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命题角度5.5：圆锥曲线的定值、定点问题1.已知椭圆的焦点在轴上，中心在原点，离心率，直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的任意一点，直线的斜率分别为.证明： 为定值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析: （I）设椭圆的方程，利用离心率e直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，确定几何量，从而可得椭圆的方程；（）利用M点在椭圆上，计算斜率，化简即可得到结论（2）证明：由椭圆的方程得，设点的坐标为，则.为定值.点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，考查斜率的计算，主要应用点在曲线上得出定值.2. 已知动点到定直线的距离比到定点的距离大.（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线交轨迹于， 两点，直线， 分别交直线于点， ，证明以为直径的圆被轴截得的弦长为定值，并求出此定值.【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】试题分析：（1）依据题设条件及两点间距离公式建立方程分析求解；（2）依据题设条件建立直线， 的方程，再运用坐标之间的关系分析探求：试题解析：解：（）设点的坐标为，因为定点在定直线： 的右侧，且动点到定直线： 的距离比到定点的距离大，所以且，化简得，即，轨迹的方程为（）设， （），则， ， ， 三点共线，又，直线的方程为，令，得同理可得所以以为直径的圆的方程为，即将代入上式，可得，令，即或，故以为直径的圆被轴截得的弦长为定值4点睛：解析几何是高中数学中重要的知识与内容，也是高考重点考查的重要考点与热点。这类问题的设置旨在考查借助直角坐标的关系求解几何图形问题。求解第一问时充分依据题设条件，运用两点间距离公式建立等量关系，通过化简使得问题获解；解答第二问时，先设， ，在借助题设中的条件建立以为直径的圆的方程为，探究其最值关系，从而使得问题获解。3. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆， 是上一点， ，且（1）求椭圆的方程；（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线【答案】（1）（2）见解析试题解析：（1）由已知得，且，在中，由余弦定理得，解得.则，所以椭圆的方程为.（2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，即，代入椭圆方程，整理得，设，则.设，由得（考虑线段在轴上的射影即可），所以，于是，整理得，（*）又，代入（*）式得，所以点总在直线上.考点：1.椭圆标准方程；2.直线与椭圆位置关系.点睛：圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题时高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、分类讨论思想的考查.求定值问题常见的方法：（1）从特殊点入手，求出定值，再证明这个值与变量无关，（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点，（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意.4. 已知椭圆的焦距为，点在上.（I）求的方程；（II）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.【答案】（I）（II）定值【解析】试题分析：（1）（I）由题意知， 的焦点坐标为，利用定义求解 的值，即可得到椭圆的标准方程；试题解析：（I）由题意知， 的焦点坐标为， ， . 所以，椭圆的方程为. （II）设，则由点在椭圆上得， ，两式相减得， . ， .因为三点共线，所以，即. ，为定值.5. 已知动圆过点，且在轴上截得的弦长为（）求圆心的轨迹方程；（）过点的直线交轨迹于两点，证明： 为定值，并求出这个定值.【答案】（）（）定值为【解析】试题分析：（1）设动圆圆心坐标为，根据垂径定理得，化简解得圆心的轨迹方程；（2）设直线的方程为： ，利用直线方程与抛物线方程联立方程组，结合韦达定理化简试题解析：解：（）设动圆圆心坐标为，由题意得：动圆半径圆心到轴的距离为，依题意有，化简得，即动圆圆心的轨迹方程为： （）当直线的斜率不存在，则直线的方程为： 得所以，故为定值.综合，为定值，且定值为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C是椭圆上不同的三点， ，C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。（1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点P在椭圆上（异于点A、B、C）且直线PB， PC分别交直线OA于M、N两点，证明为定值并求出该定值.【答案】（1）（2）点的坐标为（3）为定值，定值为【解析】试题分析：（1）将点A，B的坐标代入方程即可求得，（2）设点，得BC的中点坐标，带去直线OA联立椭圆方程即可求得m,n,从而得C的坐标，（3）分别设出P,N,M三点坐标，根据P,B,M三点共线和P,C,N三点共线得到M，N,P的关系，将P点坐标代入椭圆方程即可得各系数之间的关系，于是化简得定制 （3）设， ， 三点共线，整理，得 三点共线，整理，得 点在椭圆上， 从而 所以为定值，定值为点睛：本题主要考察圆锥曲线，先根据题意可以的椭圆方程，对于第二问和第三问则需要多借助草图分析点之间的几何关系，尤其要注意三点共线在此题中的运用，明确目标逐步化简即可7.已知椭圆： 的短轴长为，离心率为，圆的圆心在椭圆上，半径为2，直线与直线为圆的两条切线.（1）求椭圆的标准方程；（2）试问： 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆焦点在轴上， ，离心率，则，即可求得椭圆的标准方程；（2）设，圆的方程为，由直线与圆相切，根据点到直线的距离公式可得为方程，的两个根，由韦达定理可知： ，由在椭圆上即可求得.（2）因为直线与圆相切，整理得： ，同理可得： ，所以， 为方程的两个根，又在椭圆上，故是定值为【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程方程、椭圆的几何性质以及圆锥曲线的定值问题，属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.8.在直角坐标系中， 已知定圆，动圆过点且与圆相切，记动圆圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设是曲线上两点，点关于轴的对称点为 (异于点)，若直线分别交轴于点，证明: 为定值.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）由两圆关系得等量关系，再根据椭圆定义确定轨迹形状及标准方程，（2）解析几何中定值问题，往往通过计算给予证明，先设坐标，列直线方程，求出与轴交点坐标，再利用点在椭圆上这一条件进行代入消元，化简计算为定值 .试题解析：解：(1)因为点在内，所以圆内切于圆，则，由椭圆定义知，圆心的轨迹为椭圆，且，则，所以动圆圆心的轨迹方程为.(2)设，则，由题意知.则，直线方程为，令，得，同理，于是，又和在椭圆上，故，则.所以.9. 已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆过椭圆的上顶点作圆的两条切线分别与椭圆相交于两点（不同于点），直线的斜率分别为.（1）求椭圆的方程；（2）当变化时，求的值；试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）见解析.由，得，于是有，直线的斜率为，直线的方程为，令，得，即可证明直线过定点.试题解析：（1）由题设知， ， ，又，解得.故所求椭圆的方程是.（2），则有，化简得，对于直线，同理有，于是是方程的两实根，故.考虑到时， 是椭圆的下顶点， 趋近于椭圆的上顶点，故若过定点，则猜想定点在轴上.由，得，于是有.直线的斜率为，直线的方程为，令，得，故直线过定点.10.在平面直角坐标系中，已知动点到定点的距离与到定直线的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知为定直线上一点.过点作的垂线交轨迹于点（不在轴上），求证：直线与的斜率之积是定值；若点的坐标为，过点作动直线交轨迹于不同两点，线段上的点满足，求证：点恒在一条定直线上.【答案】（1）（2）直线与的斜率之积为定值点在定直线上【解析】试题分析：（1）设动点坐标，直接利用轨迹方程定义计算即可；（2），令，由，得，即，即，又因为点在椭圆上，所以，而的斜率分别为，于是，即直线与的斜率之积为定值； 令，则，代入椭圆，消元即可证明点在定直线上试题解析：（1）设，则，点到直线的距离，由，得，化简得，即点在轨迹的方程为；令，则，令点，则，即，即由，得，因为在椭圆上，所以，2+3，得，即，所以点在定直线上本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用- 17 -
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