练习1物体的平衡问题

练习1物体的平衡问题一、知识点击物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态， 称为物体的平衡状态，简称 物体的平衡.物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、 具有固定转动轴的物体的平衡和一般 物体的平衡.当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力.物体在共点力作用下， 相对于地面处于静止或做匀速直线运动时， 称为共点力作用下物体的平衡.当物体在外力的作 用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平 衡当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡.解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问题，或一般物体的平 衡问题，首先把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件： 物体所受的合外力为零，即刀F = 0 (如果将力正交分解，平衡的条件为：刀 Fx =0、刀Fy=O); 或具有固定转动轴的物体的平衡条件：物体所受的合力矩为零，即刀M = 0;或一般物体的平衡条件：刀F = 0;刀M二0列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进 行求解.物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种.一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这 样的平衡叫做稳定平衡如图1 1 (a)中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的.二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大， 这样的平衡叫做不稳定平衡，如图 1 1(b )中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不 稳定平衡.三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1-1 ( C)中位于光滑水平板上的小球的平衡状态就是随遇的.从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；减少者为不 稳定平衡；不变者，为随遇平衡.如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有 最低的位置.不稳定平衡状态对应重力势能的极大值， 亦即物体的重心有最高的位置.随 遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变.、方法演练类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。例1.有一玩具跷板，如图1-2所示，试讨论它的稳定性(不考虑杆的质量).m【分析与解】假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一,本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个B角，贝U:在平衡位置，系统的重力势能为E(0)2(L I cos )mg当系统偏离平衡位置B角时，如图1-3所示，此时系统的重力势能为E( ) mgLcos I cos( ) mgLcos I cos( )2mgcos (L I cos )Ep E( )E(0) 2mg(cos 1)(L I cos )故只有当L I cos时，才是稳定平衡.例2.如图1-4所示，均匀杆长为a, 端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲面 上,且均处于Oxy平面内.如果要使杆子在该平面内为随遇平衡， 试求该曲面在Oxy平面 内的曲线方程.【分析与解】本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑 问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的质心不变，yc为常量。1又由于AB杆竖直时yc 討,那么B点的坐标为x a sina(1 cos )21 1 a acos2 2消去参数得x2(2 y a)2 a2类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。例3三个完全相同的圆柱体，如图1-6叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为卩，柱体与柱体之间的摩擦因数为卩，若系统处于平衡，卩与卩必须满足什么条件?【分析与解】这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题 设每个圆柱的重力均为G,首先隔离C球，受力分析如图1-7所示，由刀Fcy二0可得再隔留A球，受力分析如图1-8所示，由刀Fav=0得N2 G由刀Fax=0得1N102由刀Ea = 0得f1Rf2R由以上四式可得Ni 2 JG2 G2；321 3Ni-G，N2 -G2 2而 f20N 2， f1Ni类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力Ff与弹力Fn的合力凡与接触面法线方向的夹角B不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件在解题中 经常用到摩擦角的概念.例4.如图1-8所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为11和|2，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为 m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上.A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为卩-和叫且I- I2。