浅谈直线的参数方程及其应用

浅谈直线的参数方程及其应用1、相关定义1.1、单参数量子群的一些基本概念 2.3.1 单参数量子群的定义2.3.1 单参数量子群的定义 设g 是复半单李代数, 是g 的根系. 假设F 是特征不为2 的域(有时要假设F 是 特征不为3 的域). 令q 是一个固定的不为零的复数, 并对任意的 , 有q2d= 1, 其 中d = (,2) 1,2,3. 记 的基为. 对任意的 , 我们定义30 q = qd = q (,) 2 , 定义q 整数a 为 aq = qqa ? qq?1a = qad ? q?ad qd?q?d . 定义aq! = aqa ? 1q 1q ,nmq =mq !nnq?!mq!. 注意, 在根系为单边型的情形我 们通常可以简记q 为q. 单参数量子群Uq(g) 是域F 上由元素E,F,K 和K?1 生成的代数, 满足下面的定 义关系式: (R1) KK?1 = K?1 K = 1, KK = KK, (R2) KEK?1 = q(,)E, (R3) KFK?1 = q?(,)F, (R4) EF ? FE = qK?qK?1?1 , (R5) s1=?a0 (?1)ss1?a E1?a?s EEs = 0, (R6) s1=?a0 (?1)ss1?a F1?a?s FFs = 0. 其中 和 为 中的任意元, a = 2(,)/(,). 1.2、有关定义和定理 设 E 和 F 是实的或复的 Banach 空间,对于z 0 E 。和正数 ,以B ( z0 , ) 表示z 0 的 邻域 ,即满足z? z 0 j 1 ,如果 F 在z 0 满足B ( z0 , ) 的 k 阶 条件, - 7 - 则F 在z 0 一定满足B ( z0 , ) 的 j 阶 条件。 设 F 有零点 ,现在我们假设 F 在 满足B ( , ) 的 条件。对 z B( , ) ,令 = (F, z ) = z ? 定理 1.5 21 设= (F, z ) 1.3、垂直轴风力机旋转角定义 为了明确垂直轴风力机与来流的角度关系,定义了旋转角的概念,如图 2-4 所示。对于 直线翼垂直轴风力机,以其一个叶片为基准,旋转角是指该叶片中心点和转轴中心的连线与 来流在风力机旋转方向形成的夹角。对于 Savonius 风轮,同样以其一个叶片为基准,该半圆 形叶片端点和转轴中心的连线与来流在风力机旋转方向形成的夹角称其旋转角。而对于带阻 力风轮的直线翼垂直轴风力机,其旋转角将按照起主要的作用的直线翼垂直轴风力机部分来 计算。 图2-4 风力机旋转角示意图 Fig 2-4 Rotation angles of wind turbines 2.4动量理论和叶素理论 动量理论是由 William Rankime 在 1865 年提出的,该理论主要是用来描述作用在风力 机上的力与来流速度的关系,回答风力机究竟能从风的动能中转化成多少机械能。在利用动 量理论分析风力机做工的过程中,将流过风力机的气流看作是一个封闭的流管。当来流从远 处到达风力机的迎风面时,由于风力机对其阻碍作用,气流的压力上升,流速降低。当气流 通过风力机以后,由于风力机吸收了其中的能量,气流压力会出现突降,同时流速会进一步 12 降低。通过动量理论对风力机的性能进行分析可以分为理想模型和考虑风力机尾流旋转的模 型。理想的动量模型是在一些假定的理想条件中进行计算的,这些理想条件包括,气流是不 可压缩的均匀定常流、风力机可以简化成一个没有摩擦力的桨盘、风力机前后远方的静压力 相等。这样计算出来的风能利用系数最高为 0.593,这就是德国空气动力学家 Albert Betz 提 出的著名的贝兹极限46,47。 叶素理论是将风力机叶片沿高度方向分成许多微段,这些微段就称之为叶素。叶素可以 看做是一个二维翼型,直线翼风力机的叶片是由很多的叶素堆叠而成的。叶素可以作为研究 直线翼垂直轴风力机的基本受力单元,假设各个叶素之间的力相互没有干扰,这就是著名的 叶素理论48。 13 1.4、关于初中方程概念的研究 在前面 2.1.2 中,已经指出,不论是人教版教材还是中学数学百科全书, 方程的定义都是:含有未知数的等式叫做方程.但要注意:由于是分别建立在两 个不同的等式概念上的,因此,实质上这是两个并不完全相同的方程定义.在人 教版教材中,方程概念的外延是:含有未知数的恒等式和条件等式,而在中学 数学百科全书中,方程概念的外延是:含有未知数的恒等式、条件等式和矛盾 等式. 人们肯定要问:这样的两个不同的方程定义对学生的后续学习各有怎样的影 响呢? 客观地讲:对于中学数学而言,中学数学百科全书中的定义是严谨的.对 将来讨论”方程的解集”会带来叙述上的便利.比如下面的一个常见的方程: 解关于 x 的方程 ax=b.通常的解法是: 当 a0 且 b0 时,方程有唯一解 x= ab . 当 a=0,b0 时,因为此时方程为 0x=b,即左边为 0,而右边为非零数, 则方程无解. 当 a=0 且 b=0 时,因为此时方程为 0x=0,不论 x 为何值,都有左边= 右边,则方程有无数个解. 请注意第种情况,即当 a=0,b0 时,实际上此时对于中学数学百科 全书的方程定义来说,ax=b 是个矛盾方程.但对于人教版教材,便会出现了 解释上的尴尬:由于在等式概念中就没有矛盾等式,那么此时的 ax=b 连称之为 等式的资格都没有,就谈不上是方程了,就更谈不上有没有解的问题了. 那么,为什么人教版不定义矛盾等式呢?是从学生认知水平考虑的.前面已 经指出,初中生理解矛盾等式是困难的.教育数学的一个基本原则科学性应让位 于可接受性,必要的严谨性上的”退一步”,换取理解掌握基础知识上的”进两 步”. 还需指出的是:两种定义有一个共同的瑕疵:将恒等式纳入了方程集合.由 此产生了一个说不清的问题:比如,等式 x-x=0,是方程还是两个整式相减的 16 运算过程?