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圆锥曲线与方程02三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q(I） 当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；(）当点P异于点B时，求证：为定值【答案】（）由已知得，解得，所以椭圆方程为椭圆的右焦点为，此时直线的方程为 ，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得 ，所以，故(）当直线与轴垂直时与题意不符设直线的方程为代入椭圆方程得解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又所以故为定值18已知双曲线C：的离心率为，且过点P（，1）求出此双曲线C的方程；【答案】19已知椭圆的中心在原点，焦点为F1，F2（0，），且离心率。 (I）求椭圆的方程；(II） 直线l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB中点的横坐标为，求直线l的斜率的取值范围。【答案】（I）设椭圆方程为 解得 a=3，所以b=1，故所求方程为 解得 又直线l与坐标轴不平行 故直线l斜率的取值范围是k20在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点.(1）求实数的取值范围；(2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.【答案】(2）设则由方程，知，又，由得.共线等价于将代入，解得 由知故不存在符合题意的常数21若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。(1)当m=1,c=2时，求证：OAOB； (2)若OAOB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。 (3)当OAOB时，试问OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。【答案】设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得可知y1+y2=2m y1y2=2c x1+x2=2m22c x1x2= c2,(1)当m=1,c=2时，x1x2 +y1y2=0 所以OAOB.(2)当OAOB时，x1x2 +y1y2=0 于是c2+2c=0 c=2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).(3)由题意AB的中点D(就是OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。而(m2c+)2(m2c)2+m2 = 由(2)知c=2 圆心到准线的距离大于半径,故OAB的外接圆与抛物线的准线相离。22如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，焦点为F（1，0）过抛物线在轴上方的不同两点、作抛物线的切线、，与轴分别交于、两点，且与交于点，直线与直线交于点(1） 求抛物线的标准方程；(2） 求证：轴；(3） 若直线与轴的交点恰为F（1，0），求证：直线过定点【答案】（1）设抛物线的标准方程为， 由题意，得，即 所以抛物线的标准方程为(2）设，且，由（），得，所以所以切线的方程为，即整理，得， 且C点坐标为同理得切线的方程为，且D点坐标为由消去，得 又直线的方程为， 直线的方程为 由消去，得
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