代数方程变形导致增根失根的原因

目录摘要2ABSTRACT3弓I言4第一章解方程中产生增根的几种方程51.1分式方程的增根51.2无理方程的增根61.3三角方程的增根61.4对数函数的增根71.5产生增根的原因71.6增根的应用8第二章解方程中产生失根的几种方程9934整式方程的失根9934三角方程的失根9934对数方程的失根1.0934产生失根的原因1.0小结1.1参考文献1.1致谢1.2代数方程的变形导致增根失根的原因郭厚龙摘要从初等代数到高等代数的研究过程中，方程是研究问题的基础。如分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等等。而解方程的过程就是对代数的研究过程，尤其是代数方程，而代数方程在中学数学中的重要性不言而喻。解代数方程的过程中，由于定义域的范围可能改变，导致其所得的根可能不在其定义域的范围内，而不在其定义域内的根就是我们所说的增根。反之，在定义域内有解，但没有解出来的根就是失根。然而，增根与失根的问题却使老师和同学们在解方程的过程中患得患失，力不从心。那么，什么是增根与失根？产出增根与失根的原因是什么？本文将从解分式方程、无理方程、三角方程、整式方程、对数方程等方程的过程中产生增根与失根的现象出发，来分析代数方程变形导致增根与失根的原因。关键词：代数方程；增根；失根THEREASONFORTHATTHECHANGEOFTHEALGEBRAICEQUATIONLEADSTOINCREASINGROOTANDLOSINGROOTABSTRACTFromelementaryalgebratohighalgebra,thequestionofequationisthebases.Suchasfractionalequation、irrationalequation、trigonometricequation、ntegralexpression、logarithmicequationAndtheprocessresolvingequationistheprocessofresearchingalgebraicequation,especialalgebraicequation.Asweallknow,thealgebraicequationisveryimportant.Intheprocessofresolvingalgebraicequation,itispossiblethatthescopeofdomainofdefinitionchange,whichleadstoroooftisnotthescopeofdomainofdefinition,therootiscalledincreasingroot,oppositelywecallitlosingroot.However,thequestionofincreasingrootandlosingrootoftenmaketeachersandstudentsfeelitdifficult,then,whatisincreasingrootandlosingKeyword:algebraicequation,increasingroot,losingroot引言从小学到大学，每个学习阶段都有解方程的题。特别是在中学数学中,解方程几乎贯穿了整个中学数学的始终。无论是平时的月考、期末考，还是在中考、高考中，解方程已成为一种常考的题型和解决其它问题的工具。足可见出解方程在数学学习中的重要地位。然而，常常由于在解方程过程中产生增根与失根，让我们在面对这样的题时不能完全做对。本文将从分式方程的增根、无理方程的增根、三角方程的增根、对数方程的增根，整root?Whyproduceincreasingrootandlosingroot?Wewillanalysethereasonthatthechangeofthealgebraicequationleadstoincreasingrootandlosingrootfromresolvingfractionalequation、irrationalequation、trigonometricequation、ntegralexpression、logarithmicequation.