新编五年高考真题高考数学复习 第四章 第五节 解三解形 理全国通用

第五节第五节解三角形解三角形考点一正弦、余弦定理的应用1(20 xx辽宁，6)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asinBcosCcsinBcosA12b，且ab，则B()A.6B.3C.23D.56解析根据正弦定理得，sinAsinBcosCsinCsinBcosA12sinB，即sinAcosCsinCcosA12，所以 sin(AC)12，即 sinB12，因为ab，B6.选 A.答案A2(20 xx湖南，3)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若 2asinB 3b，则角A等于()A.12B.6C.4D.3解析由asinAbsinB，得 sinA32，又因为ABC为锐角三角形，所以A3.答案D3(20 xx天津，6)在ABC中，ABC4，AB 2，BC3，则 sinBAC()A.1010B.105C.3 1010D.55解析由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos4292 23225，AC 5，由正弦定理ACsinBBCsinA，得 sinABCsinBAC32253 1010.答案C4(20 xx上海，16)在ABC中，若 sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定解析sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2.则 cosCa2b2c22ab0，C为钝角答案C5(20 xx重庆，6)若ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.43B84 3C1D.23解析(ab)2c24，a2b2c242ab.又C60，由余弦定理有：cos 60a2b2c22ab，即a2b2c2ab.42abab，则ab43.答案A6(20 xx福建，12)若锐角ABC的面积为 10 3，且AB5，AC8，则BC等于_解析S12ABACsinA，sinA32，在锐角三角形中A3，由余弦定理得BCAB2AC22ABACcosA7.答案77(20 xx广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a 3，sinB12，C6，则b_解析因为 sinB12且B(0，)，所以B6或B56.又C6，所以B6，ABC23.又a 3，由正弦定理得asinAbsinB，即3sin23bsin6，解得b1.答案18(20 xx北京，12)在ABC中，a4，b5，c6，则sin 2AsinC_解析由余弦定理：cosAb2c2a22bc25361625634，sinA74，cosCa2b2c22ab16253624518，sinC3 78，sin 2AsinC234743 781.答案19 (20 xx重庆， 13)在ABC中，B120，AB 2，A的角平分线AD 3， 则AC_解析由正弦定理得ABsinADBADsinB，即2sinADB3sin 120，解得 sinADB22，ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC2ABcos 30 6.答案610(20 xx天津，12)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bc14a，2sinB3sinC，则 cosA的值为_解析由已知及正弦定理，得 2b3c，因为bc14a，不妨设b3，c2，所以a4，所以 cosAb2c2a22bc14.答案1411(20 xx江苏，14)若ABC的内角满足 sinA 2sinB2sinC，则 cosC的最小值是_解析由正弦定理可得a 2b2c，又 cosCa2b2c22aba2b214（a 2b）22ab3a22b22 2ab8ab2 6ab2 2ab8ab6 24，当且仅当3a 2b时取等号，所以 cosC的最小值是6 24.答案6 2412(20 xx新课标全国，16)已知a，b，c，分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_解析因为a2，所以(2b)(sinAsinB)(cb)sinC可化为(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可得 cosAb2c2a22bcbc2bc12，又 0A，故A3，又 cosA12b2c242bc2bc42bc，所以bc4，当且仅当bc时取等号，由三角形面积公式知SABC12bcsinA12bc3234bc 3，故ABC面积的最大值为 3.答案313(20 xx安徽，16)在ABC中，A34，AB6，AC3 2，点D在BC边上，ADBD，求AD的长解设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理，得a2b2c22bccosBAC(3 2)26223 26cos341836(36)90，所以a3 10.又由正弦定理，得 sinBbsinBACa33 101010，由题设知 0Bc.已知BABC2，cosB13，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由BABC2 得cacosB2，又 cosB13，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB.又b3，所以a2c292213.解ac6，a2c213，得a2，c3 或a3，c2.因ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sinB 1cos2B1（13）22 23，由正弦定理，得 sinCcbsinB232 234 29.因abc，所以C为锐角，因此 cosC 1sin2C14 29279.于是 cos(BC)cosBcosCsinBsinC13792 234 292327.考点二解三角形及其应用1(20 xx新课标全国，4)钝角三角形ABC的面积是12，AB1，BC 2，则AC()A5B. 5C2D1解析SABC12ABBCsinB121 2sinB12，sinB22，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135， 由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB1221 222 5，AC 5.故选 B.答案B2(20 xx天津，6)如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2AB 3BD，BC2BD，则 sinC的值为()A.33B.36C.63D.66解析设BDa，则BC2a，ABAD32a.