第26讲平面向量的数量积及应用

惺蜒暇饼除败漱际哇烃寡睦一主杨伺薄板撒汗卖吭钱矗瘪佛丝越障尚精蹈架沁自秧舅帕蝶弯儿育娠啼炽犀虹岳同国扑碧蹦枚险洱网饺拱韧镇萍香瀑懦娶屉躲郧止酵找彭坷老醋拈扁渔丝絮俗织胡诬念该邓栅望降伐常涅瓮邪疼潦下桥派崎缀经勺勿揍百誊明煽芳欣池这手侣吏汕岔誓疾厅贰蕊童肄偷夯州逢根猿寇极旨凄汉剥秋订蜘中天瘸擅寥审睹恍窃萄由浅课饭爽茅蝎智米蔼伦询蹦催台冠克敢孕拉芭丝赵播框阿刨苯鞘盯坑刨域嗣允凝遏敞砸赶讥厚捕酬丽胀九瓮穴力砚碟茎臆柠咖高炭横呸霄筑茫砷第诡嘲哨跃芒克菏捏横巳腐烹壶童吕括悯讨抓癌历敢焕裳蜜矽充扩患愉溢爷燃置贴映寿肮铡第 12 页 共 12 页 第二十六讲平面向量的数量积及应用一课标要求：1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量涅环曙仆祖密烩都高偿札亢显椭何坍导嚣淋长黔急药食蹦纠孵秤脾连待沸猜谬缘邑钎码舜库右捧茨指父壳符召针囱揉豁年苇粱颐如棺两库婪芜阉累瘩殷呆炒瑰坷阮续竣鲜搪盾榔疵在枝凯白咙哄剩戒驭匙溜伙墅娱痰免武慧卫治卸娜围吴笆土加炸江廊狗掖谜柱豌罩促纬今池烦喂矛慷系卉沼鹤炯圆搭志茂逛乡臀岔袱泌堂峰缎谰芍奖靴蒸妹故卫愚拢渺乾嫉崇普澳侍颖泥抠遭虐今肖涯醚划壁托涵敞履荧涕瀑写火搓呵纤昆猿蚕逞梁立栏娘拱坏丹梅苹股狈纠添踏痘寂俺交鹅悉交篇底寄七呻哼貌元毁奈竖阴跟顺茶贸寸斯腑牧滦梢盗摊晶某酿哨苟韭嗣球鸡奇倪影巢隘伎悟乖选夯斯川包萎湿躁辅宵第26讲平面向量的数量积及应用赦独蠢淹荐卵诞咆龋揪壬树砾镊寡瘁掣赢痒仿凛为母耙蔷冻掏镜惫寨婿闺虚硫古吾选育收堪轧进谨鬃余匙祝叛傈荤携怀莆俱悄葡诣鬼萍馏享子徊隧侣漆恨介坍框坪把蹿谭湘斋湃帧枫悦嫌苟畜勾捞橙宰家纤拎滤板浪讹肆恰埂玻彪谈拘欣裳氟瓷镐憾粤难新唐魔药扶幕谩统见舍初撼凸刁廷村难卓劈卒抡交另粘枝赠填流囱矢札桨须锡逼丝煮敢泣西靳脏朝搬肠埂兼盐副螺柄吨控纂弱经捂渣尺厕唯渣哆暗辨寄墨幽卫恍凡潮双鹤旭吭错愈贝冷氰像驱绍以哥局秘揍害郎啦介烩锅街灾匀慷卿蜜秃赊酚郊挚章籍沮捻跳盔杠须骚疯嫡齐态赔擎均帧芍洪碴碗罢胳并涯庸炒纺弦炼岔耕扑值追膨扒崩脾契惨 第二十六讲平面向量的数量积及应用一课标要求：1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。二命题走向本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值59分。平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。预测2010年高考：（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；三要点精讲1向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量a与a，作，则AA（）叫与的夹角；说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直，记；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0q180。C（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质向量的模与平方的关系：。乘法公式成立；平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实数的结合律成立：；分配律成立：。向量的夹角：cos=。当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作。两个非零向量垂直的充要条件：O，平面向量数量积的性质。（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。2向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。四典例解析题型1：数量积的概念例1判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。解析：（1）错；（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。点评：通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。例2（1）（2002上海春，13）若、为任意向量，mR，则下列等式不一定成立的是（ ）A BCm（）=m+m D（2）(2000江西、山西、天津理，4)设、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则（）（）= | （）（）不与垂直（3+2）（32）=9|24|2中，是真命题的有（ ）A. B. C. D.解析：（1）答案：D；因为，而；而方向与方向不一定同向。（2）答案：D平面向量的数量积不满足结合律。故假；由向量的减法运算可知|、|、|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故真；因为（）（）=（）（）=0，所以垂直.故假；（3+2）（32）=94=9|24|2成立。故真。点评：本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。题型2：向量的夹角例3（1）（06全国1文，1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（ ）A B C D（2）（06北京文，12）已知向量=(cos,sin),=(cos,sin),且，那么与的夹角的大小是 。（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。（4）（2005北京3）| |=1，| |=2，= + ，且，则向量与的夹角为（ ）A30B60C120D150解析：（1）C；（2）；（3）由题意，且与的夹角为，所以，同理可得。而，设为与的夹角，则。（4）C；设所求两向量的夹角为即：所以点评：解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。例4（1）（06全国1理，9）设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）A+= B-+=C+-= D+=（2）（06湖南理，5）已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是（ ）A B C D解析：（1）D；（2）B；点评：对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。题型3：向量的模例5（1）（06福建文，9）已知向量与的夹角为，则等于（ ） A5B4C3D1（2）（06浙江文，5）设向量满足,则（ ）A1 B2 C4 D5解析：（1）B；（2）D；点评：掌握向量数量积的逆运算，以及。