我们很难界定.如果不承认它是方程,但它的确是”含有未知数的等 式”;如果承认它是方程,但这样只有形式化”空壳”的方程显然已远远背离了 当初产生方程的数学意义. 由于有上面所说的”漏洞”,对于这个定义的质疑声也一直不断,于是,就 产生了一些修改的意见. 一种意见是针对过于形式化的,一些数学教育界的知名人士主张从突出方程 思想的本质角度去定义方程.具有代表性的是张奠宙先生所给出的体现方程思想 的定义(华东师范大学出版社中学数学研究M.高等教育出版社,2006 年 第 1 版 64 页):”方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的一种等式 关系”. 还有一种意见是将方程的定义改为:含有未知数的条件等式叫做方程. 这个定义与现行中学的方程定义的区别在于将方程限定为”条件等式”.好 处是:按此定义 x-x=0 这类含有未知数的恒等式就不属于方程之列了. 但问题也接踵而来,像x2+1 = 0 这样的等式就不好界定是不是方程了.在实 数范围内x2+1 = 0 是矛盾等式,在复数范围内x2+1 = 0 是条件等式.按照”含 有未知数的条件等式叫做方程”的定义,就出现x2+1 = 0 在实数范围内不是方程, 而在复数范围内又是方程的情况,容易造成混乱. 1.5、关于初中方程概念的界定 2.1.1 关于”等式”的概念2.1.1 关于”等式”的概念 要想深入研究上述方程定义,就必须进一步追溯”等式”的概念.因为方程 的定义是建立在”等式”概念之上的. 下面是较有代表性的两个关于等式的定义: (1)人教社初级中学代数课本第 1 册 82 年第 1 版中的等式定义 “看下面的式子: 1+2=3; a+b=b+a; S=ab; 4+x=7. 像这种表示相等关系的式子,叫做等式.” (2)数学辞典中的等式概念 我国著名数学教育家曹才翰先生主编的中学数学百科全书(沈阳出版社, 1991 年)关于”等式”词条的阐述是: “用等号把两个解析式连接起来,所得的式子. 若用 f (x,y, ,z),g (x,y, ,z)分别表示两个解析式(特别情形是数), 则 f (x,y, ,z)=g (x,y, ,z) 就是一个等式. 等式只是按照形式来定义,又可分为恒等式、条件等式及矛盾等式.例如下 面所列的式子都是等式:(x+y)(x-y)=x2-y2,5x-9=3x-3,x? 1 =-1,它 们分别属于恒等式、条件等式和矛盾等式.” 不难看出:这两个关于等式的定义,明显的区别是对于矛盾等式的认可问 题.即人教版的”等式”是分为两类的:恒等式和条件等式;而中学数学百科 全书的”等式”是分为三类的:恒等式、条件等式和矛盾等式. 1.6、关于等式、方程概念的研究 3.1.1 关于等式概念的研究3.1.1 关于等式概念的研究 我们不能不思考的一个问题是:人教版教材的编者真的不知道矛盾等式吗? 为什么要避而不谈矛盾等式呢? 笔者认为: (1)可能是认为在初中阶段没有必要给出矛盾等式概念. 中学方程教学的核心内容是解方程,而不是怎么定义方程.上述定义过程显 然是繁难的.为了定义方程,需要先定义等式,而等式概念又派生出恒等式、条 件等式、矛盾等式三个概念.而这三个概念仅仅是为严格定义方程而产生的,对 后续的数学学习再没有进一步的意义. 前面已经指出当前的初中教材没有定义等式概念,更谈不上恒等式、条件等 式、矛盾等式的概念,就是当前我国高中的数学教材中也没有这三个概念,只有 将来升大学后学习数学专业的学生才才能接触到它们. (2)考虑初中生不易理解,从而对等式概念做淡化处理. 对于初中生来说,理解矛盾等式概念是非常困难的.关于这个问题,笔者做 了两个调查. 第 1 个调查的目的是:了解学生在学习上述等式概念过程中的掌握程度.只 选择了一名数学基础较好但不是数学竞赛生的学生,采用谈话方式进行教学.以 便能够及时反馈每一阶段他对等式概念的理解状态. 第 2 个调查的目的是:了解学生学习上述等式概念一年后,是否能形成长时 记忆.在教育教育心理学中记忆分为机械记忆和理解记忆.在数学学习中,一般 说来,理解记忆容易形成长时记忆. 调查 1: 师:你知道什么叫等式吗? 生: (似乎一时说不清) 师:一时说不上来没关系,可以举出几个你认为是等式的例子. 生:比如 1=1,2=2,等等. 师:还能举出一些吗? 生:1+3=1+3,a+b=b+a. 师:x+1=3 是不是等式? 14 生:是. 师:2=3 是不是等式? 生:不是. 师:为什么你认为不是? 生:因为 2 与 3 是不相等的. 师:按照你的想法,我们再来看看 x+1=3,如果取 x=1,x+1=3 还是不 是等式了? 生:不是. 师:那 x+1=3 究竟是不是等式呢? 生: (思考片刻后),有时是,有时不是.取 x=2 时是等式,取其它值 时不是. 师:如果我们定义,凡是用等号连接的式子就是等式,而不管两边的值是否 相等,2=3 还是不是等式呢? 生: (迟疑),那就是了吧? 师:像 2=3 这样的等式称为矛盾等式,而 x+1=3 这样的等式称为条件等 式. 接着教师追问一句:你认可这样定义吗? 生:不认可,明明不相等,为什么还非要说是等式?应该是 23 才正确. 从上面的对话我们可以看出: 1.初一学生对于等式的”原生态”认知是从等号的概念从发,认为既然用 等号连接,那么被连接两个代数式的值就应该是相等的. 2.即使教师给出了等式的定义,纠正了学生原有对等式的狭隘认知,学生 不得不按定义承认 2=3 是等式了,但并未真正理解,从而也不认可. 3.学生将命题的陈述与命题的真伪混淆了. 4.学生不理解为什么要这样定义,这样定义的意义在哪里?或者说好处是 什么?而这个问题并不是三言两语能讲清楚的,不可能在初中阶段讲给学生. 调查 2: 为研究初中学生将”2=3”定义为等式的认可程度,笔者曾对 11 个初三学 生做了一个调查. 