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一、一、 有理函数有理函数(yu l hn sh)的积分的积分有理函数(yu l hn sh):时,为假分式(fnsh);时,)(xR为真分式有理函数相除多项式 + 真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和第1页/共19页第一页，共20页。例例1. 将下列真分式分解为部分将下列真分式分解为部分(b fen)分式分式 :解:(1) 用拼凑(pncu)法2) 1(1x2) 1(1x) 1( xx第2页/共19页第二页，共20页。(2) 用赋值法用赋值法故第3页/共19页第三页，共20页。(3) 混合法混合法原式 =第4页/共19页第四页，共20页。四种典型四种典型(dinxng)部分分式部分分式的积分的积分: 变分子(fnz)为 再分项积分(jfn) 第5页/共19页第五页，共20页。例例2. 求求解: 已知例1(3) 例1(3)第6页/共19页第六页，共20页。例例4. 求求解:说明: 将有理函数分解为部分(b fen)分式进行积分虽可行,但不一定(ydng)简便 , 因此要注意根据(gnj)被积函数的结构寻求简便的方法. 第7页/共19页第七页，共20页。例例5. 求求解: 原式第8页/共19页第八页，共20页。二二 、可化为有理函数的积分、可化为有理函数的积分(jfn)举例举例设表示(biosh)三角函数有理式 ,令万能(wnnng)代换(参考下页例7)t 的有理函数的积分1. 三角函数有理式的积分则第9页/共19页第九页，共20页。例例7. 求求解: 令则第10页/共19页第十页，共20页。212sinttx2211costtxttxd12d2第11页/共19页第十一页，共20页。例例8. 求求解: C说明(shumng): 通常求含的积分(jfn)时,往往(wngwng)更方便 .的有理式用代换第12页/共19页第十二页，共20页。2. 简单无理简单无理(wl)函数的函数的积分积分令令被积函数为简单根式(gnsh)的有理式 , 可通过根式(gnsh)代换 化为有理函数(yu l hn sh)的积分. 例如:令第13页/共19页第十三页，共20页。例例9. 求求解: 令则原式第14页/共19页第十四页，共20页。例例10. 求求解: 为去掉(q dio)被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的最小公倍数 6 ,则有原式C令第15页/共19页第十五页，共20页。例例11. 求求解: 令则原式第16页/共19页第十六页，共20页。内容内容(nirng)小结小结1. 可积函数(hnsh)的特殊类型有理函数(yu l hn sh)分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法 ,简便计算 .简便 , 第17页/共19页第十七页，共20页。思考(sko)与练习求不定积分(b dn j fn)解:令则, 故分母(fnm)次数较高,宜使用倒代换.第18页/共19页第十八页，共20页。感谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结一、 有理函数的积分。多项式 + 真分 式。例1. 将下列真分式分解为部分分式 :。解: 已知。例4. 求。说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,。解: 原式。t 的有理函数的积分。被积函数为简单(jindn)根式的有理式 , 可通过根式代换。解: 令。最小公倍数 6 ,。第18页/共19页。感谢您的观看。第19页/共19页第二十页，共20页。
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