资源描述
第十节 函数模型及其应用1.1.三种函数模型性质比较三种函数模型性质比较y=ay=ax x(a1)(a1)y=logy=loga ax(a1)x(a1)y=xy=xn n(n0)(n0)在在(0,+)(0,+)上的单调性上的单调性单调单调_函数函数单调单调_函数函数单调单调_函数函数增长速度增长速度越来越越来越_越来越越来越_相对平稳相对平稳图象的图象的变化变化随随x x值增大值增大, ,图象与图象与_轴轴接近平行接近平行随随x x值增大值增大, ,图象与图象与x x轴轴接近接近_随随n n值变化值变化而不同而不同增增增增增增快快慢慢y y平行平行【即时应用即时应用】(1)(1)思考思考: :对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，对于直线上升、指数增长、对数增长三种增长模型，你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长你作为老板，希望公司的利润和员工奖金按何种模型增长? ?提示提示: :公司的利润选择直线上升或指数模型增长公司的利润选择直线上升或指数模型增长, ,而员工奖金选而员工奖金选择对数模型增长择对数模型增长. .(2)(2)当当x x越来越大时，下列四个函数中，增长速度最快的是越来越大时，下列四个函数中，增长速度最快的是_._.y=2y=2x x, , y=xy=x1010, , y=lgx, y=lgx, y=10 xy=10 x2 2【解析解析】由函数图象知，由函数图象知，y=2y=2x x的增长速度最快的增长速度最快. .答案答案: :(3)(3)函数函数y=2y=2x x与与y=xy=x2 2的图象的交点个数是的图象的交点个数是_._.【解析解析】由由y=2y=2x x与与y=xy=x2 2的图象知有的图象知有3 3个交点个交点. .答案答案: :3 3(4)(4)当当2 2x x4 4时时,2,2x x,x,x2 2,log,log2 2x x的大小关系是的大小关系是_._.【解析解析】在同一平面直角坐标系中在同一平面直角坐标系中画出函数画出函数y=logy=log2 2x,y=xx,y=x2 2,y=2,y=2x x的图象的图象, ,在区间在区间(2(2，4)4)内从上往下依次是内从上往下依次是y=xy=x2 2,y=2,y=2x x,y=log,y=log2 2x x的图象，的图象，所以所以x x2 22 2x xloglog2 2x.x.答案答案: : x x2 22 2x xloglog2 2x x2.2.常见的几种函数模型常见的几种函数模型(1)(1)直线模型直线模型: :一次函数模型一次函数模型 _(k0),_(k0),图象增长特点是直图象增长特点是直线式上升线式上升(x(x的系数的系数k k0),0),通过图象可以直观地认识它通过图象可以直观地认识它, ,特例是特例是正比例函数模型正比例函数模型y=kx(ky=kx(k0).0).(2)(2)反比例函数模型反比例函数模型: _(k: _(k0)0)型型, ,增长特点是增长特点是y y随随x x的增大而的增大而减小减小. .y=kx+by=kx+bkyx(3)(3)指数函数模型指数函数模型:y=ab:y=abx x+c(b+c(b0,b1,a0)0,b1,a0)，其增长特点，其增长特点是随着自变量的增大是随着自变量的增大, ,函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快( (底数底数b b1,a1,a0)0)，常形象地称为指数爆炸，常形象地称为指数爆炸. .(4)(4)对数函数模型，即对数函数模型，即y=mlogy=mloga ax+n(ax+n(a0,a1,m0)0,a1,m0)型，增长型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢( (底数底数a a1,m1,m0).0).(5)(5)幂函数模型幂函数模型, ,即即y=axy=axn n+b(a0)+b(a0)型，其中最常见的是二次型，其中最常见的是二次函数模型函数模型: _(a0): _(a0)，其特点是随着自变量的增，其特点是随着自变量的增大，函数值先减小，后增大大，函数值先减小，后增大(a(a0).0).y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(6)(6)分段函数模型：分段函数模型：y= ,y= ,其特点是每一段自变量其特点是每一段自变量变化所遵循的规律不同变化所遵循的规律不同. .