将下面的一道填空题插在为他们准备的一张复习方程的练习卷子中: 下列各式:2=2,a2+2ab+b2,5-2=3,a+b=b+a,2=3, s = vt , a + 1 = 3 , 其 中 是 等 式 的 有 ( 只 填 写 序 号 即 可) . 笔者之所以选择对初三学生进行调查,是考虑他们已经过近三年的初中学 15 习,数学理解能力已经有了长足的进步.而且这 11 名学生都是数学学科的上等 生,在初二的数学竞赛辅导中,教师曾讲过等式的分类,讲了恒等式、条件等式、 矛盾等式的概念.但间隔一年后在本次调查中只有 3 名同学认为 2=3 是等式, 其余 8 名都忘记了,又回到了小学毕业时对等式的认知水平.这再次印证:不理 解的知识很难在学生的头脑中形成长时记忆.进一步的结论应是多数初中生的抽 象思维还没有达到理解”2=3 是等式”的水平.过早地将超出学生理解水平的 知识,是无效教学. 1.7、单一业务参数定义方法 目前对于新业务开发时的参数定义方法,已有一些组织和企业对此 进行了研究并且提出了GB923标准文档9,该文档分以下6步开发新业务 参数。 (1) 分析并列举用户使用这个业务可能会有哪些操作。 (2) 对每一个操作划分出更细的事务基线。 (3) 分析业务拓扑,即确定 SP 和 NP 以及 NP 与 NP 之间的关系 。 (4) 建立事务矩阵,矩阵的列为各个操作的业务基线,矩阵的行 为业务拓扑。 (5) 从可靠性、可接入性、及时性、可保持性的角度开发 KQI 参数,将步骤 2 的各事务基线的参数分解到步骤 3 中拓扑的各段。 (6) 确定各个 KQI 参数的监测方法。 该方法不足之处是开发出来的KQI参数具有专业性,对于客户来说 不容易理解,因此本文加入了客户易感知的PKQI参数的开发;另外, 服务提供商或者网络提供商并不能直接获得与其不相邻的网络质量,因 此当服务提供商在开发参数的时候不需要考虑业务拓扑,而在开发KPI 参数的时候需要考虑网络异构性。因此本文按照以下几步进行开发新业 务的参数。 (1) 分析业务使用场景,对于每一个使用场景结合服务/技术相 关性和服务统计视角两个纬度,从用户感知角度制定 PKQI 参数。用户 感知角度中服务/技术无关的参数可以从业务可用性方面考虑;服务相 关的参数可以从对业务质量的满意度和对事务处理的效率等方面考虑 。 (2) 分析业务基本场景,对于每一个基本场景结合服务/技术相 关性和服务统计视角两个纬度,针对不同业务的特性制定 SKQI 参数。 其中服务/技术无关的参数可以从业务可接入性、业务可保持性和业务 12 第二章 SLAM 系统管理的实体分析 可靠性三个方面考虑;服务相关的参数可以从业务及时性、业务品质两 个方面考虑。 (3) 分析网络拓扑,即分析网络异构性,根据不同的网络和网络 中的设备结合服务/技术相关性和服务统计视角两个纬度制定相应的 KPI 参数,该类参数在服务/技术相关性纬度中称为技术相关性参数。该 类参数包括网络相关性参数和设备相关性参数两种。网络相关性根据网 络的异构性进行开发,网络异构性指业务运营在什么类型网络上,可以 是 IP 网络、ATM 网络、帧中继网络等中的一种或几种,因此可以从这 几种网络考虑开发参数;设备相关性则是从网络设备和支撑业务运营的 所有服务器的性能方面考虑参数。 上述方法制定的参数既有易于客户感知的参数,也有技术人员才可 以理解的参数,相对于GB923标准文档的方法,更易于客户参加业务的 管理,使服务提供商更好的管理业务和获得更多的效益,从而在与其他 提供商的竞争中占有优势。由于业务之间有相关性,它们包含的参数既 有共性参数,也有特性参数,为了避免共性参数的重复开发,将在下一 小节阐述基于业务继承体系的参数开发。 1.8、螺纹分类及参数定义 螺纹按标准分类可以分为标准螺纹和特殊螺纹。其中标准螺纹可分为普通螺 纹、管螺纹、梯形螺纹、锯齿形螺纹等,具有通用性和互换性等特点,广泛应用 于各种工业场合,而特殊螺纹(如矩形螺纹、端面螺纹、变导程螺纹等)主要应 用于一些有特殊要求的机械结构中。螺纹按用途可分为连接螺纹、传动螺纹和密 封螺纹三大类。连接螺纹用于连接两个或多个零件,常见的由普通螺纹、管螺纹 等,是常用生产的标准件,其检测要求较低只要满足可旋合性以及连接可靠性即 可,使用范围广泛;而传动螺纹用于传递动力和运动,有梯形螺纹、矩形螺纹、 锯齿形螺纹等,这种螺纹传动要求传动精度高且平稳,如丝杆传动一般都采用梯 形螺纹,而千斤顶、扎钢机等设备一般采用锯齿形螺纹2。密封螺纹主要用于密封 场合,如液体输送管道、气体的密封等,如圆锥螺纹,主要用于钻探机械设备钻 杆的连接紧固密封,其具有良好的密封性,还具有自定心、装卸方便等功能。 螺纹是指在圆柱面(或者圆锥面)上,沿着螺旋线而形成的,具有相同剖面 的连续凸起和沟槽。螺纹外螺纹、内螺纹之分。螺纹参数是通过螺纹轴向剖面作 为设计依据和测量依据,外螺纹的几何参数定义如图 1-1 所示。 图 1-1 外螺纹的几何参数定义 (1)外螺纹大径(d ) 与外螺纹牙顶相切的假想圆柱或圆锥面的直径,也称 外螺纹顶径或公称直径。 3 (2)外螺纹小径(d 1 ) 与外螺纹牙底相切的假想圆柱或圆锥的直径,也称外 螺纹底径。 (3)外螺纹中径(d 2 ) 一个假想圆柱或圆锥的直径,该圆柱或圆锥的母线通 过牙型上沟槽和凸起宽度相等的地方,近似于螺纹的平均直径(d2(d + d1)/ 2 ) 。 (4)螺距(P) 相邻两牙在中经线上对应两点间的轴向距离。 (5)牙型角( ) 牙型角是指在螺纹轴线界面内,相邻牙型两侧面的夹角。 大多数螺纹的牙型角对称于轴线垂直线,即牙型半角(/ 2 )相等。在实际检测 中,既是牙型角( )准确,但牙型半角(/ 2 )有可能还是存在误差。因此, 牙型半角也是螺纹的重要参数,在测量螺纹参数时应进行单项测量。 