冉启军090704010070数值分析数本13文档

第3页贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告课程名称：数值分析班级：数本（2）班 实验日期：2011年11月2学 号：090704010070姓名：冉啟军 指导教师:闭海实验成绩：一、实验名称实验三:数值积分、实验目的及要求1. 让学生掌握复化梯形法，复化Simpson法和Romberg公式以及变步长梯形法,变步长Simpson法2. 让学生能够用这些方法解决一些具体问题三、实验环境每人一台计算机，要求安装Win dows XP操作系统，Microsoft office2003MATLAB6.5或 7.0）.四、实验内容1. 从地面发射一枚火箭，在最初80 s内记录起加速度如下表，试求火箭在第50s,80s时的速度.t(s)01020304050607080a(m/s30.31.33.35.37.40.42.46.50.2)006344477533396967要求:分别用复合梯形法，复合Simpson法和Romberg公式计算.3 3 12. 给定积分exdx和 -dx ,分别用下列方法计算积分值要求准确到10 5x并比较分析计算时间1) 变步长梯形法 ;2) 变步长 Simpson 法 ;3) Romberg 方法 .五、算法描述及实验步骤1、实验一算法描述(1) 复合梯形法功能 用复合梯形公式( 3.13 )求积分输入 被积函数 f(x), 积分区间【 a,b 】和 n输出 复合梯形积分值 Tn步 1 h=(h-a)/n;Tn=f(a)-f(b);x=a步 2 对 k=1,2, n 执行 x=x+h;Tn=Tn+2f(x);步3 Tn=h/2*Tn步 4 输出 Tn结束(2) 复合 Simpson 法功能 用复合 Simpson 公式公式( 3.14 )求积分输入 被积函数 f(x), 积分区间【 a,b 】和 n输出 复合 Simpson 积分值 Sn步 1 h=(h-a)/n;Sn=f(a)-f(b);x=a步 2 对 k=1,2, n 执行 x=x+h;Sn=Sn+4f(x);x=x+h/2;Sn=Sn+2f(x);步 3 S=h/6*Sn步 4 输出 Sn结束(3)Romberg 积分法输入被积函数f(x)，积分区间端点 a,b,允许误差输出Romberg 积分值 R2n步1h b a; 一(f(a)f(b)；2S10; C10; R,0;k0.步2反复执行步3宀步9.步3hS 0; x a-2步4反复执行步5宀步6.步5S S f (x); x x h;步6若x b,则退出本层循环.步7执行 T2T1 一 S；S2-T2C2%2丄 S1; R2641C2C1223315156363步8执行 e R2 R1 ;h-；T12T2; S1S2;C1C2; R1R2;kk 1.步9若e 5,则退出循环.步10R2nR2 -步11输出R2n-2、实验二算法描述(1)变步长梯形法输入被积函数f(x),积分区间端点a,b和允许误差输出复合梯形积分值T2n步 1hb a步 2壬-(f(a) f(b)2步3反复执行步步10步 4 S 0;x a -2步5反复执行步6宀步7步 6 S S f (x); x h步7若x b,则退出本层循环步 8 T2Tl - S2 2h步 9 eT2 Ti；h-;TiT22步10若e p1v50 =1.7345e+003v80 =3.0803e+003复合 Simpson 法：t=0 10 20 30 40 50 60 70 80;a=30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33 42.39 46.69 50.67; h=20;v0=0;v80=v0+(h/6)*(a(1)+4*(a(2)+a(4)+a(6)+a(8)+2*(a(3)+a(5)+a(7)+a(9 )x=0 10 20 30 40 50;y=30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33; p=polyfit(x,y,2);poly2sym(p);x=5 15 25 35 45 ;q=polyval(p,x); a=30.00 q(1) 31.63 q(2) 33.44 q(3) 35.47 q(4) 37.75 q(5) 40.33; h=10;v50=v0+(h/6)*(a(1)+4*(a(2)+a(4)+a(6)+a(8)+a(10)+2*(a(3)+a(5)+a(7 )+a(9)+a(11) p2v80 =3.0810e+003v50 =1.7336e+003Romberg积分法：function R2n=Romberg(f,a,b,tol)h=b-a;T1=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b);S1=0;C1=0;R1=0;k=0;while 1S=0;x=a+h/2;while 1S=S+feval(f,x);x=x+h;if