可以先将其当作几个问题，将各段的可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的取值范围不同取值范围不同. . 1122nnfx ,xDfx ,xDfxxD，【即时应用即时应用】(1)(1)据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近5050年年内减少了内减少了5%5%，如果按此速度，设，如果按此速度，设20112011年的冬季冰雪覆盖面积为年的冬季冰雪覆盖面积为m m，从，从20112011年起，经过年起，经过x x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y y与与x x的的函数关系式是函数关系式是_._.(2)(2)某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润函数模型来反映该公司调整后利润y y与时间与时间x x的关系，可选用以的关系，可选用以下四种函数模型中的下四种函数模型中的_._.一次函数，二次函数，指数型函数，对数型函数一次函数，二次函数，指数型函数，对数型函数. .(3)(3)某种电热水器的水箱盛满水是某种电热水器的水箱盛满水是200 L200 L，加热到一定温度，即，加热到一定温度，即可用来洗浴可用来洗浴. .洗浴时，已知每分钟放水洗浴时，已知每分钟放水34 L34 L，若放水，若放水t t分钟时，分钟时，同时自动注水总量为同时自动注水总量为2t2t2 2 L. L.当水箱内的水量达到最少时，放水当水箱内的水量达到最少时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65 L65 L，则该热水器一，则该热水器一次至多可供次至多可供_人洗浴人洗浴. .【解析解析】(1)(1)设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为设每年的冰雪覆盖面积与上一年的比为a,a,则由题则由题意得意得1-0.05=a1-0.05=a5050. .a= a= y=( )y=( )x xm= m,xNm= m,xN* *. .(2)(2)根据实际情况得根据实际情况得, ,对数函数与公司调整后利润对数函数与公司调整后利润y y与时间与时间x x的关的关系相吻合系相吻合. .1500.951500.95x500.95(3)(3)在放水程序自动停止前在放水程序自动停止前, ,水箱中的水量为水箱中的水量为y=2ty=2t2 2-34t+200=2(t-8.5)-34t+200=2(t-8.5)2 2+55.5+55.5，由二次函数的性质得经过，由二次函数的性质得经过8.5 min8.5 min，放水停止，放水停止, ,共出水共出水34348.5=289(L)8.5=289(L)，289289654.45.654.45.故至多可供故至多可供4 4人洗浴人洗浴. .答案：答案：(1)y= m,xN(1)y= m,xN* * (2)(2)(3)4 (3)4 x500.95热点考向热点考向 1 1 一次函数与二次函数模型一次函数与二次函数模型【方法点睛方法点睛】利用已知函数模型解决实际问题的步骤利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型的图若题目给出了含参数的函数关系式，或可确定其函数模型的图象象, ,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值, ,再再用求得的函数解析式解决实际问题用求得的函数解析式解决实际问题, ,对于已知函数解析式的可对于已知函数解析式的可以直接利用函数相关性质解决实际问题以直接利用函数相关性质解决实际问题. .【提醒提醒】解函数应用题常见的错误：解函数应用题常见的错误：(1)(1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面；(2)(2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件. . 