试求和w在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离AB。圈【分析与解】本题解题的关键是首先根据物体的平衡条件，分析小环的受力情况得出小环的平衡条件Ff Fn，由图1-9可知Ff FT sin Fn Ft COStan展开讨定义 tan ,为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成为 论则解此题就方便多了 即由tan tan情况1: BC绳松弛的情况0=0,不论pi、垃为何值，一定平衡。情况2:二绳均张紧的情况（图1-10）A环不滑动的条件为：11，即 tan 1 tan 1于是有cos 11cos 1,二/an2 1 1sin 1 tan 1tan2 1 1sin又由图1-11知CD l1 cos 1 l2 cos 2sin 2. 1 cos2 21汕1122所以，若要A端不滑动，AB必须满足h 1AB l1 sin 1-i 12 sin 2.:, 1 1if12 1根据对称性，只要将上式中的下角标1、2对调，即可得出B端不滑动时,AB必须满足的条件为：AB I；2if1 2 1如果系统平衡，两式必须同时满足。从式可以看出,p可能取任意正值和零,当p1=0时，AB只能取最小值，此时01=0，12拉直但无张力。从式可以看出p 2的取值满足2杆不滑动的条件为Fm 0。由和可得出N1 Fmcos N sin(Mm)g N cos sincosN sin由此可得（M m）g cosN将中的N代人得 彳m l1cosM a由于Icos a，再考虑不等式，可得1 cosam - cos2 (cosM asin )为了在不等式中能同时满足最后两个不等号，就必须满足条件:cos (cos sin ) 1由此可得平衡条件为:tan ，如果 tan，就不可能出现平衡.例6.如图1-12,匀质杆长I，搁在半径为R的圆柱上，各接触面之间的摩擦因数均为卩，求平衡时杆与地面的夹角a应满足的关系.【分析与解】本题也是一个一般物体的平衡问题与 上题的区别在于没有固定转动轴，所以这个问 题的难点在于系统内有三个接触点，三个点上的 力都是静摩擦力，不知道哪个点最先发生移动.图 112我们先列出各物体的平衡方程：设杆和圆柱的重力分别为G1和G2对杆刀 Fx=0Ff3 + Ff2cos a=F N2Sin a刀 Mo=0GcosFN2 R cos 2 2对柱刀 Fx=0Ff1 + Ff2C0Sc=F N2Sin a刀 Fy=0F f2sin aG 2 + Fn2Coso=F N1刀 Mo=0F f1 =F f2刀 Mo =0Fn2+G 2=F N1刀 Fy = OFn3 + Fn2Cos aF f2sin aG 1以上七个方程中只有六个有效，由式可知，FniFn2,又因为Ffi =Ff2，所以一定是2 z处 比1处容易移动，再来比较2处和0 处(1)如果是2处先移动，必有Ff2= N2，代入式，可得tan?,将此结果代入式，即有匚GL (1F f32(sin cos )2R(1I 2)在这种情况下，如要Ff3 1，圆柱体A与地面接触点不发生滑动的条件为2 cos 2sin，两圆柱体接触不发生滑动的条件为卩cos3 ，圆柱体B的半径r的值各1 sin应满足的条件为R r 0.29R7.解：本题中六个物体，其中通过分析可知A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1 B1、A2B2、A3B3、A4B4、A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析、找出规律，求出通式即可.以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图1所示，第i个薄1、A2B2、A3B3、1、片受到前一个薄片向上的支持力Fm、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力F Ni 1 -选碗边B点为轴，根据力矩平衡有FNiLFNi 1 -，得FNi2F Ni 121111所以 Fn1 Fn2 2 ?Fn3（2）5Fn6再以A6B6为研究对象，受力情况如图2所示，A6B6受到薄片A5B5向上的支持力Fn6、碗边向上的支持力和后一 个薄片A1 B1向下的压力Fn1、质点向下的压力 mg。选 B6点为轴，根据力矩平衡有由联立，解得Fn142所以A1B1薄片对A6B6的压力为42&解：力的三角形图和几何三角形有联系，若两个三角形相似，则可以将力的 三角形与几何三角形联系起来，通过边边对应成比例求解.以小球为研究对象，进 行受力分析，如图所示，小球受重力mg、 绳的拉力Ft、大球的支持力Fn,重力mg与拉力Ft的合力与支持力 Fn平衡.观察图中的特点，可以看出力的矢量 三角形ABC与几何三角形 AOO相似，即：片 mgl h R，圈2mi所以绳的拉力:mg、FnRFtmgh Rlh RR mg h R9.解：找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿 过细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分成长短不等的两段，用细线拴住木块挂在直尺 较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽 量使两悬挂点相距远些），如图所示，设木块质量为 m,直尺质量为 M,记下两悬挂点在直尺上的读数 X2，弹簧测力计的示数 G,（m+ M） g= G ,小球对大球的压力:Fn Fnx1、由平衡条件和图中所设直尺的零刻度位置有m g (X2Xi)= M gL(2 X2)可解得：G ( L 2X2)2G (X2 X1)m=,、, M = zg ( L 2X1)g ( L 2X1)此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容，供参考，感谢您的配合和支持）I (12)FN3 G11 ( sin Cos )