A空间向量及运算h

立体几何(530021广西南宁三中许兴华)9.3空间向量及运算一知识回顾：1空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空间的一个平移就是一个向量+向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示+2.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下BA=OA-OB=a-bOP=a(R)运算律：加法交换律：ab=ba加法结合律：(ab)=a(bc)数乘分配律：(ab)-a-b3+共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.a平行于b记作a/b.当我们说向量a、b共线(或a/b)时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线.4. 共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b丰0),a/b的充要条件是存在实数人使a=Ab.推论：如果I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点0,点P在直线I上的充要条件是存在实数t满足等式OP=OAta.其中向量a叫做直线I的方向向量.5. 向量与平面平行：|已知平面和向量a，作oa二a，如果直线oa平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量1/5p=xayb说明：空间任意的两向量都是共面的.6 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使p=xayb+推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使MP二xMAyMB或对空间任一点O，有OP=OMxMAyMB式叫做平面MAB的向量表达式.7 .空间向量基本定理：p，存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个II44有序实数x,y,z，使OP=xOAyOBzOC.8 +空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b，在空间任取一点o,作oA二a,oB二b，贝，aob叫做向量a与b的夹角，记44444时呻兀44作:a,b;且规定0_：a,b海匹，显然有：:a,b=:b,a;若:a,b，则称a与b互相垂直，记作:2a_b.9. 向量的模：设oA=a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：a.10. 向量的数量积：a|a|b|cosa,b-.已知向量AB二2和轴I，e是I上与I同方向的单位向量，作点A在I上的射影A，作点B在I上的射影B，则AB叫做向量AB在轴I上或在e上的正射影.可以证明AB的长度|AB|=|AB|cos：a,e-|ae|.11. 空间向量数量积的性质：(1)ae=|a|cosa,e-.(2)：b=fb=0.(3)讲烏a.12. 空间向量数量积运算律：(1)(ab(ab)=a(b).(2)ab=ba(交换律)(3)a(bc)二abac(分配律).二基本训练：1. (2002上海春，13)若a、b、c为任意向量，mR，则下列等式不一定.成立的是(D)A.(a+b)+c=a+(b+c)B.(a+b)c=ac+b-cC.m(a+b)=ma+mbD.(ab)c=a(bc)(2001江西、山西、天津)设坐标原点为O,抛物线y=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OAQB等于(B)A.3C.3D.33.(2001上海)如图51,在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，M为AC与BD的交点，若A|B=a,AiDi=b,AiA=c.则下列向量中与BiM相等的向量是(A)A.1 a+ib+c2 2B.1 a+ib+c2 21 iC.ab+c2 21 iD.ab+c2 2(2000江西、山西、天津理，4)设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则(ab)c(ca)b=0|a|b|ab|3(bc)a(ca)b不与c垂直3a+2b)(3a2b)=9|af4|bf中，是真命题的有(D)A.B.C.D.(2002上海文，理2)已知向量a和b的夹角为i20且|a|=2，|b|=5，贝U(2ab)a=_i34. (200i上海春，8)若非零向量a、B满足|a+Bl=|aB|,则a与B所成角的大小为90例题讲解：例题讲解：B例i已知在正三棱锥P-ABC中，M,N分别为PA,BC中点，G为MN中点,求证：PG_BC例2已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,(1) 用向量法证明E,F,G,H四点共面；(2) 用向量法证明：BD/平面EFGH；(3) 设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O,例3.在平行六面体ABCDAiBiCiDi中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA长为b,且AABi=/AADi=i20，求(i)ACi的长；(2)直线BD,与AC所成角的余弦值。四、作业同步练习g3.1063空间向量1.2.3.已知a=(cosr,1,sinR,b=(sin耳1,cos巧，则向量ab与a-b的夹角是(A)_90已知a二(1-1,1-t,t),b=(2,t,t),丽55(A)(B)-55若向量a=(1,丸,2),b=(2,1,1),a,b夹角的余弦值为(B)60扌半)30”则|a-b|的最小值是3岳(C)-5(D)04.5.6.7.8.(A)1(B)-1(C)-111(D)-5丄，则=6(D)2已知点A(一3,1,4)，则点A关于x轴的对称点的坐标为(A)(-3,-1,4)(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)已知四面体ABCD中，-ABAVAD两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是(A) |ABACADb|AB|AC_AD|一F221212(B) |ABACIADJABJ|AC|AD|(C) _AC_ADrB0(D) ABCD二ACBD二ADBCrFrr若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x)，且a与b的夹角为钝角，贝Ux的取值范围是()(A)x：一4(B)-4x:0(C)0x:4(D)x4设a=(2,6,-3)，则与a平行的单位向量的坐标为同时垂直于a=(2,2,1),b=(4,5,3)的单位向量：二设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算2a3b,32b,ab及a与b的夹角，并确定当什么关系时，使暑与z轴垂直.9矩形ABCD中，已知AB=1,BC二a,PA_面积ABCD,PA=2，若BC边上存在唯一点Q，使得PQ_QD,(1) 求a的值；(2) M是AD上的一点，M在平面PQD上的射影恰好是：PQD的重心，求M到平面PDQ的距离。10.直三棱柱ABC-ABG，CA=90，AA-2,M,N分别是ABi,AA的中点,(1)求BN的长；(2)求cos：BA,CB的值；(3)求证：AB_GM。