【例例1 1】(1)(1)某产品的总成本某产品的总成本y(y(万元万元) )与产量与产量x(x(台台) )之间的函数关之间的函数关系式是系式是y=3 000+20 x-0.1xy=3 000+20 x-0.1x2 2(0 x240,xN)(0 x240,xN)，若每台产品的售，若每台产品的售价为价为2525万元，则生产者不亏本时万元，则生产者不亏本时( (销售收入不小于总成本销售收入不小于总成本) )的最的最低产量是低产量是( )( )(A)100(A)100台台 (B)120(B)120台台(C)150(C)150台台 (D)180(D)180台台(2)(2012(2)(2012厦门模拟厦门模拟) )某省两相近重要城市之间人员交流频繁，某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖车，已知该车每次拖4 4节车厢，一日能来回节车厢，一日能来回1616次，如果每次拖次，如果每次拖7 7节车厢，则每日能来回节车厢，则每日能来回1010次次. .若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式；此一次函数解析式；在的条件下，每节车厢能载乘客在的条件下，每节车厢能载乘客110110人，问这列火车每天人，问这列火车每天来回多少次才能使营运人数最多？并求出每天最多营运人数来回多少次才能使营运人数最多？并求出每天最多营运人数. .【解题指南解题指南】(1)(1)结合二次函数的性质及实际意义，求解一元结合二次函数的性质及实际意义，求解一元二次不等式即可二次不等式即可. .(2)(2)理解题意，用待定系数法求理解题意，用待定系数法求y=kx+b;y=kx+b;转化为二次函数求最大值转化为二次函数求最大值. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.要使生产者不亏本，要使生产者不亏本，则有则有3 000+20 x-0.1x3 000+20 x-0.1x2 225x,25x,解上式得：解上式得：x-200 x-200或或x150,x150,又又0 x240,xN0 x240,xN，x x的最小值为的最小值为150.150.(2)(2)设每日来回设每日来回y y次，每次挂次，每次挂x x节车厢，节车厢，由题意由题意y=kx+b,k0,y=kx+b,k0,由由x=4x=4时时y=16y=16，x=7x=7时时y=10y=10得下列方程组：得下列方程组： ，解得：，解得：k=-2,b=24.k=-2,b=24.y=-2x+24.y=-2x+24.164kb107kb由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运由题意知，每日挂车厢最多时，营运人数最多，设每日营运S S节车厢，节车厢，则则S=xy=x(-2x+24)=-2xS=xy=x(-2x+24)=-2x2 2+24x=-2(x-6)+24x=-2(x-6)2 2+72.+72.所以当所以当x=6x=6时，时，S Smaxmax=72=72，此时，此时y=12,y=12,则每日最多营运人数为则每日最多营运人数为11011072=7 920(72=7 920(人人).).答：这列火车每天来回答：这列火车每天来回1212次，才能使营运人数最多次，才能使营运人数最多. .每天最多每天最多营运人数为营运人数为7 920. 7 920. 【反思反思感悟感悟】1.1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升系是一次函数模型，其增长特点是直线上升( (自变量的系数大自变量的系数大于于0)0)或直线下降或直线下降( (自变量的系数小于自变量的系数小于0).0).2.2.二次函数的应用主要有以下方面二次函数的应用主要有以下方面(1)(1)利用二次函数关系式或图象求最值利用二次函数关系式或图象求最值. .(2)(2)利用二次函数单调性求参数取值或范围利用二次函数单调性求参数取值或范围. .(3)(3)二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应二次函数如果是分段表示，则应注意分段区间端点值的应用用. .(4)(4)利用二次函数对应方程根的分布求参数范围利用二次函数对应方程根的分布求参数范围. .【变式训练变式训练】若一根蜡烛长若一根蜡烛长20 cm20 cm，点燃后每小时燃烧，点燃后每小时燃烧5 cm,5 cm,则则燃烧剩下的高度燃烧剩下的高度h(cm)h(cm)与燃烧时间与燃烧时间t(t(小时小时) )的函数关系用图象表的函数关系用图象表示为示为( )( )【解析解析】选选B.B.依题设可知，蜡烛高度依题设可知，蜡烛高度h h与燃烧时间与燃烧时间t t之间构成一之间构成一次函数关系，又次函数关系，又函数图象过点函数图象过点(0(0，20)20)、(4(4，0)0)两点，且该两点，且该图象为一条线段，图象为一条线段，选选B.B.热点考向热点考向 2 2 分段函数模型分段函数模型【方法点睛方法点睛】1.1.