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第四节第四节 基本不等式：基本不等式： (a，bR)第六章第六章【例1】若ab1，P ，Q (ln a ln b)，Rln ，试比较P，Q，R的大小利用基本不等式比较数(或式)的大小自主解答：解析：ab1，ln aln b0，点评：如果两个数(式)的关系符合基本不等式的结构形式，则可以用基本不等式比较大小，如果两个数(式)的关系通过变形可以变成基本不等式的结构形式，则可以用基本不等式比较大小1已知ma (a2)，n x22(x0)，则m，n之间的大小关系是()Amn Bm2，xn.故选A.答案：A利用基本不等式判定不等式的正误【例2】给出以下四个不等式：(ab)24ab(a，bR)；|a| 4；sin x其中正确的个数是()A0 B1 C2 D3解析：(ab)2a2b22ab2ab2ab4ab，正确错误当sin x 时，sin x2，显然等号取不到，事实上，设tsin x，则t(0,1，yt 在(0,1上为减函数，故当t1时，y取最小值5，错误故选B.答案：B点评：利用基本不等式判断一个不等式的正误，主要看该不等式是否满足基本不等式成立的条件 变式探究变式探究2“ab0”是“ab ”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：a2b22ab中参数的取值不只是可以取正数均值不等式 才需满足a0，b0.故选A.答案：A【例3】(1)(2012蚌埠质检)已知正项等比数列an满足a7a62a5，若存在两项am，an使得 ，则的最小值为()A1 B3C9 D不存在利用最值定理求最值(2)已知a0，b0，abab8，则ab的最小值是_思路点拨：思路点拨：对于(1)，根据等比数列所给的等式，找出m，n的关系mn3，将所找的关系与 结合，再用基本不等式求最值，关键的一步是对于(2)，由基本不等式将已知等式变成不等式关系，再用解二次不等式的方法求解解析：(1)设等比数列的公比为q，则由a7a62a5得q2q2，解得q2(舍去负值q1)，amanaqmn22a，得2mn22.mn3.故选B.答案：(1)B(2)4点评：在使用基本不等式求最值时，一定要注意其中的等号能不能成立，是否符合使用基本不等式的条件如果根据限制条件等号不能成立，则应该通过其他方法解决(如函数、导数等)使用基本不等式求最值，其基本的技巧是变换，通过变换出现两式之和为常数或者两式之积为常数，达到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值时，要注意三个条件，即“一正、二定、三相等”变式探究变式探究3(1)设a0，b0.若 是3a与3b的等比中项，则的最小值为_(2)已知x，yR，且满足 1，则xy的最大值为_解析：(1)由题有()23a3bab1，又a0，b0，(2)因为x0，y0，所以 可化为4x3y12， 所以(4x)(3y) 236(当且仅当4x3y时等号成立)，即12xy36，所以xy3.所以xy的最大值为3.答案：(1)4(2)3利用基本不等式证明其他不等式【例4】若x0，y0，xy1，求证： 9.思路点拨：思路点拨：本题要求根据条件求最值，xy为常数，xy可有最大值，如何合理利用条件xy1是解答本题的关键，可在要求的式子上乘以(xy)，也可通过三角换元转化为三角问题. 点评：利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题变式探究4已知a0，b0且ab1.求证： 原不等式成立基本不等式的实际应用【例5】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系： 若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x) ，再由C(0)8，得k40，因此C(x)而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)20(2)由(1)知f(x) 6x(0 x10)，10801070，当且仅当 2(3x5)时，等号成立，即(3x5)2400,3x520，x5或x (舍去)时，上式中的等号成立，即f(x)min70(万元)，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元点评：(1)解实际应用题的基本思路是：设变量时一般把要求的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解(2)利用基本不等式解决实际问题的关键是使用变量表示求解目标，可以建立一个变量的函数关系，也可以建立满足一定条件的二元函数关系变式探究5.(2013三明模拟)某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型区域现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200 元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210 元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80 元/m2.(1)设总造价为S元，AD的长为xm，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区解析：(1)设DQy，则x24xy200，y S4 200 x22104xy804 y238 0004 000 x2 (0 x10)当且仅当4 000 x2 即x 或x (舍去)时，Smin118 000(元)，即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区
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