在ABD中，由余弦定理，得cosAAB2AD2BD22ABAD32a232a2a2232a32a13.又A为ABC的内角，sinA2 23.在ABC中，由正弦定理，得BCsinAABsinC，sinCABBCsinA32a2a2 2366.答案D3(20 xx天津，13)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 3 15，bc2，cosA14，则a的值为_解析cosA14，0A，sinA154，SABC12bcsinA12bc1543 15，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccosA522241464，a8.答案84 (20 xx山东， 12)在ABC中， 已知ABACtanA， 当A6时， ABC的面积为_解析根据平面向量数量积的概念得ABAC|AB|AC|cosA，当A6时，根据已知可得|AB|AC|23，故ABC的面积为12|AB|AC|sin616.答案165(20 xx福建，13)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC， sinBAC2 23，AB3 2，AD3， 则BD的长为_解析cosBADcosBAC2 sinBAC2 23.故在ABD中，由余弦定理知：BD2BA2DA22BAADcosBAD3，故BD 3.答案36(20 xx上海，6)在相距 2 千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米解析ACB180756045，由正弦定理得ACsin 60ABsin 452sin 45，AC 6千米答案67(20 xx新课标全国，17)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍(1)求sinBsinC；(2)若AD1，DC22，求BD和AC的长解(1)SABD12ABADsinBAD，SADC12ACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得sinBsinCACAB12.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD 2.在ABD和ADC中，由余弦定理知AB2AD2BD22ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.8(20 xx浙江，16)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A4，b2a212c2.(1)求 tanC的值；(2)若ABC的面积为 3，求b的值解(1)由b2a212c2及正弦定理得 sin2B1212sin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A4，即BC34，得cos 2Bsin 2C2sinCcosC，解得 tanC2.(2)由 tanC2，C(0，)得sinC2 55，cosC55，又因为 sinBsin(AC)sin4C，所以 sinB3 1010，由正弦定理得c2 23b，又因为A4，12bcsinA3，所以bc6 2，故b3.9(20 xx陕西，17)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m m(a， 3b)与n n(cosA，sinB)平行(1)求A；(2)若a 7，b2，求ABC的面积解(1)因为m mn n，所以asinB 3bcosA0，由正弦定理，得 sinAsinB 3sinBcosA0，又 sinB0，从而 tanA 3，由于 0A，所以A3.(2)法一由余弦定理，得a2b2c22bccosA，而a 7，b2，A3，得 74c22c，即c22c30，因为c0，所以c3，故ABC的面积为S12bcsinA3 32.法二由正弦定理，得7sin32sinB，从而 sinB217，又由ab，知AB，所以 cosB2 77，故 sinCsin(AB)sinB3sinBcos3cosBsin33 2114.所以ABC的面积为S12absinC3 32.10(20 xx北京，15)如图，在ABC中，B3，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC17.(1)求 sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为 cosADC17，所以 sinADC4 37.所以 sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB4 371217323 314.(2)在ABD中，由正弦定理得BDABsinBADsinADB83 3144 373.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosB82522851249.所以AC7.11(20 xx陕西，16)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c成等差数列，证明：sinAsinC2sin(AC)；(2)若a，b，c成等比数列，求 cosB的最小值(1)证明a，b，c成等差数列，ac2b.由正弦定理得 sinAsinC2sinB.sinBsin(AC)sin(AC)，sinAsinC2sin(AC)(2)解a，b，c成等比数列，b2ac.由余弦定理得cosBa2c2b22aca2c2ac2ac2acac2ac12，当且仅当ac时等号成立cosB的最小值为12.12(20 xx安徽，16)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求 sinA4 的值解(1)因为A2B，所以 sinAsin 2B2sinBcosB.由正、余弦定理得a2ba2c2b22ac.因为b3，c1，所以a212，a2 3.(2)由余弦定理得 cosAb2c2a22bc9112613.由于 0A，所以 sinA 1cos2A1192 23.故 sinA4 sinAcos4cosAsin42 232213 224 26.13(20 xx北京，15)在ABC中，a3，b2 6，B2A.(1)求 cosA的值；(2)求c的值解(1)因为a3，b2 6，B2A，所以在ABC中，由正弦定理得3sinA2 6sin 2A.所以2sinAcosAsinA2 63.故 cosA63.(2)由(1)知，cosA63，所以 sinA 1cos2A33.又因为B2A，所以 cosB2cos2A113.所以 sinB 1cos2B2 23.在ABC中，sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB5 39.所以 casin Csin A5.