解函数应用问题的步骤解函数应用问题的步骤( (四步八字四步八字) )(1)(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型初步选择数学模型; ;(2)(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)(4)还原：回扣题目本身，将数学问题还原为实际问题的意义，还原：回扣题目本身，将数学问题还原为实际问题的意义，给出结论给出结论. .2.2.分段函数在现实生活中的体现分段函数在现实生活中的体现在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数. .如出租如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数车票价与路程之间的关系，就是分段函数. .【提醒提醒】形如形如f(x)=x+ (af(x)=x+ (a0,x0,x0)0)的对勾分段函数模型在现的对勾分段函数模型在现实生活中有广泛的应用，常利用基本不等式求最值，但要注意实生活中有广泛的应用，常利用基本不等式求最值，但要注意成立的条件，当等号不成立时，采用函数的单调性来解决成立的条件，当等号不成立时，采用函数的单调性来解决. . ax【例例2 2】(2013(2013福州模拟福州模拟) )提高过江大桥的车辆通行能力可改提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况善整个城市的交通状况. .在一般情况下，大桥上的车流速度在一般情况下，大桥上的车流速度v(v(单位：千米单位：千米/ /小时小时) )是车流密度是车流密度x(x(单位：辆单位：辆/ /千米千米) )的函数的函数. .当当桥上的车流密度达到桥上的车流密度达到200200辆辆/ /千米时，造成堵塞，此时车流速度千米时，造成堵塞，此时车流速度为为0 0；当车流密度不超过；当车流密度不超过2020辆辆/ /千米时，车流速度为千米时，车流速度为6060千米千米/ /小小时，研究表明，当时，研究表明，当20 x20020 x200时，车流速度时，车流速度v v是车流密度是车流密度x x的一的一次函数次函数. .(1)(1)当当0 x2000 x200时，求函数时，求函数v(x)v(x)的表达式的表达式; ;(2)(2)当车流密度当车流密度x x为多大时，车流量为多大时，车流量( (单位时间内通过桥上某观单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆测点的车辆数，单位：辆/ /每小时每小时)f(x)=xv(x)f(x)=xv(x)可以达到最大，可以达到最大，并求最大值并求最大值( (精确到精确到1 1辆辆/ /小时小时). ). 【解题指南解题指南】(1)(1)由车流密度不超过由车流密度不超过2020辆辆/ /千米时，车流速度为千米时，车流速度为6060千米千米/ /小时，可得小时，可得0 x200 x20时，时，v(x)=60v(x)=60；又；又20 x20020 x200时，时，车流速度车流速度v v是车流密度是车流密度x x的一次函数，设的一次函数，设v(x)=ax+bv(x)=ax+b，利用，利用x=200 x=200时时v=0v=0及及x=20 x=20时时v=60v=60可求出可求出a,ba,b，据此可求，据此可求v(x)v(x)的表达的表达式式.(2)f(x).(2)f(x)是关于是关于x x的分段函数，求出每段的最大值，再比较的分段函数，求出每段的最大值，再比较可得可得f(x)f(x)的最大值的最大值. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意：当由题意：当0 x200 x20时，时，v(x)=60v(x)=60；当；当20 x20020 x200时，设时，设v(x)=ax+bv(x)=ax+b，由已知得，由已知得 ，解得，解得 . .故函数故函数v(x)v(x)的表达式为的表达式为v(x)=v(x)=200ab020ab601a3200b3 60,0 x20,1200 x , 20 x200.3(2)(2)依题意并由依题意并由(1)(1)可得可得f(x)= f(x)= 当当0 x200 x20时，时，f(x)f(x)为增函数，故当为增函数，故当x=20 x=20时，其最大值为时，其最大值为606020=1 20020=1 200；当当2020 x200 x200时，时，f(x)= x(200-x)f(x)= x(200-x) ，当且仅当，当且仅当x=200-xx=200-x，即，即x=100 x=100时，时，等号成立等号成立. .60 x,0 x20,1x 200 x , 20 x200.3132x200 x110 000323所以，当所以，当x=100 x=100时，时，f(x)f(x)在区间在区间(20,200(20,200上取得最大值上取得最大值 . .