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第第4讲讲利用导数求参数的取值范围利用导数求参数的取值范围 高考定位由含参函数的单调性、极值、最值求参数的取值范围是近几年高考命题的重点，试题难度较大答案C2(2014新课标全国卷)已知函数f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(，1)答案B答案C考点整合1函数单调性的应用(1)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递增，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则f(x)0在区间(a，b)上恒成立；(3)可导函数f(x)在区间(a，b)上为增函数是f(x)0的必要不充分条件2分离参数法当参数的系数符号确定时，可以先考虑分离参数，进而求另一边函数的最值，有af(x)恒成立，即af(x)max，或有af(x)恒成立，即af(x)min.热点一已知函数的单调性求参数的取值范围【例1】 (2014杭州模拟)设函数f(x)x2axln x(aR)(1)若a1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(0,1上是减函数，求实数a的取值范围 规律方法(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f(x)0(或f(x)0)直接得到单调递增(或递减)区间 (2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0或f(x)0，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围热点二与函数极值、最值有关的求参数范围问题微题型1与极值点个数有关的求参数的取值范围【例21】 (2014温州适应性测试改编)已知函数f(x)ax2ex，aR.(1)当a1时，试判断f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围 解(1)当a1时，f(x)x2ex， 则f(x)2xex. 设g(x)f(x)2xex， 则g(x)2ex. 当xln 2时，g(x)0， 当x(，ln 2)时，g(x)0； 当x(ln 2，)时，g(x)0， f(x)maxg(x)maxg(ln 2)2ln 220，故f(x)0恒成立， f(x)在R上单调递减 探究提高本题关键是把极值点看做是函数的导函数对应方程的根；在求范围时通常的做法就是构造相应函数，再由导数讨论单调性与极值求解 (2)设(x)h(x)ax5x2(a2)x6， F(x)g(x)xg(x)ex3x(ex3)(1x)ex3x3. 依题意知：当x1,1时，(x)minF(x)max. F(x)ex(1x)ex3xex3，易知F(x)在1,1上单调递减， F(x)minF(1)3e0， F(x)在1,1上单调递增， F(x)maxF(1)0. 规律方法有关两个函数在各自指定的范围内的不等式的恒成立问题(这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的)，就应该通过最值进行定位，对于任意的x1a，b，x2m，n，不等式f(x1)g(x2)恒成立，等价于f(x)ming(x)max，列出参数所满足的条件，便可求出参数的取值范围【训练2】 (2014洛阳模拟)已知函数f(x)x33axb在x2处的切线方程为y9x14.(1)求a，b的值及f(x)的单调区间；(2)令g(x)x22xm，若对任意x10,2，均存在x20,2，使得f(x1)g(x2)求实数m的取值范围 (2)由(1)知f(x)在0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增， f(0)2f(2)4，f(x)max4. 又g(x)x22xm在区间0,2上，g(x)maxg(1)m1， 由已知对任意x10,2，均存在x20,2，使得f(x1)g(x)2，则有f(x)maxg(x)max. 则4m1，m3. 故实数m的取值范围是(3，). 含参数的不等式恒成立、存在性问题 (1)x1a，b，x2c，d，有f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min； (2)x1a，b，x2c，d，都有f(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)max； (3)x1a，b，x2c，d，有f(x1)g(x2)成立f(x)maxg(x)min； (4)x1a，b，x2c，d，有f(x1)g(x2)成立f(x)maxg(x)max.
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