以上几项参数是螺纹重要的几何参数,其中大径和小径是限制螺纹结构的参 数,要求不高,公差较大,而中径、螺距、牙型半角影响螺纹互换性和工作质量 的几何参数。如对精密螺纹,例如螺纹丝杠、螺纹量规产品等对这三项参数具有 非常严格的公差要求,需逐项检测。 在实际测量中,还经常会用到”单一中经”和”作用中径”参数。 (6)单一中径 一个假想圆柱或圆锥的直径。该圆柱或圆锥母线通过牙型上 沟槽宽度等于螺距的一半(P/2)地方,按照三针法检测螺纹的中经进行定义。螺 纹量规的止规主要检测螺纹单一中径值。当螺纹量规螺距没有误差时,单一中径 值等于中径值,如果螺纹螺距存在误差,则两者检测值就不同。单一中径示意图 如图 1-2 所示。 图 1-2 单一中径示意图 (7)作用中径 在螺纹规定旋合长度之内,被包容实际螺纹的一个假想螺纹 圆柱的中径,称为作用中径。假想螺纹包括螺纹基本牙型的螺距、牙型高度、牙 型半角,同时在牙底和牙顶之间留有一定间隙,以确保不会与实际螺纹的大径、 4 小径发生干涉现象,所以螺纹旋合时真真起作用就是作用中径。作用中径示意图 如图 1-3 所示。而对内螺纹来说,作用中径应小于单一中径;对于外螺纹而言,作 用中径应大于单一中径。 图 1-3 作用中径示意图 除此螺纹几何参数以外,还有原始三角形高度(H)、牙型高度( h1 )、螺纹升 角( )导程(S)等参数,也决定螺纹的互换性。 内螺纹几何参数定义与外螺纹几何参数定义类似,只是对大径和小径的定义 有所不同。 1.9、概念介绍 Mesa3D 实现了 OpenGL 的应用程序接口,它是一个三维的计算机图形库, 它在 MIT 许可证下实现源代码的开放,因此它是开源的。 OpenGL 和 Mesa3D 的不同之处在于:OpenGL 大多数是依赖于显示设备厂 商提供的硬件来进行实现,而 Mesa3D 是一个纯软件的图形应用程序接口。由 于许可证的原因,它只声称是一个”类似”于 OpenGL 的应用程序接口。由于 Mesa 3D的 API和OpenGL是完全相同的,针对详细的OpenGL的版本,经过浏 览 Mesa3D 的相关网站,我们通常这样认为:它就是 OpenGL 的软件模拟 GPU 光栅处理器的一个具体实现。 4 1.10、直线的概念及其审美特征现画家对画面的处理已不再是对景物的再现,而更多的是关注画面形 式本身的表现,其线条、色彩和结构的表现方式中更多的是直线的广泛运用。直线的强烈简化和直接表现 使画面富有独特的形式美感。本文通过例举西方现代绘画的主要流派及其代表画家和画作阐述现当代油画 中直线的表现运用情况,去探究其广泛运用的体现以及独特美感的凸现 1.11、直线的概念 点沿着同一方向连续移动就形成了直线。直线具有沿着笔直道路无止境前进的倾向,它的紧张 反映了无限运动的最简洁的形态。油画中的直线包括几何直线和近似直线,所谓的近似直线,就是 在描绘上相对几何直线更主观呈现弧度较小或近乎为零的线条,以及将曲线往硬朗平直性质处理的 线条,它和几何直线起着同样或类似的视觉效果。例如在现当代油画作品中把实物的曲型边线通过 油画笔触处理成硬朗的短直线或长直线,以此表现实物的力度或表达作者的审美取向。 2、相关背景2.1、历史背景及其研究意义应用数学物理问题中的数学以及计算数学在近 30 年 里成为快速发展领域34。因为它具有挑战性和新奇的方法,所以被许多工作者和国内外 学者青睐34。到目前为止,它与计算数学、应用数学、科学等学科相互渗透,成为一门 交叉学科34。数学反演问题在理论研究和实际应用两个方面有广泛的应用34。 所谓的数学物理正问题和数学物理反问题是相对的34。先前研究的相对完整的问 题是正问题,通常由过去、现在来预测未来,按一定的物理定律描述时空域中顺时针物 理变化过程;但反问题按一定的物理定律描述时空域中逆时针物理变化过程,同时反问 题和问题的不适定是密切相关的,也就是问题解的存在性、唯一性和稳定性,至少在三 个条件中有一个条件是不满足的34。正问题是线性的,良定的,往往反问题也是非线性 的,不适定的。 在解决问题的过程中,由于伴有广泛的不适定问题,我们必须寻找特别的、适当的 解决方法才能获得稳定的近似解34。到目前为止,这个数学物理方程反问题的求解方法 有很多的,举例来说,比如最佳摄动量法、脉冲频谱技术等各种正则化方法等34。 热传导方程参数反问题是数学物理参数反演的经典问题,参数可以是方程的传热 系数、扩散系数、初始边值条件和源项等等,参数是常数、依靠空间变量函数或依靠时 间变量函数等34。从边界条件中确定多个或单一未知参数是解决这类问题的方法34。本 文考虑的是热传导方程中的与空间变量有关的传热系数的反问题34。这种不适定性和非 线性反问题使求解过程的趋于复杂34。 2.2、课题背景中,自然界中很多问题的描述都可以归结为偏微分方 程问题,偏微分方程在实际问题与数学科学间起到了媒介的作用。因此我们 可以说,偏微分方程正问题的求解,即由因寻果的探索过程有利于人类认识 自然并改造大自然,为人类造福。偏微分方程的数值解1是解决偏微分方程 正问题的有力工具。然而,随着偏微分方程理论的不断发展,我们发现从”现 象”探索”本质”的过程要归结为偏微分方程反问题。 偏微分方程正问题的求解就是寻找满足定解初、边值条件的微分方程的 解。然而,实际应用中会出现与之相反的情况,如已知定解问题中的若干定 解条件和解的部分信息来确定方程的一系列系数,我们将这类问题称为偏微 分方程的反问题24。实际上,偏微分方程反问题的应用领域非常广阔,生 活中的很多实际问题都可以归结为偏微分方程反问题,因此,它来源于各种 实际背景,无论在理论研究还是实际应用方面其意义都非常重大5。 在当今社会的各个领域中,以待定未知参数这类反问题 68最常见,在 实际生活中求解待定未知参数有不同的途径可循,其中最明显、最直接的方 法是测量这些未知参数在一些离散点处的值。