综上，当综上，当x=100 x=100时，时，f(x)f(x)在区间在区间0,2000,200上取得最大值上取得最大值 3 3333 333，即当车流密度为，即当车流密度为100100辆辆/ /千米时，车流量可以千米时，车流量可以达到最大，最大值约为达到最大，最大值约为3 3333 333辆辆/ /小时小时. .10 000310 0003【反思反思感悟感悟】建立函数模型解决实际问题的过程用框图表示建立函数模型解决实际问题的过程用框图表示如图：如图：【变式训练变式训练】某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质化水质. .已知每投放质量为已知每投放质量为m m的药剂后，经过的药剂后，经过x x天该药剂在水中天该药剂在水中释放的浓度释放的浓度y(y(毫克毫克/ /升升) )满足满足y=mf(x)y=mf(x)，其中，其中 当药剂在水中释放的浓度不低于当药剂在水中释放的浓度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )且不高于且不高于10(10(毫克毫克/ /升升) )时称为最佳净化时称为最佳净化. . x2(0 x4)4f x,6(x4)x2(1)(1)如果投放的药剂质量为如果投放的药剂质量为m=4m=4，试问自来水达到有效净化一共，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？可持续几天？(2)(2)如果投放的药剂质量为如果投放的药剂质量为m m，为了使在，为了使在7 7天天( (从投放药剂算起包从投放药剂算起包括括7 7天天) )之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量之内的自来水达到最佳净化，试确定该投放的药剂质量m m的值的值. .【解析解析】(1)(1)当当m=4m=4时，时，y=4f(x)= y=4f(x)= 当药剂在水中释放的浓度不低于当药剂在水中释放的浓度不低于4(4(毫克毫克/ /升升) )时称为有效净化时称为有效净化. .当当0 0 x4x4时，时，y=x+84y=x+84，解得，解得x=4,x=4,当当x x4 4时，时，y= 4y= 4，解得，解得4 4x8.x8.故自来水达到有效净化一共可持续故自来水达到有效净化一共可持续5 5天天. .x8(0 x4)24(x4)x224x2(2)(2)为了使在为了使在7 7天天( (从投放药剂算起包括从投放药剂算起包括7 7天天) )之内的自来水达到之内的自来水达到最佳净化最佳净化, ,即前即前4 4天和后天和后3 3天的自来水达到最佳净化天的自来水达到最佳净化. .当当0 0 x4x4时，时，4m( +2)104m( +2)10在在0 0 x4x4上恒成立上恒成立, ,得得 在在0 0 x4x4上恒成立，上恒成立，2m ,2m ,当当4 4x7x7时，时，4 104 10在在4 4x7x7上恒成立，上恒成立，同理得同理得m= ,m= ,即投放的药剂质量即投放的药剂质量m m的值为的值为 . .x416mx840mx81036mx2103103【变式备选变式备选】据气象中心观察和预测据气象中心观察和预测: :发生于发生于M M地的沙尘暴一直向正南方向移地的沙尘暴一直向正南方向移动动, ,其移动速度其移动速度v(km/h)v(km/h)与时间与时间t(h)t(h)的的函数图象如图所示函数图象如图所示, ,过线段过线段OCOC上一点上一点T(t,0)T(t,0)作横轴的垂线作横轴的垂线l, ,梯形梯形OABCOABC在直线在直线l左侧部分的面积即为左侧部分的面积即为t(h)t(h)内沙尘暴所经过的路程内沙尘暴所经过的路程s(km).s(km).(1)(1)当当t=4t=4时时, ,求求s s的值的值; ;(2)(2)将将s s随随t t变化的规律用数学关系式表示出来变化的规律用数学关系式表示出来; ;(3)(3)若若N N城位于城位于M M地正南方向地正南方向, ,且距且距M M地地650 km,650 km,试判断这场沙尘暴试判断这场沙尘暴是否会侵袭到是否会侵袭到N N城城, ,如果会如果会, ,在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到到N N城城? ?