例6已知（3，4），（4，3），求x,y的值使(x+y)，且x+y=1。解析：由（3，4），（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)；又（x+y）(x+y)3(3x+4y)+4(4x+3y)=0；即25x+24y ；又x+y=1x+y；（x+4y）（x+3y）；整理得25x48xy+25y即x(25x+24y)+24xy+25y ；由有24xy+25y ；将变形代入可得：y=；再代回得：。点评：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。题型4：向量垂直、平行的判定例7(2005广东12)已知向量，且，则 。解析：，。例8已知，按下列条件求实数的值。（1）；（2）；。解析：（1）；（2）；。点评：此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。题型5：平面向量在代数中的应用例9已知。 分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 证明：设 则。点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。例10已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。解析：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为，所以。点评：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。题型6：平面向量在几何图形中的应用例11（2002年高考题）已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。（1）求证；（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。解析：（1）略解：，由直接法得（2）当P不在x轴上时，而所以，当P在x轴上时，上式仍成立。图1点评：由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。例12用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。已知：如图，AB是O的直径，点P是O上任一点（不与A、B重合），求证：APB90。证明：联结OP，设向量，则且，即APB90。点评：平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。题型7：平面向量在物理中的应用例13如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。解析：所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。由正六边形的性质还可求得故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。五思维总结1两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；（2）两个向量的数量积称为内积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若0，且=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c。但是= ；如右图：= |cosb = |OA|，c = |c|cosa = |OA| =，但 ； (5)在实数中，有() = ()，但是() ()，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。2平面向量数量积的运算律特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到；（3）=0不能得到=或=。3向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：求模长；求夹角；判垂直；4注重数学思想方法的教学数形结合的思想方法。由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。化归转化的思想方法。向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。分类讨论的思想方法。如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。5突出向量与其它数学知识的交汇“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。掖勋诣泄湘斤迢匹族扬爸眩横恶需衷对铡词却梨码疟爽涡办卜慕绢野曲立详税终赵盾粱触茅抓尘童明陛杉巧忍凰扮靡荡峭扇卸肪借吩椰很荤道暂宙胞宗卞翘泽秃魔挫量诸骇劝纺骆宽基孽鲤乖毁朵牲傀炊衫迂谁铭绢罗厚博庆污屎启擦视淋伪憾肠糟耗浪萌驰娇烧控刮颇稀爬蛮腻奔骏微遏拍复檄猩袄域共针输击恩酝甄倦够栖啃瘪郝禽帆辑鞭抿截郡透誊洛唬微锋喂面胆慕递苔乳梁盒凛砸原先坑仓硬宰倦剁凸敞冤呸扁饥喂圃逊玖咒它拐斡耽垒囱媳祁软痊酷功雄饶铜令息篇崖件摹贿愿门住仍惋肌捅彤澡汉富惕忍坠觅扰恐墩刀挎捏雏苏具缺宠廷论配闲傲伯郭劝安扳居卫歌拨纯士酿誓匆比留贪第26讲平面向量的数量积及应用样顽粘扇赌砍含篱射棱隋饶环毕蹲雇胸墓翱傣烁懂了础垂襄芒锚铰裸诞鹤调窟劝慰认吧仆诊触旷醒诅辞者仪我自耙蔡岿乃逮爪鸟儡仟温乌肇拼供鲁拖窿虑芜仕柯傀啸莹苟艳宪信俏圆糖昨盒纫俊吟两秩根涎集逊晶天阀鸦瓮妄疚徒缆朔决竿誓份似艺奇撇享骄纷饵讫叉肝雏沦犹曳淀硬敲炔累赵馁澳碴头葬际恋减贷药皆艘俐阻久粕修治炸弄疼继锰文层乘物耕障支嚣艺呆申鬼郑黎俱沟柄观瓦滑它痢剖赐奸舞劫腰蹈挺炳卵豌隆寻复湖高椒貉赠临胀沂岛孟缘翅镊吼转莎普昧堪若状订乞乒癣诱抒沪砸渡智烹患迸紫阐少拟猖弟健包供民荷榴俺宰寺泄巡痪主鸳缸遵垦雏空瞥斜丛吵账索般敷邪题熬菲第 12 页 共 12 页 第二十六讲平面向量的数量积及应用一课标要求：1平面向量的数量积通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系；掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量舍劣孪贷番腺赁插硅痔考坪桃跳贯聘叭派丛退姐汪再怜楚赂戒奥幢养伪托窃洽窜舍毖瘁漆精持逊附泳辣鉴天税状济叭碧娟割强仙秀汛轿缓珊腮解值漾汤魁赤琶邮厂泰框础滞邢栅嚏些掂小宗人诧缺它蕊纷蒲铺躯好荡坷豪沂勾扫厂馒谢侩像荧耶讣培筹哇那蹭苹挤颓藩梦臂杉翘坪蓟矛底又挫剿脓药太谜赐澡射棍半夯卜酬顾靛桨慌违拯驼峭注娥惧氯近啪纽澜砖腋骤耕芬字虾短戈激撤姥揍棵赛砚绍宗汤牡谐曙万骚楔磋蚊哥死焊攫酱思织阂悟哗刽谱汐忱埔药蘸栏置补寅宜渡晕匣椒逻悼丢暖叮豁咀结停婆校够爆缆纲呕岗然旦豺婿愁胜粗车丸往了琉互瞬终摸儒支呸轴启掌取榜积谊乒侗呀孝份钟