然而理论终究是理论,现实生 活中的很多不可控因素导致这些似乎简单明显的方法往往是不可行的,原因 有很多,比如这种测量是十分昂贵的(如资源勘探),这种测量是不可能的(如 不可破坏体的内部、高空、深海、地下 )等等,这时要想得到待求参数的 近似值,人们不得不转而去测量与待定参数有一定关系(一般是通过偏微分 方程联系着)的其它量在边界上的值或者其它可获得的信息作为附加条件, 然后结合偏微分方程正问题的一些已知条件去推断我们待求的参量,因此这 个实际问题求解的过程可以归结为一个偏微分方程反问题的求解。 由于抛物型偏微分方程在许多实际问题中具有十分广泛的应用价值,因 此,如何快速、准确地求解抛物型偏微分方程及其反问题成为本文研究的重 要核心。 上世纪 50 年代中期,仿生学得以创立和发展,人们从生物进化机理中得 到类似的启发,提出了许多能够处理复杂优化问题的新方法,比如有遗传算 法等。同理,蚁群算法最初是由意大利学者多里戈(Dorigo)、马聂佐 - 1 - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 (Maniezzo)等 9,102科研工作者于 1996 年首先提出来的,此算法是通过模 拟蚂蚁从巢穴寻找食物源的行为过程,然后联想到可以利用这种原理对实际 问题进行优化的新的启发式优化算法。同其它进化算法一样,它具有群体智 能算法的许多优越性11 ,并将该方法应用到旅行商问题(TSP) 12,13、指派 问题(Assignment Problem)14 、调度问题(Job-Shop) 15等问题中,蚁群 算法在这些问题中的应用都得到了很好的应用结果16,从而也说明蚁群算法 的可行性和优越性。 众所周知,在离散域空间中对离散问题的寻优,蚁群算法较之传统算法 的寻优能力非常突出、效果良好,但一般的优化函数并不是离散的,如大部 分的不适定问题17都是连续问题,因此,连续域空间的寻优也是蚁群算法应 用的领域之一,但是众多学者通过对连续域空间中寻优问题的研究,发现蚁 群算法在连续域空间中的寻优结果的确不如离散域中的寻优结果好,这说明 蚁群算法对连续域空间中的寻优能力仍存在一些欠缺18,也说明蚁群算法更 加适用于解决离散域空间中的优化问题,因此蚁群算法在连续域空间中的寻 优效果还有很大的空间值得进一步研究。 目前,蚁群算法在组合优化问题中具有较好的应用效果,在连续域空间 中的应用研究才刚刚起步,在抛物型方程参数反演方面的研究成果更少,因 此本课题的研究意义愈显重要。 本文首次尝试将蚁群算法应用到抛物型方程参数反演的问题中,期待得 到更好的效果。如何根据适当的附加信息求解抛物型方程的参数反演问题在 理论研究和工程实际应用方面均具有十分重要的意义。例如一维水质模型中 污染源的定位或污染强度问题可以归结为一维抛物型方程参数反演问题,二 维水质模型中横向扩散系数等的确定可以归结为二维抛物型方程的参数反演 问题,再如确定含水层非均质导水系数以及在传热中测定新型非均匀材料的 传导系数等也可以归为二维变系数抛物型方程参数反演问题。蚁群算法也适 用于其它类型的参数反演问题中,如椭圆型参数反演问题,双曲型参数反演 问题中等等,事实上,对于不同类型的参数反演问题,只要有相应的正问题 计算程序,就可以通过与蚁群算法相结合,形成蚁群参数反演计算模型。 2.3、研究背景拟动物神经网络行为特征,进行分布式并行信息处理的算法数学模 型.这种网络依靠系统的复杂程度,通过调整内部大量节点之间相互连接的关系,从而达到 处理信息的目的. 神经网络的研究兴起于19世纪40年代,神经生物学家W.Mcculloch和数理逻辑学家 Pitts合作,从人脑信息处理观点出发,采用建立模型的方法研究了脑细胞的动作和结构及其 生物神经元的一些基本生理特征,提出了第一神经模型一 MP模型.他们证明了神经元可模 拟为一简单的阈值装置进行逻辑操作.他们认识到了模拟大脑可以用于逻辑运行的网络,即 相互节点间的联系,组成了一个简单的神经网络模型.他们的贡献是为模拟人脑神经行为的 一些方面提供了可行性,进而开拓人们对神经网络的研究.这一革命性的思想对以后神经网 络的研究产生了巨大影响.1949年美国心理学家Hebb根据心理学中条件反射的机型,提出 了神经元间连接变化的规则,即Hebb规则.50年代Rosenblatt提出的感知器模型,60年 代Widrow提出的自适应线神经网络,以及80年代Hopifeld, Rumelharth等人富有开创性 的研究工作,有力地推动了人工神经网络研究的迅速发展. 人工神经网络是通过模拟人脑神经元的彼此作用动态来处理信息的.这是一个典型的 动力学系统.而人的大脑智慧就是一种非线性现象,人脑神经元处于激活或抑制二种不同状 态,这些行为在数学上表现为一种非线性关系.所以非线性就是它的基本特征.一般地,非 线性动力系统有四种行为:平衡点、周期运动、准周期运动和混纯.当系统中的参数发生变化 时,系统的一些基本定性就会发生变化,(如由周期运动变为非周期运动),这就代表着系统发 生了分叉,我们分析动力系统的分叉行为,可以了解到系统复杂行为产生的过程,同时发生 新的复杂现象,并由此来控制系统的动力学行为. 人工神经网络中的神经元的处理单元可以表示不一样的对象,如数字、图像、或一些具 有特定意义模式.人工神经网络在信息处理时,体现的是一种非程序化适应性.它的本质是 通过变更和与其相对应的动力学行为而得到的一种并行分布的信息处理功能.这个信息处 理功能在一定程度上是模仿我们人脑的神经系统的信息处理功能.具有阈值的神经元构成 的网络具有更好的性能,可以提高存储容量. 近年来,用以非线性大规模并行分布处理的人工神经网络方面的研究得到了多方面学 者和科研人员的关注,并且取得了一定的成果.