如果不会如果不会, ,请说明理由请说明理由. .【解析解析】(1)(1)由图象可知由图象可知: :当当t=4t=4时时,v=3,v=34=12,4=12,s= s= 4 412=24(km).12=24(km).(2)(2)当当0t100t10时时,s= ,s= t t3t= t3t= t2 2, ,当当1010t20t20时，时，s= s= 101030+30(t-10)=30t-150;30+30(t-10)=30t-150;当当2020t35t35时，时，s= s= 101030+1030+1030+(t-20)30+(t-20)30- 30- (t-(t-20)20)2(t-20)=-t2(t-20)=-t2 2+70t-550.+70t-550.综上，可知综上，可知s=s=223t ,t0,10 ,230t150,t(10,20 ,t70t550,t(20,35 .121232121212(3)t(3)t0,100,10时时,s,smaxmax= = 10102 2=150=150650,650,t(10,20t(10,20时，时，s smaxmax=30=3020-150=45020-150=450650,650,当当t(20,35t(20,35时，令时，令-t-t2 2+70t-550=650.+70t-550=650.解得解得t t1 1=30,t=30,t2 2=40.20=40.20t35,t=30.t35,t=30.沙尘暴发生沙尘暴发生30 h30 h后将侵袭到后将侵袭到N N城城. .32热点考向热点考向 3 3 指数函数与对数函数模型指数函数与对数函数模型【方法点睛方法点睛】指数函数模型的应用指数函数模型的应用指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查合进行考查. .在实际问题中人口增长、银行利率、细胞分裂等在实际问题中人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示增长问题可以用指数函数模型来表示. .通常可表示为通常可表示为y=a(1+p)y=a(1+p)x x( (其中其中a a为原来的基础数，为原来的基础数，p p为增长率，为增长率，x x为时间为时间) )的的形式形式. . 【例例3 3】(1)(1)某种动物繁殖量某种动物繁殖量y(y(只只) )与时间与时间x(x(年年) )的关系为的关系为y=alogy=alog3 3(x+1)(x+1)，设这种动物第，设这种动物第2 2年有年有100100只，到第只，到第8 8年它们将发年它们将发展到展到( )( )(A)200(A)200只只 (B)300(B)300只只(C)400(C)400只只 (D)500(D)500只只(2)(2012(2)(2012泉州模拟泉州模拟) )为了预防流感为了预防流感, ,某学校对教室采用药熏消某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒毒法进行消毒. .已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量含药量y(y(毫克毫克) )与时间与时间t(t(小时小时) )成正比成正比; ;药物释放完毕后，药物释放完毕后，y y与与t t的函数关系式为的函数关系式为y= (ay= (a为常数为常数) )，如图所示，根据图中提，如图所示，根据图中提供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量供的信息，求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(y(毫毫克克) )与时间与时间t(t(小时小时) )之间的函数关系式为之间的函数关系式为_._.t a1()16【解题指南解题指南】(1)(1)先利用对数函数模型求得参数先利用对数函数模型求得参数a a，再代入求值，再代入求值. .(2)(2)结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式结合图象通过特殊点用待定系数法求出关系式. .【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.由题意知，当由题意知，当x=2x=2时，时，y=100,y=100,即即100=alog100=alog3 3(2+1)(2+1)，解得，解得a=100,a=100,当当x=8x=8时，时，y=100logy=100log3 3(8+1)=200(8+1)=200(只只).).