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专题18 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义热点题型一 平面向量的有关概念例1、给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab。其中真命题的序号是_。【答案】【解析】不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同。正确，|【提分秘籍】平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。(3)是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量。【举一反三】 设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0。上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3【答案】D热点题型二 平面向量的线性运算例2、【2017天津】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【解析】 ,则.【变式探究】 (1)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_。(2)已知P，A，B，C是平面内四点，且，那么一定有()A.2 B.2C.2 D.2【答案】（1）2 （2）D【解析】(1)2，2。(2)，22。【提分秘籍】 向量线性运算的方法技巧向量线性运算，要转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量(基底向量)来求解。 【举一反三】 在ABC中，已知D是AB边上一点，则实数()A BC. D.【答案】D 【解析】如图，D是AB边上一点，过点D作DEBC，交AC于点E，过点D作DFAC，交BC例3【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.【解析】【变式探究】设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)。求证：A、B、D三点共线。(2)试确定实数k，使kab和akb共线。【解析】(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5。、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线。(2)kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb。(k)a(k1)b。a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210，k1。【提分秘籍】 1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值。(2)若a，b不共线，则ab0的充要条件是0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛。2证明三点共线的方法若，则A，B，C三点共线。【举一反三】 已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数的值为_。【答案】1 1.【2017课标3】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为A3B2CD2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系点在圆上，所以圆心到直线的距离，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选A。【考点】 平面向量的坐标运算；平面向量基本定理2.【2017北京】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选A.【考点】1.向量；2.充分必要条件.3.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是（ ）A. B. C. D.【答案】B【考点】 平面向量的坐标运算；函数的最值4.【2017课标1】已知向量a，b的夹角为60，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .【答案】【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【考点】平面向量的运算.5.【2017天津】在中，.若，且，则的值为_.【答案】 【解析】 ,则.【考点】向量的数量积6.【2017山东】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 .【答案】【考点】1.平面向量的数量积.2.平行向量的夹角.3.单位向量.7【2017浙江，15】已知向量a，b满足则的最小值是_，最大值是_【答案】4，【解析】设向量的夹角为，由余弦定理有： ，则：，令，则，据此可得： ，即的最小值是4，最大值是 【考点】平面向量模长运算8.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC与BD交于点O，记，则A B C D【答案】C【解析】因为， ， ，所以，故选C。【考点】 平面向量数量积运算9.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan=7,与的夹角为45.若, 则 . A C BO(第12题) 【答案】3 ，所以【考点】向量表示10.【2017江苏，16】 已知向量（1）若ab,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.【解析】【考点】向量共线，数量积1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（ ）（A）8 （B）6 （C）6 （D）8【答案】D【解析】向量，由得，解得，故选D.2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）（A） (B) （C） (D) 【答案】A【解析】由题知=，故选A.1（2014辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若ab0，bc0，则ac0，命题q：若ab，bc，则ac，则下列命题中真命题是()Apq Bpq C(綈p)(綈q) Dp(綈q)【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b0时，a，c一定共线，故命题q是真命题故pq为真命题2（2014新课标全国卷 已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_【答案】90【解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90.3（2014四川卷）平面向量a(1，2)，b(4，2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m()A2 B1C1 D2【答案】2【解析】cmab(m4，2m2)，由题意知，即，即5m8，解得m2. 1.下列说法正确的是()A.若a与b都是单位向量，则a=bB.若a=b，则|a|=|b|且a与b的方向相同C.若a+b=0，则|a|=|b|D.若a-b=0，则a与b是相反向量2.已知点D是ABC的边AB的中点，则向量等于()A.-+B.-C.-D.+【解析】选A.因为点D是AB的中点，所以=+=+=-+.3.已知点P是四边形ABCD所在平面内的一点，若=(1+)-，其中R，则点P一定在()A.AB边所在的直线上B.BC边所在的直线上C.BD边所在的直线上D.四边形ABCD的内部【解析】选C.因为=(1+)-，所以-=(-)，所以=，所以B，D，P三点共线，因此点P一定在BD边所在的直线上.4.已知向量a与b共线反向，则下列结论正确的是()A.|a+b|=|a|+|b|B.|a+b|=|a|-|b|C.|a-b|=|a|+|b|D.|a-b|=|a|-|b|【解析】选C.因为向量a与b共线反向，所以|a+b|a|+|b|，|a+b|0，而|a|-|b|的符号不确定，所以A，B不正确.同理，D不正确，C显然正确.5.已知下列结论已知a是非零向量，R，则a与2a方向相同已知a是非零向量，R，则|a|=|a|若R，则a与a共线若a与b共线，则存在R，使a=b其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.46.在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若=m+n(m，nR)，则的值为()A.-2B.-C.2D.【解析】选A.如图.设=a，=b，7.已知D为ABC的边AB的中点.M在DC上且满足5=+3，则ABM与ABC的面积比为()A.B.C.D.【解析】选C.如图，由5=+3得2=2+3-3，即2(-)=3(-)，即2=3，故=，故ABM与ABC同底且高的比为35，故SABMSABC=35.8.在ABC中，N是AC边上一点，且=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为()A.B.C.1D.39.O是ABC所在平面外一点且满足=+，为实数，则动点P的轨迹必经过ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心【解析】选B.如图，设=，已知均为单位向量，故AEDF为菱形，所以AD平分BAC，由=+得=，又与有公共点A，故A，D，P三点共线，所以P点在BAC的平分线上，故动点P的轨迹经过ABC的内心.10.已知A，B，C是平面上不共线的三点，O是ABC的重心，动点P满足=，则点P一定为三角形ABC的()A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点近C点的一个三等分点.11.已知点D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且=a，=b，给出下列命题:=a-b;=a+b;=-a+b;+=0.其中正确命题的序号为.【答案】【解析】=a，=b，=+=-a-b，故错;=+=a+b，故正确;12.在ABCD中，=a，=b，3=，M为BC的中点，则=.(用a，b表示) 【答案】-a-b13.在ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=.【答案】b+c【解析】如图，因为在ABC中，=c，=b，且点D满足=2，所以+=2(+)，=+=b+c.14.在ABC中，已知D是AB边上一点，=+，则实数=.【答案】15.已知a，b不共线，=a，=b，=c，=d，=e，设tR，如果3a=c，2b=d，e=t(a+b)，是否存在实数t使C，D，E三点在一条直线上?若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由.【解析】由题设知，=d-c=2b-3a，=e-c=(t-3)a+tb，C，D，E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得=k，即(t-3)a+tb=-3ka+2kb，整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b，因为a，b不共线，所以有解之得t=.故存在实数t=使C，D，E三点在一条直线上.16.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若=m+，求实数m的值. 17.已知ABC中，=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+a+b，若动点P的轨迹与边BC的交点为M，试判断M点的位置.【解析】依题意，由=+a+b， 得-=(a+b)，即=(+).如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于点M，点.22
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