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第2课时 函数的最值导入新课思路1.某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y=2(x+),x0的最小值.引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的.那么什么是函数的最值呢?这就是我们今天学习的课题.用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)=-x+3；f(x)=-x+3,x-1,2；f(x)=x2+2x+1;f(x)=x2+2x+1,x-2,2.学生回答后，教师引出课题：函数的最值.推进新课新知探究提出问题如图1-3-1-11所示，是函数y=-x2-2x、y=-2x+1,x-1,+)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的共同特征.图1-3-1-11函数图象上任意点P(x,y)的坐标与函数有什么关系？你是怎样理解函数图象最高点的?问题1中，在函数y=f(x)的图象上任取一点A(x,y)，如图1-3-1-12所示，设点C的坐标为(x0,y0)，谁能用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？图1-3-1-12在数学中，形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义？函数最大值的定义中f(x)M即f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？函数最大值的几何意义是什么？函数y=-2x+1,x(-1,+)有最大值吗？为什么？点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x(-1,+)的最高点？由这个问题你发现了什么值得注意的地方？讨论结果:函数y=-x2-2x图象有最高点A，函数y=-2x+1,x-1,+)图象有最高点B，函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.函数图象上任意点P的坐标(x,y)的意义:横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.由于点C是函数y=f(x)图象的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x，均有f(x)f(x0)成立.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最大值.f(x)M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.函数图象上最高点的纵坐标.函数y=-2x+1,x(-1,+)没有最大值，因为函数y=-2x+1,x(-1,+)的图象没有最高点.不是，因为该函数的定义域中没有1.讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.提出问题类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.类比问题9，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“”类比不等号“”.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.讨论结果：函数最小值的定义是:一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f(x)M；（2）存在x0I，使得f(x0)=M.那么，称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.应用示例思路1例1求函数y=在区间2，6上的最大值和最小值.活动：先思考或讨论，再到黑板上书写.当学生没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变换法画出函数y=的图象，只取在区间2，6上的部分.观察可得函数的图象是上升的.解：设2x1x26,则有f(x1)-f(x2)=2x10,(x1-1)(x2-1)0.f(x1)f(x2),即函数y=在区间2，6上是减函数.所以，当x=2时，函数y=在区间2，6上取得最大值f(2)=2；当x=6时，函数y=在区间2，6上取得最小值f(6)= .变式训练1.求函数y=x2-2x(x-3,2)的最大值和最小值_.答案：最大值是f(-3)=15，最小值是f(1)=-1.2.函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是.分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设x2=t，y=t2+2t-1(t0)，又当t0时，函数y=t2+2t-1是增函数，则当t=0时，函数y=t2+2t-1(t0)取最小值1.所以函数f(x)=x4+2x2-1的最小值是1.答案：-13.画出函数y=x22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间.解：函数图象如图1-3-1-13所示.图1-3-1-13由图象得，函数的图象在区间（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在（，1），0，1上是增函数；函数在1，0，（1，）上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题.单调法求函数最值：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错.并对学生的板书及时评价.将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值.“烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18取得最大值；“这时距地面的高度是多少（精确到1 m）”就是函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值；转化为求函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的最大值及此时自变量t的值.解：画出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图1-3-1-14所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的最佳时刻，纵坐标就是这时距离地面的高度.图1-3-1-14由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当t=1.5时，函数有最大值,即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题步骤是审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论.注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006山东菏泽二模，文10把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.cm2 B.4cm2 C.3cm2 D.2cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4-x) cm，两个三角形的面积和为S，则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+22.当x=2时，S取最小值2m2.故选D.答案：D2.某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润.分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答.利润（售价进价）销售量.解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y=(x-8)60-(x-10)10=-10(x-12)2-16=-10(x-12)2+160(10x16).当且仅当x=12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.思路2例1已知函数f(x)=x+,x0，（1）证明当0x0的最小值.活动：学生思考判断函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（1）利用定义法证明函数的单调性；（2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1）解：任取x1、x2（0，+）且x1x2，则f（x1）f（x2）=（x1）（x2+）=（x1x2）+=，x1x2，x1x20.当0x1x21时，x1x2-10，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2），即当0x0，f（x1）f（x2）0.f（x1）f（x2）,即当x1时，函数f(x)是增函数.（2）解法一：由（1）得当x=1时，函数f(x)=x+,x0取最小值.又f(1)=2，则函数f(x)=x+,x0取最小值是2.解法二：借助于计算机软件画出函数f(x)=x+,x0的图象，如图1-3-1-15所示，图1-3-1-15由图象知，当x=1时，函数f(x)=x+,x0取最小值f(1)=2.点评：本题主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去比赛”；三个步骤缺一不可.利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递增，在区间b,c)上单调递减，则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间(a,b上单调递减，在区间b,c)上单调递增，则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练1.求函数y=（x0）的最大值.解析:可证明函数y=（x0）是减函数，函数y=（x0）的最大值是f(0)=3.2.求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.解法一：（图象法）y|x+1|+|x-1|=其图象如图1-3-1-16所示.图1-3-1-16由图象得，函数的最小值是2，无最大值.解法二：（数形结合）函数的解析式y=|x+1|+|x-1|的几何意义是：y是数轴上任意一点P到1的对应点A、B的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图1-3-1-17所示，图1-3-1-17观察数轴,可得|PA|+|PB|AB|=2，即函数有最小值2，无最大值.3.2007天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11设0x1,则函数y=+的最小值是.分析：y=,当0x400时，f(x)=60000-100x是减函数;又f(x)60000-1004003时，函数y=28-m是减函数，所以当m=3时，函数y=28-m取最大值21（万元）.拓展提升问题：求函数y=的最大值.探究：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18所示，图1-3-1-18故图象最高点是(,).则函数y=的最大值是.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x时，函数y=是增函数；当x时，函数y=是减函数.则当x=时，函数y=取最大值,即函数y=的最大值是.(方法三)函数的定义域是R，由y=,得yx2+yx+y-1=0.xR，关于x的方程yx2+yx+y-1=0必有实数根，当y=0时，关于x的方程yx2+yx+y-1=0无实数根，即y=0不属于函数的值域.当y0时，则关于x的方程yx2+yx+y-1=0是一元二次方程，则有=(-y)2-4y(y-1)0.0y.函数y=的最大值是.点评：方法三称为判别式法，形如函数y=(d0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df0时，函数y=kx的最大值为f(b)kb，最小值为f(a)ka；当k0）上存在最值，当k0时，函数y=的最大值为f(a)，最小值为f(b)；当k0时，函数y=kx+b的最大值为f(n)=kn+b，最小值为f(m)km+b；当k0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最小值f()=，无最大值；当a0时，函数y=ax2+bx+c在定义域R上有最大值f()=，无最小值.二次函数在闭区间上的最值问题是高考考查的重点和热点内容之一.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间p，q上的最值可能出现以下三种情况：(1)若p，则f(x)在区间p，q上是增函数，则f(x)min=f(p)，f(x)max=f(q).(2)若pq，则f(x)min=f(),此时f(x)的最大值视对称轴与区间端点的远近而定：当p时，则f(x)max=f(q);当时，则f(x)max=f(p)f(q);当q时，则f(x)max=f(p).(3)若q，则f(x)在区间p，q上是减函数，则f(x)min=f(q)，f(x)max=f(p).由此可见,当p,q时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f()；当p,q时,二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)在闭区间p，q上的最大值是f(p)和f(q)中的最大值,最小值是f(p)和f(q)中的最小值.(设计者：方诚心)
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