(2)(2)药物释放过程中药物释放过程中, ,室内每立方米空气中的含药量室内每立方米空气中的含药量y(y(毫克毫克) )与与时间时间t(t(小时小时) )成正比成正比, ,则设函数则设函数y=kt(k0),y=kt(k0),将点将点(0.1,1)(0.1,1)代入可代入可得得k=10,k=10,则则y=10t;y=10t;将点将点(0.1,1)(0.1,1)代入代入y= ,y= ,得得a= .a= .则所求关系式为则所求关系式为y= .y= .答案答案: :y=y=t a1()161101t10110t,0t1011(),t1610 1t10110t,0t1011(),t1610 【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中题干不变中题干不变, ,若据测定若据测定, ,当空气中每立方当空气中每立方米的含药量降低到米的含药量降低到0.250.25毫克以下时毫克以下时, ,学生方可进教室学生方可进教室, ,那么从药那么从药物释放开始物释放开始, ,至少需要经过至少需要经过_小时后小时后, ,学生才能回到教室学生才能回到教室. .【解析解析】由本例由本例(2)(2)知知, ,令令 =0.25= ,=0.25= ,得得t= =0.6.t= =0.6.即从药物释放开始即从药物释放开始, ,至少需要经过至少需要经过0.60.6小时后小时后, ,学生才能回到教学生才能回到教室室. .答案答案: :0.60.61t101()16121()16610【反思反思感悟感悟】1.1.解决这类已给出数学模型的实际问题解决这类已给出数学模型的实际问题, ,关键关键是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况是从实际问题分析出其经过的特殊点或满足的特殊情况, ,从而从而代入求得其解析式代入求得其解析式. .2.2.与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题. .解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函解答这类问题的关键是确切建立相关函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答数、方程和不等式的有关知识加以综合解答. .【变式备选变式备选】已知某物体的温度已知某物体的温度(单位单位: :摄氏度摄氏度) )随时间随时间t(t(单单位位: :分钟分钟) )的变化规律是的变化规律是:=m2:=m2t t+2+21-t1-t(t0(t0，并且，并且m m0).0).(1)(1)如果如果m=2,m=2,求经过多少时间求经过多少时间, ,物体的温度为物体的温度为5 5摄氏度摄氏度; ;(2)(2)若物体的温度总不低于若物体的温度总不低于2 2摄氏度摄氏度, ,求求m m的取值范围的取值范围. .【解析解析】(1)(1)若若m=2,m=2,则则=2=22 2t t+2+21-t1-t=2(2=2(2t t+ )(t0),+ )(t0),当当=5=5时，时，2 2t t+ = ,+ = ,令令x=2x=2t t, ,则则x1 ,x1 ,则则x+ = ,x+ = ,即即2x2x2 2-5x+2=0,-5x+2=0,解得解得x=2x=2或或x= (x= (舍去舍去),),此时此时t=1.t=1.所以经过所以经过1 1分钟，物体的温度为分钟，物体的温度为5 5摄氏度摄氏度. .t12t12521x5212(2)(2)物体的温度总不低于物体的温度总不低于2 2摄氏度，即摄氏度，即22恒成立，恒成立，亦亦m m2 2t t+ 2+ 2恒成立恒成立. .亦即亦即m2( - )m2( - )恒成立恒成立. .令令y= y= ，则，则0 0y1,y1,m2(y-ym2(y-y2 2),),由于由于y-yy-y2 2 ,m . ,m .因此，当物体的温度总不低于因此，当物体的温度总不低于2 2摄氏度时，摄氏度时，m m的取值范围是的取值范围是 ,+). ,+). t22t122t12t121412121.(20131.(2013莆田模拟莆田模拟) )小孟进了一批水果，如果他以每千克小孟进了一批水果，如果他以每千克1.21.2元的价格出售元的价格出售, ,那他就会赔那他就会赔4 4元；如果他以每千克元；如果他以每千克1.51.5元的价格元的价格出售出售, ,一共可赚一共可赚8 8元元. .