神经网络的研究内容具有多学科交叉领域的 1 石页士学位毕业论文 2 特点,神经网络的应用对象或研究对象有模式识别、计算机科学、信号处理、微电子学、人 工智能、自动控制知识工程、专家系统、优化组合、机器人控制、生理学、脑科学、心理学、 解剖学、病理学等等一些学科领域.基于人工神经网络它具有广泛的交叉学科特点为了各个 学科的发展需要,对试图模拟描绘人脑的卓越功能人们表现出了浓厚兴趣.作为数学学科,我 们要研究人工神经网络的复杂的非线性现象. 虽然近十几年来,在人工智能方面的研究有了很大进步,但是在模拟人脑的分类、联想、 归纳总结,自适应等多方面能力依然存在着大量困难,耳神经网络在上述所提到的一些方面 则表现出了非凡的潜力. 神经网络的动力学行为是应用和设计的基础.见于神经网络中神经元之间的传递过程 对时间的实际需要的考虑,用来定义和描述神经网络的微分、差分方程模型理应是时滞微 分、差分方程系统.AgarwaL zhou May以及Li等人对差分方程解的吸引性、周期性、振动 性、渐进性等方面作出了研究,这些问题的详细研究可参阅文献1 - 18丨及其参考文献. 综上所述,用非线性动力学理论来研究人工神经网络的长期动力学行为,找到其内在的 规律性,提高人们对人工神经网路的动力学现象的正确认识和理解是一项十分有意义的工 作. 2.4、课题研究背景和意义动的方式主要有两种:一种是基于旋转电机 的间接驱动方式,一种是基于直线电机的直接驱动方式1。旋转电机驱动需要 外加将旋转运动转变为直线运动的机械传动装置,整个系统不仅体积较大、效 率和精度较低,而且存在转动惯量大、运动滞后、摩擦、振动、有噪声和磨损 等缺点2。而直线电机驱动,无需任何的中间机械传动装置3,直接将电能转变 为直线运动形式的机械能4,消除了机械传动链带来的一系列不良影响5,具有 结构简单、工作稳定、效率高、振动和噪声小等优点6。 长期以来,由于受到直线电机制造技术和控制技术的限制,直线电机在成 本和效率方面弱于旋转电机,因此旋转电机间接驱动一直占据着主导。但随着 电力电子技术和自动控制技术的发展,旋转电机驱动已经远不能满足现代控制 系统对速度、加速度和定位精度的控制要求7。为此,近年来世界许多国家都 开始研究、发展和应用直线电机8, 9,使得直线电机的制造和控制技术得到了飞 速发展10, 11,不仅新产品直线电机层出不穷,而且直线电机的应用也越来越广 泛,目前直线电机已应用于工业、交通、军事、医疗和日常生活等多个领域12, 13。 由于直线电机直接驱动具有传统旋转电机驱动无法比拟的优势,因而成为未来 高精数控领域的发展趋势。 国外对直线电机及其伺服控制的研究开始较早,技术上已趋成熟,现正处 于应用阶段14。直线电机的市场也基本被国外著名的直线电机公司所垄断,他 们的产品技术成熟、种类丰富,但是价格非常昂贵。而我国在这方面的研究开 始较晚,无论产品的性能、品种,还是直线电机的应用都还处于起步阶段,与 国外发达国家相比差距很大。而且直线电机的关键技术被世界各国都视为核心 机密,很难从 Internet 网上和科技文献中获得,因此研究直线电机直接驱动的关 键技术具有非常重要的理论意义和应用价值。 2.5、课题研究的背景 直线电机可将电能直接转换成直线运动的机械能,不需中间任何转换装置。直线 形式的运动路径在许多工业领域被广泛应用。然而令人遗憾的是,过去长期以来直线 运动一直借助带有机械变换环节的旋转电机得以实现1,而直线电机能够直接产生直 线运动,此种”零传动”方式的系统结构消除了中间环节的定位误差,具有高精、高 速、响应快的优势2。 在工业自动化领域中,直线电机被广泛应用在机械设备和数控机床中,如直线电 机驱动的压铸机、电磁锤和机械加工机床中用于往复运动的动力源直线电磁驱动装置 等3。 在交通运输业中,例如,直线电机在磁悬浮列车方面的应用4,其高速,低噪音, 环保,经济和舒适等特点,将实现交通运输技术的一个很大的突破。2003 年 1 月 4 日,中国上海正式开始了世界上第一条商业运营的磁悬浮列车专线。除此之外,还有 直线电机驱动的电磁推进器、高速电动车、地铁等。 在民用与建筑业方面,如:日常生活中人们经常使用的门窗、餐桌、洗衣机、晾 衣架、电动工具等电器产品均可使用直线电机驱动。直线电机驱动的磁悬浮电梯机械 结构简单,具有安全可靠、高速、稳定、低噪音、低能耗等性能,还能实现单井道多 轿厢的运输模式,是一种适用于楼宇用梯、发射平台及太空电梯等载人、载物的优秀 运输设备。 1 沈阳工业大学硕士学位论文 在办公自动化当中,如打印机、数字扫描仪都采用了直线电机驱动,使得数字扫 描仪启动推力高、图像波动小、扫描速度快。此外,直线电机也广泛应用于办公设备 中的绘图仪、笔式记录仪等。 在军事与医疗等方面,目前国外已将直线电机应用到火箭、导弹、军用靶场、以 及卫星和宇宙飞船等航空航天领域,电磁炮就是将直线电机用在军事上的典型代表, 其作为一种直线加速运动的炮弹,大大提高了弹丸的速度和射程。在 1980 年,美国 西屋公司为”星球大战”建造的实验电磁炮。它把质量为 300 克的炮弹加速到了每秒 约 4 千米。如果是在真空中,这个速度还可提高到每秒 810 千米,这已经超过了第 一宇宙速度,具备了作为一种新型航天发射装置的理论资格。在医疗仪器中,直线电 机驱动系统被应用到的 CT 和 MRI 机器的精确医疗影像运动控制和病人检查床移动 控制系统中,使诊断更精确、使病人更加安全舒适并且对医疗设备更加有利。 2.6、问题提出的背景教学提出了新的要求,教师和学生如何应对?中小学数 学课程标准指出:”义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面、持续、 和谐地发展。它不仅要考虑数学自身的特点,更应遵循学生学习数学的心理规律,强调 从学生已有的生活经验出发,让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与 应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多 方面得到进步和发展。”