式方程的失根、三角方程的失根、对数方程的失根出发，分析道出解方程过程中产生增根与失根的原因。第一章解方程中产生增根的几种方程1.1分式方程的增根对分式方程的解， 我们一般是通过在方程的两边同时乘以最简公分母， 将分式方程化为整式方程进行求解，在这过程中，看似每步都有理有据，但常常与答案稍有偏差，这究竟是答案有误？还是我们的求解欠佳？卜面我们通过一个例子来回答这个问题、121例 1:解方程-2x23x2x2x1一2解：方程两边同时乘以 x3xx3x2 2 得x x1 12x2x4242化简得；3x3x3 3解得：x x1 1上面的解法有理有据，然而，x x1 1 真的是原方程的根吗？把根x x1 1 代入原方程，我们看到，分母 x x10,10,因此，x x1 1 不是原方程的根，其实，在我们刚才的求解过程中，忽视了一个问题：方程两边同时乘以的式子不能为 0,0,即本题中的(x1)(x(x1)(x2)02)0 即 x1,xx1,x2,2,所以，解出得 x x1 1 不是方程的根，我们称其为原方程的增根.1.2无理方程的增根对无理方程的求解，我们常通过两边平方去根号来解方程，与分式方程中分母不为0的限制一样， 无理方程也有一个限制： 根号下的式子必须大于或等于0,那么，在解方程过程中，是否也会像分式方程一样，可能会产生增根呢？我们也通过一个例子来检验一下：例2：解方程 J2xJ2x23x x6 6x x22解:两边平万得 2xx2xx6 6x x移项整理得 x x2x x6060解得 x x3 3 或 x x2 2我们同样把 x x3 3、x x2 2 分别代入原方程知，当 x x2 2 时，方程变为22,这显然不对，即 x x2 2 不是原方程的根，这是为什么呢？在原方程中，左边含根号，故右边的x应大于或等于 0,0,故 x x2 2 只是原方程的增根。1.3三角方程的增根另一种在解方程过程中较易产生增根的方程是三角方程，下面我们也通过一个例子来说明和分析一下：网例3:解方程C0S2x0tanx解：由cos2x0得2周志刚.时代数学学习.2006(11)3朱伟卫数理天地2008(11)Xik4x2k(k)4在上面的解方程过程中，似乎也毫无破绽，但我们应该注意到，在正切函数中xk,同时，因分母不为0,所以xk,故所得的24解X2k是原方程的增根41.4对数函数的增根在解对数方程过程中， 因对数函数是单调函数， 故对形如logaf(x)loga9(x)(a0,a1)的方程我们用f(x)g(x)来求解方程，然而，在解方程过程中，我们常忽f(x),g(x)本身作为真数应大于0这个限制而导致所解方程出现增根。,244例 4 4：解方程lg(x5x6)lg(2x4)o解：根据同底数的两个对数式相等，其真数相等得：x x25x5x6 62x2x4 4即_x x23x3x2020解得 x1x1 或 x2x2与前面一样，我们吧所得的根代入原方程，则当 x x2 2 时，真数 2x2x40,40,这显然违反了对数的真数大于0的前提条件，故 x x2 2 不是原方程的根，而是其增根。1.5产生增根的原因现在我们根据上面的内容来分析在解方程过程中产生增根的原因：在例1中，对原方程，因分母不为0,故其未知数的取值范围为 x x1 1、x x2,2,而变形成整式方程后，未知数的取值范围扩大为全体实数 R,R,从而导致所得的根 X1X1 是其增根。在例2中，对原方程，因根号下的式子大于或等于 0,0,故其未知数的取值范围为 X2,X2,两边平方变形后未知数的取值范围扩大为全体实数 R,R,从而导致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。在例3中，原方程的取值范围为xk且X2k一,变形后未知数的取24值范围扩大为全体实数R,从而导致所得的根X2k2是原方程的增根；在例4中，因为对数的真数大于0,故其未知数的取值范围为 x x2,2,而根据对数的单调性去掉对数符号后，未知的取值范围扩大为全体实数 R,R,从而导致所得的根 x x2 2 是原方程的增根。从上面的分析中，我们不难发现代数方程变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了。