；（2）从编号为1到5的5人中随机抽取2人，求恰好有1人答对第5题的概率；（3）定义统计量，其中为第题的实测难度， 为第题的预估难度（）.规定：若，则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.判断本次测试的难度预估是否合理.【答案】(1)见解析，24 (2) （3）该次测试的难度预估是合理的.试题解析：(1) 每道题实测的答对人数及相应的实测难度如下表：所以，估计120人中有人答对第5题.(2) 记编号为的学生为（），从这5人中随机抽取2人，不同的抽取方法有10种.其中恰好有1人答对第5题的抽取方法为，共6种.所以，从抽样的10名学生中随机抽取2名答对至少4道题的学生，恰好有1人答对第5题的概率为.（3）为抽样的10名学生中第题的实测难度，用作为这120名学生第题的实测难度. 因为，所以，该次测试的难度预估是合理的.13
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