“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性 的, .有效的数学学习数学不能单纯地依赖模仿与记忆,动手实践、自主探索与合 作数学是学生学习数学的重要方式。 .学生的数学学习数学应当是一个生动活泼的、 主动的和富有个性的过程。” “教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事 数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学 知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人,教 师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”标准关于第三学段的课程目标指出: “经历从具体情景中抽象出符号的过程, 探索具体问题中的数量关系和变化规律, 并能运用代数式、方程 等进行描述。”从数学课程标准中我们不难看出,方程 应用题的学习是义务教育阶段学生学习的重点内容,并赋予其重要且深刻的内涵。 同样是数学应用题,从小学到中学,学习的方法和要求发生了本质的变化,教师和 学生又该如何面对?中小学的衔接小学阶段的应用题和初中阶段的应用题在呈现方式 上没有什么变化,但解决方式上却有本质的区别。小学阶段的应用题主要通过数的四则 运算来解决,而初中阶段则要求学生通过列方程来解决。由于考虑到学生对这种转变难 于适应,教材采取逐步在运算中加入字母来过渡的方法试图使学生逐步建立代数的意 识。并通过代数式的学习为学生顺利的列方程铺平道路,然后学习一元一次方程的概念 和解法,最后是一元一次方程应用题的学习。然而,实际的结果是,学生把解方程与解 应用题认为完全是不相干的两类问题,小学解应用题的思路根深蒂固,只有很少的学生 勉强接受老师传授的列方程解应用题的办法。即使是这一部分学生中,仍然有相当一部 分在列方程方面依然感到非常困难。再加上解方程本身的困难,还有部分学生即使列出 了方程也很难得出正确的结果。能正确解出方程的学生中仍然只有很少一部份会检验结 果的合理性,能完满解决应用题的学生在初一学生中只是为数极少的一部分。尽管也有 一部分的学生经过强化训练和后续的学习逐渐掌握了这一方法,但更多的学生却从此失 去了学习代数的信心,视应用题为畏途。 理论与实践的脱节,教师如何走出困境?理论的发展与实践的困境。 一元一次方程的应用是初中数学教学的一大难点。尽管心理学界和数学教育界针对 应用题进行了大量深入的研究,但这些研究成果或由于其研究的视角与侧重不同而显得 2 零散,或由于其过于宏观,难于对实际的教学产生直接有效的指导。学生面队丰富的问 题情景、复杂的问题表述、抽象的解体思路,常常感到力不从心,大量学生害怕并逃避 应用题的学习。教师由于数学素养的局限以及心理学与教学理论学识的不足,在面对这 一复杂的教学内容时,只能是按照以往的教学习惯,大搞题海战术,对各类考题分类讲 解,反复练习。教师辛苦,学生厌烦。 2.7、背景简介率都是风险理论研究的重点。 从 1903 年, F. Lundberg 引入复合泊松过程索赔模型以来,人们对破产概率做了大量工作。Asmussen1 已经得出如果索赔额有指数阶距,破产概率将会随着初始财富指数阶减少。 Schimidli2考虑了索赔具有次指数分布的情形下,在最优投资策略下破产概 率的渐进性质及渐进变化率。进一步的,Grandits 和 Schachermayer3考虑了 在容许股票投资条件下最优(最小)破产概率的渐进性质,也得到了破产概率 的指数控制上界。此外,效用函数也是研究者重点关注的内容之一。Ferguson4 推断最大化终止时刻指数效用与最小化破产概率是有紧密的内在联系的;沿着 这个方向,Browne5在不涉及债市投资情形下,验证了该假设。事实上,指 数效用在一定程度上,体现了人们的风险偏好,进而能够与破产概率建立紧密 的联系。Fernandez 等6详细讨论了运用随机控制技巧,去求解风险规避型效 用函数的最优投资策略,并求出了指数型效用函数的显式解。再以上提到的容 许股票投资的情形,股价都是假定满足几何布朗运动的。除了投资到股市,债 市也是人们降低破产风险,提高终止时刻效用函数的有效投资手段。当然,除 了上述两种手段,再保险是另外一种有效的降低风险的手段。此外,研究者也 在另外的角度研究破产概率:保险公司的盈余过程满足扩散运动。Promislow 等 7,Luo 等8以及 Hojgaard 等9考虑了在保险公司的盈余过程满足线 性扩散运动的情形下,保险公司采用再保险,股市投资以及债市投资等投资手 段或风险规避手段时,最小破产概率满足的 HJB 方程、一些特殊情形的解析解 以及数值解。 为了更好的描述经济行为以及经济周期,研究人员提出了很多新的改进, 其中一种改进是建立在经济环境满足马尔科夫性的基础之上的。2001 年, Jasiulewicz 10考虑了当经济环境具有 Markov 性质时,保险公司的破产概率。 在这个模型基础上,人们研究了消费投资问题,投资组合问题,衍生品定价, 破产概率,效用函数最优策略及最优分红策略等。在经济环境满足马尔科夫性 的情形下,Sotomayor 等11考虑了最优消费投资问题,Bauerle 等12和 2 Elliott 等13研究了最优投资组合的选择问题。Elliott 等14研究了一些衍 生品的风险测度;此外,Zhu 和 Yang 15理论上说明了在经济环境有马尔 科夫性质时,破产概率的可微性;NG 和 Yang16考虑了这种经济环境下, 破产时刻资产或赤字的概率分布; Lu 以及 Li17考虑了有状态转移情形下, 最优的障碍分红策略;Zhu 和 Yang18研究了这种经济环境下,采用障碍分 红策略的情形下,破产时刻,破产赤字以及破产时刻期望。