现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔现在小孟想将这批水果尽快出手，以不赔不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为不赚的价格卖出，那么每千克水果应定价为( )( )(A)1.2(A)1.2元元 (B)1.3(B)1.3元元(C)1.4(C)1.4元元 (D)1.45 (D)1.45元元【解析解析】选选B.B.设水果的成本价为设水果的成本价为x x元元/ /千克千克, ,共有共有a a千克，由题千克，由题意知意知 解得解得x=1.3,x=1.3,则每千克水果应定价则每千克水果应定价1.31.3元，故选元，故选B.B.x1.2 a4,1.5x a8,2.(20132.(2013宁德模拟宁德模拟) )某市原来居民用电价格为某市原来居民用电价格为0.520.52元元/(kWh)/(kWh)，换装分时电表后，峰时段换装分时电表后，峰时段( (早上八点到晚上九点早上八点到晚上九点) )的电价的电价0.550.55元元/(kWh)/(kWh)，谷时段，谷时段( (晚上九点到次日早上八点晚上九点到次日早上八点) )的电价为的电价为0.350.35元元/(kWh)/(kWh)，对于一个平均每月用电量为，对于一个平均每月用电量为200 kWh200 kWh的家的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为( )( )(A)110 kWh(A)110 kWh (B)114 kWh(B)114 kWh(C)118 kWh(C)118 kWh (D)120 kWh(D)120 kWh【解析解析】选选C.C.设在峰时段的平均用电量为设在峰时段的平均用电量为x kWx kWh,h,由题意由题意知知,0.52,0.52200-200-0.55x+0.35(200-x)0.55x+0.35(200-x)0.520.5220020010%,10%,解解得得x118,x118,故选故选C.C.3.(20133.(2013厦门模拟厦门模拟) )某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润润( (单位：万元单位：万元) )分别为分别为L L1 1=5.06x-0.15x=5.06x-0.15x2 2和和L L2 2=2x,=2x,其中其中x x为销售量为销售量( (单位：辆单位：辆) )，若该公司在这两地共销售，若该公司在这两地共销售1515辆汽车，则能获得的辆汽车，则能获得的最大利润为最大利润为( )( )(A)45.606(A)45.606万元万元 (B)45.6(B)45.6万元万元(C)45.56(C)45.56万元万元 (D)45.51 (D)45.51万元万元【解析解析】选选B.B.设在甲地销售设在甲地销售x x辆辆, ,则在乙地销售则在乙地销售(15-x)(15-x)辆，辆，0 x15.0 x15.从而获得的最大利润为从而获得的最大利润为y=5.06x-0.15xy=5.06x-0.15x2 2+2(15-x)=+2(15-x)=-0.15x-0.15x2 2+3.06x+30(0 x15).+3.06x+30(0 x15).当当x=10 x=10时时,y,ymaxmax=45.6 =45.6 万元万元, ,故选故选B.B.4.(20124.(2012漳州模拟漳州模拟) )生活经验告诉我们，当水注进容器生活经验告诉我们，当水注进容器( (设单设单位时间内进水量相同位时间内进水量相同) )时，水的高度随着时间的变化而变化，时，水的高度随着时间的变化而变化，在如图中请选择与容器相匹配的图象在如图中请选择与容器相匹配的图象(A)(A)对应对应_；(B)(B)对应对应_；(C)(C)对应对应_；(D)(D)对应对应_【解析解析】A A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快容器下粗上细，水高度的变化先慢后快, ,故与故与(4)(4)对对应；应；B B容器为球形，水高度变化为快容器为球形，水高度变化为快慢慢快快, ,应与应与(1)(1)对应；对应；C C、D D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C C容器细，容器细，D D容器粗，故水高度的变化为：容器粗，故水高度的变化为：C C容器快容器快, ,与与(3)(3)对应，对应，D D容器慢容器慢, ,与与(2)(2)对应对应. .答案答案: :(4) (1) (3) (2)(4) (1) (3) (2)
展开阅读全文