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4.3对数核心知识目标核心素养目标1. 理解对数的概念和基本性质，知道自然对数和常用对数.2. 理解并掌握对数的运算性质和对数的换底公式.3. 能运用对数的运算性质和对数的换底公式进行化简、求值和证明.4.通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.1. 通过对数的概念和基本性质的学习，达成数学抽象、逻辑推理的核心素养.2. 通过对数的运算性质和对数的换底公式的应用，发展逻辑推理、数学运算的核心素养.4.3.1对数的概念途冥识探究素弟启_迪_情境导入对数的概念，首先是由苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier,1550-1617)提出的.那时候天文学是热门学科.可是由于数学的局限性，天文学家不得不花费很大精力去计算那些繁杂的“天文数字”，浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间.纳皮尔也是一位天文爱好者，他感到，“没有什么会比数学的演算更加令人烦恼诸如一些大数的乘、除、平方、立方、开方因此我开始考虑怎样才能排除这些障碍”经过20年潜心研究大数的计算技术，他终于独立发明了对数，并于1614年出版的名著奇妙的对数定律说明书中阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数.探究:对数主要作用是什么？提示：简化运算.知识探究1.对数的概念实例某种细胞分裂时，由1个分裂成2个,2个分裂成4个,.问题1-1那么1个这样的细胞分裂x次得到细胞个数N是多少？分裂多少次得到细胞个数为8个,256个呢？提示:N=2,3次,8次.问题1-2如果己知细胞分裂后的个数N,如何求分裂次数呢？提示：由2,二N可知当N已知时,x的值即为分裂次数.梳理1对数的概念若ax=N(a0,且&尹1),则x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.ax=Nx=logaN.(3)常用对数：以10为底，记作lgN.自然对数：以无理数e2.71828为底，记作InN.2. 对数的性质问题2-1对数的概念中，真数N需满足什么条件?为什么？提示:真数N需满足N0.由对数的定义:a=N(a0,且a尹1),则总有N0,所以转化为对数式x=logaN时,不存在NWO的情况.问题2-2对数的概念中，如果N=l,x的值是多少?N=a时呢？提示：x=0,x=l.问题2-3对数与指数之间有怎样的关系？提示:等价关系，即当a0,且a71时,ax=Nx=logi(N.问题2-4如果将对数式x=logitN代入到指数式ax=N中会得到哪个式子？提示:好5梳理2对数的性质及对数的恒等式(1)负数和0没有对数.logJO.(3)logaa=l.*0gaN=N.小试身手1.下列说法正确的是(D)根据对数的定义，因为(-2)顷6,所以log(-2)16=4(A) 对数式log32与log23的意义一样因为1;-1,所以logil=a(B) lg10+lne=2解析：因为对数的底数a应满足a0且所以A错；log32表示以3为底2的对数,log23表示以2为底3的对数，所以B错;因为对数的底数a应满足a0且al,所以C错；由常用对数和自然对数定义知lg10=1,Ine=l,故D正确.2. 若2%b,则下列说法正确的是(B)a=logb2(B)a=log2b(C)2二log!(D)2=logba解析:将指数式2b化为对数式，得a=logh故选B.3. 若logx8=3,则x=解析：由指对互化知x3=8,所以x=2.答案：231O832+Iog2l+Iog55=.解析:因为3log32=2,log2l=0,log55=l,所以原式二2+1=3.答案：3遍课堂探究素一心有.三Q探究点一对数的概念探究角度1对数式与指数式的互化例1将下列对(或指)数式化成指(或对)数式.logx=3;log64二-6;(3)3三;(4)(；)x=16.94解:(1)因为log归x=3,所以(V3)3=x.因为logx64=-6,所以x令二64.因为3-号,所以1崂-2.因为(，=16,所以logil6=x.即时训练IT:利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值.log2x=-i;logx25=2;(3)log5x2=2;(4)2典34.解：由log2x=-|,得2二x,所以X=y.由logx25=2,得x2=25.因为x0,且x尹1,所以x=5.由log5x2=2,得x2=52,所以x=5.因为5250,(-5)=250,所以x=5或x=-5.由21O83X=4=22,得log3x=2,所以x=32,即x=9.孑方法总结(1)利用对数与指数间的互化关系时,要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的.并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(-3)9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a0,a乂1且N0时，才有a=Nx=logaN.(3)求对数式中x的值,可将对数式化成指数式建立x的方程求画探究角度2对数的底数、真数概念的理解例2求下列各式中x的取值范围.(l)log(2x+1)(x+2);军5).(x+20,(工_2,解：(1)由题意得2x4-10,B|J-；且x/0.所以X的取值范围是x|x-：且X0.(XA1,根据题意得n即1-，(2x+50,2I%0.解得x0且x尹1.所以X的取值范围是(x|x0且xHl.即时训练2T:求下列各式中x的取值范围.(1) lg(x+2T;(2)log(i-2x)(3x+2).解：由(x+2)20得x-2,故x的取值范围是(x|xeR且x乂2.3%+20,由1-2%0,解得-x-KxNO,1-2%尹1,32所以X的取值范围是(x|-|x,所以f(2+log23)=22+lo3=222,O3=4X3=12.答案：12孑方法总结形如*0gaN所子可直接利用对数恒等式片。ga牛N求解(此处a0且al,N0).课堂达标1. (多选题)下列指数式与对数式互化正确的有(ACD)e=l与In1=0(A) log39=2与938与三与1ogs|=-i(B) log?7=l与7=7解析:对于A:e=l可化为0=In1,所以A正确；对于B:log39=2可化为32=9,所以B不正确；对于C:8土:可化为log-i所以C正确；对于D:log77=l可化为7*=7,所以D正确.故选ACD.2. 若x=logil6,则x等于(A)2(A)-4(B)-3(03(D)4解析:由)x=16知x=-4.故选A.3. 在M=log3(x2-x-6)中，要使式子有意义,x的取值范围是.解析：由题意,x2-x-60,解得x3.答案：xx3)计算:2log23+21og31-31og77+31n1=.解析：原式二3+2X0-3X1+3X0=0.答案：0
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