1.6增根的应用我们解代数方程时，在变形过程中可能会因未知数的范围扩大而产生增根，然而，我们常常只去担心增根会导致方程不能完全解对，殊不知，增根却有着其极大的潜在作用：当我们已知方程的增根时，常可通过增根反解出原方程中的未知数字母的值。5例5若关于x的方程3匹22有增根 x x1 1,求a的值。xx1x1._.2_解：去分母整理得：(a2)x4x(a2)x4x3030因为原方程有增根 x x1,1,把 x x1 1 代入方程得，(a(a2)4302)430解得a=3方程的增根虽然不适合原方程，但却适合变形后的整式方程，这也是求字母系数的方法。第二章解方程中产生失根的几种方程2.1整式方程的失根我们在解整式方程时， 常会通过在方程的两边同时除以一个相同的代数式来化简方程，然而，在这过程中，很容易会失去原方程的根。例6解方程(x1)(x(x1)(x2)(2x3)(x(2x3)(x1)1)解：方程两边同时除以(x(x1)1)得x x2 22x2x3 3解得 x x1 1这个题简单易解，解题过程似乎也没有不对之处，可是，如果我们仔细观察一下原方程，就会发现 x x1 1 也是原方程的根，即我们在解方程过程中失去了根 x x1 1。2.2三角方程的失根在第二节中，我们知道，在解三角方程时，会因为变形中未知数的范围扩大而产生增根。其实，在解三角方程时，也很容易会使原方程失根。7例 7：解方程sinxcosx1cx,2x2tan-1tan一解：用代换sinx2,cosx2o2x2xtan1tan222tan2-方程可化为20tan2-解得：x2k-(k)2方程解到这里，似乎也该结束了，可是，我们把 xkxk 代入也满足原方程，即我们在解方程过程中失去了原方程的根 xkxk(k)06陆秀朋数学大世界(初中生数学辅导版)，2000(1)7邓念祖数学教学1956(2)对数方程的失根对于含形如的logjf(x)对数方程，我们常把 f(x)f(x)的指数n提到对数符号前面化简方程进行求解，在此过程中，是否会因为我们的考虑不周而失根呢？我们同样通过一个例子来验证一下。、,2网例8:解方程lgx2原方程变形为2lgx2即lgx1解得x10至耻匕，我们的方程解完了吗？如果我们把 x10 代入原方程，会发现x1他适合原方程，我们解方程过程中丢失了根x10。产生失根的原因现在我们也通过上面的内容来分析解方程过程中导致失根的原因：在例2中，原方程的取值范围是全体实数R,代换变形后在正切函数x中，-一k,即 x x 也，缩小了未知数x的取值范围，从而导致原22方程的根 xkxk 丢失了。在例3中，原方程的未知数的取值范围为 x x0,0,变形后，未知数的取值范围缩小为 x x0,0,从而导致原方程的根 x10 丢失了。然而，在例1中，变形前后未知数的取值范围均为全体实数，并未发生变化，只是在原方程的两边同时除以一个相同的含未知数的式子，同样也使原方程的根丢失了。从上面的分析中，我们看到，代数方程变形导致失根的原因有两种：第一、方程两边同时除以一个相同的含未知数的式子而导致失根。第二、变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。小结本文通过解各种形式的方程导致增根与失根的现象出发分析出代数方程变形导致增根与失根的原因。变形导致增根的原因是：变形后未知数的取值范围扩大了(不在定义域范围内或在定义域内而没有解出根)；变形导致失根的原因有两种：第一、方程两边同时除以一个含未知数的式子而导致失根。第二、变形后未知数的取值范围缩小而导致失根。参考文献1周志刚时代数学学习2006(3)2周志刚.时代数学学习.2006(11)3朱伟卫数理天地2008(11)4戴远伟数学学习与研究2010(15)5李小福时代数学学习2004(4)6陆秀朋数学大世界(初中生数学辅导版)，2000(1)7邓念祖数学教学1956(2)8数学学习与研究2010(15)附：数学通报1989(11)数学通报1956(04)数学教学通报2002(S8)数学教学通迅1983(06)数学教学通迅1998(01);湖州师范学院学报1981(S1)中学数学教学1992(05);中学生数学2002(10)致谢在写作本文时，得到了辛斌老师的大力支持和帮助，使本文的内容得到充实，完善，也使文章的逻辑性增强，使本文在写作过程中能够顺利进行，在此，真心的感谢辛斌老师。同时也感谢四年来培育我的母校一贵州师范大学。