x=bbreakendendT2=T1/2+(h/2)*S;S2=(4/3)*T2-(1/3)*T1;C2=(16/15)*S2-(1/15)*S1;R2=(64/63)*C2-(1/63)*C1;e=abs(R2-R1);h=h/2;T1=T2;S1=S2;C1=C2;R1=R2;k=k+1;if e=5breakend end R2n=R2;x=0 10 20 30 40 50 60 70 80;y=30.00 31.63 33.44 35.47 37.75 40.33 42.39 46.69 50.67; p=polyfit(x,y,3);y=poly2sym(p)function y=f(x)y=(5930286613326077*xT)/295147905179352825856(3295392375650087*xA2)/4611686018427387904(3387527922312137*x)/18014398509481984 + 74033/2475 a=0;b=50;tol=0.000005;v50=Romberg(f,a,b,tol)v50 =1.7323e+003 a=0;b=80;tol=0.000005;80=Romberg(f,a,b,tol)v80 =3.0785e+003(2)实验二的调试程序及结果变步长梯形法：function T2n=Vsm(f,a,b,tol)h=b-a;T1=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b);tic;while 1S=0;x=a+h/2;while 1S=S+feval(f,x);x=x+h;if x=bbreakendendT2=T1/2+h*S/2;e=abs(T2-T1);h=h/2;T1=T2; if e a=1;b=3;tol=0.000005; I=Vsm(f,a,b,tol)function y=f(x) y=exp(x); a=1;b=3;tol=0.000005; I=Vsm(f,a,b,tol)t1 =t1 =0.0103 0.0049I =I =1.098617.3673 变步长 Simpson 法： function y=f(x) y=exp(x); a=1;b=3;tol=0.000005; tic;S,n=quad( f ,a,b,tol) t2=toc p4S =17.3673n =21t2 =0.0031function y=f(x)y=1./x; a=1;b=3;tol=0.000005; tic;S,n=quad( f ,a,b,tol) t2=toc p4S =1.098621t2 =0.0023Romberg积分法：function R2n=Romberg(f,a,b,tol)h=b-a;T1=(h/2)*(feval(f,a)+feval(f,b);S1=0;C1=0;R1=0;k=0; tic;while 1S=0;x=a+h/2;while 1S=S+feval(f,x);x=x+h;if x=bbreakendendT2=T1/2+(h/2)*S;S2=(4/3)*T2-(1/3)*T1;C2=(16/15)*S2-(1/15)*S1;R2=(64/63)*C2-(1/63)*C1; e=abs(R2-R1);h=h/2;T1=T2;S1=S2;C1=C2;R1=R2;k=k+1;if e=5breakend第 11 页endt3=tocR2n=R2;function y=f(x)y=exp(x); a=1;b=3;tol=0.000005; I=Romberg(f,a,b,tol)t3 =1.8141e-004I =17.3673七、总结 (1)通过对复合梯形法、复合Simpson法和Romberg积分法的运用以及运算，从不同的运算结果能够看 出，如果节点的个数相同， 而使用不 同的方法去运算所得到的结果却并 不相同，即所得结果的精度也不同， 这就使我们有兴趣去掌握更多的知 识来对这一结果作出合理的解释。(2)从变步长 Simpson 积分法可知， 所采用的调用已知函数 quad，然而function y=f(x)y=1/x; a=1;b=3;tol=0.000005; I=Romberg(f,a,b,tol)t3 =1.7178e-004I =1.0986杂的函数还不能解决。 而对后面几种 积分法，可以得出它们都是自适应方 法，本实验中采取的是等距节点， 如 果被积函数在某处变化很激烈， 在该 处就应当设置较多的节点； 反之只要 设置较少的节点， 自适应求积公式的 目标，就是设法根据被积函数的性质 确定求积节点的合理分布以获得最 优的计算效果， 从而让我们在解决实 际问题的同时也增长了更多的知识 与生活经验 .具体的程序还很欠缺对一些比较复希望以上资料对你有所帮助，附励志名 3 条：1、积金遗于子孙，子孙未必能守；积书于子孙，子孙未必能读。不如积阴 德于冥冥之中，此乃万世传家之宝训也。2、积德为产业，强胜于美宅良田。3、能付出爱心就是福，能消除烦恼就是慧。