当然,在经济环境 满足马尔科夫性质时,由于马尔科夫性,效用函数,破产概率以及赤字期望的 解析解的求解往往伴随着方程组的求解,进而给方程解析解的求解带来一定的 困难。 2.8、研究的背景 10 年了,我国基础教育阶段特别是九年义务阶段的数 学教学已经发生了很大的变化.从教师的教学理念的改变到教材的全面更新,其 变化范围之广,变化速度之快,都是史无前例的. 这些变化必然带来基础教育阶段数学教学研究的跟进,关于这方面的专著、 论文每年发行、发表的数量都很大.纵观这些文献,谈理念的多、谈教法的多、 谈学法的多,这是新课改后一个非常可喜得现象.但不能不看到,从教育数学的 角度出发,研究教材对于知识的呈现方式的文献不多;”一纲多本”下各不同版 本教材的比较研究不多;新课改前后教材的对比研究不多.这对于深入推进数学 课程的改革是不利的. 2.9、背景的迅猛发展,汽车越来越成为人类日常生活中必不可少的交 通工具。近年来,随着我国国民经济的迅猛发展,我国的汽车保有量增加很快。 据统计,截至 2009 年 6 月底,中国的汽车保有量为 69626031 辆,与 2008 年底 相比,增加了 4953978 辆,增长了 7.66%,同比增加了 8404281 辆,增长率为 13.73%;中国的摩托车保有量为 91226621 辆,与 2008 年底相比,增加了 1688846 辆,增长了 1.89%,与去年同期相比,增加了 2360213 辆,增长了 2.66%。在这 样的增长趋势下,城市交通承担了巨大的压力,城市环境也受到了很严重的影 响。 传 统 车 辆 以 及 新 能 源 车 辆 的 开 发 应 用 都 离 不 开 车 辆 行 驶 工 况 (DrivingCycles)的研究,符合实际道路行驶状况的车辆行驶工况能够为为车辆 参数的匹配以及控制策略的制定提供基础数据。开发车辆行驶工况的意义在于: 为考察某一类车辆在某一地区的排放水平或燃油消耗量提供检测依据;为车辆 设计的动力匹配提供参考依据;满足汽车检查/维护(Inspection/Maintenance) 等制度制定的需要。 第一个车辆行驶工况构建于 20 世纪 50 年代,欧洲美国澳大利亚和日 本等国家和地区都曾根据不同的影响因素构建出不同的车辆行驶工况。目前, 世界范围内被广泛使用的测试车辆排放的车辆行驶工况可分为 3 种:美国车辆 行驶工况(USDC)、欧洲车辆行驶工况(EDC)和日本车辆行驶工况(JDC)。以 美国 ECE 为代表的模态车辆行驶工况(NEDC)和以 FTP 为代表的瞬态车辆行驶 工况(FTP72)也被广泛采用 1 。与此同时,世界上很多其他国家和地区也都根 据本国和本地区的实际情况,以标准的形式提出不同车型的车辆行驶工况,如 美国联邦城市及高速公路循环(CVS-C/H),欧洲经济委员会的 ECE-R15 工况循 环,日本的 10-15 工况循环。 此外,许多个人也根据不同的参数和研究方法构建了许多车辆行驶工况, 研究了影响构建车辆行驶工况的因素。例如,瑞典人 Eva Ericssion 曾列出了 多个影响车辆行驶工况的因素,根据在城市交通中实际采集的车辆行驶工况数 据,来描述车辆行驶工况,并准确地分析了道路环境、驾驶员、交通条件等因 素对车辆行驶工况的影响 3 ; Andre 等在 1995 年研究了欧洲一些城市的平均 车辆行驶工况 5 。 国内对于车辆行驶工况的研究起步较晚,并且主要的研究工作集中在许多 的高校和科研院所中,也取得了许多研究成果,积累了很多宝贵经验。例如, 武汉理工大学的马志雄等应用动态聚类法研究了车辆行驶工况的构建 6 ;赵慧 - 2 - 等对香港城区的车辆行驶工况进行了研究 15 。 2.10、课题背景外还是在国内都是煤炭行业持续、稳定、健康发展的重要 保证,在生产力发展的今天安全生产对于国家建设越来越突显其重要地位和作用。 安全是煤炭生产的头等大事,对煤炭生产起着保证、支撑和推动作用,同时也是 国家安全生产的重要组成部分。 3、研究意义3.1、高中生学习极坐标系与参数方程的意义 2.2.1 学习极坐标系和参数方程发展学生数学思维能力2.2.1 学习极坐标系和参数方程发展学生数学思维能力 发展学生的数学思维能力是新课程对高中数学教师提出的要求之一,这也是高中数 学教育的一个基本目标。教学解题过程是个体的思维能力作用于教学活动的心理过程, 是思维活动16。解题是初等数学中一个极有生命力、极富独创性和充满诗情画意的工作 15。高中学生的解题能力反应了他们的数学思维能力的差异。在本专题的教学过程中要 7 关注学生的思维发展。 极坐标系利用生活中的物体方位引出极坐标系,类比与其它坐标系的异同,激发学 生的解决问题中发散思维。极坐标系和参数方程为学生重新认识直线、圆和圆锥曲线, 向量和复数知识解题思维方法提供一个新的视角,拓宽学生思维广度;激发学生的解决 问题中创新思维。在处理过定点的共线线段问题上,一般和角联系较多,用直角坐标系 没有它两个的直接关系式,只能通过较复杂的代数运算解决。而在极坐标系中极径与极 角的直接对应关系,为解决此类问题找到一个好工具,所以在教学的过程中,要适时的 引导学生发现这种线索。 如在唐山市2013-2014学年度高三年级第一学期期末考试试题中,已知圆 C: x 2 y2 4,直线 l : x y 2,以 O 为极点,X 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系, ()将圆 C 和直线方程转化为极坐标方程. ()P 是=l上的点,射 线 OP交 圆 C 于点 R,又点 Q 在 OP 上且满足OQ QP =OR2,当点 P 在 l上移动时,求点 Q 的轨迹的极坐标系方程. 分析:对第一问学生基本没有问题