数学第十一章 统计与统计案例 11.1 随机抽样

11.1随机抽样第十一章统计与统计案例基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.简单随机抽样简单随机抽样(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中 抽取n个个体作为样本(nN)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都 ，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.(2)最常用的简单随机抽样方法有两种 和 .(3)应用范围：总体个体数较少.知识梳理逐个不放回地相等抽签法随机数法2.系统抽样的步骤系统抽样的步骤一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.(1)先将总体的N个个体 ；(2)确定 ，对编号进行 .当 (n是样本容量)是整数时，取k ；(3)在第1段用 确定第一个个体编号l (lk)；(4)按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号 ，再加k得到第3个个体编号 ，依次进行下去，直到获取整个样本.编号分段间隔k简单随机抽样分段(lk)(l2k)3.分层抽样分层抽样(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成 的层，然后按照 ，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样.(2)分层抽样的应用范围：当总体是由 组成时，往往选用分层抽样的方法.互不交叉一定的比例差异明显的几个部分题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.()(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大.()(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样.()(5)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.()(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()基础自测123456题组二教材改编题组二教材改编2.P100A组T1在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是A.总体B.个体C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本答案解析123456123456解析解析由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3.P100A组T2某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，3549岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为A.33,34,33 B.25,56,19C.20,40,30 D.30,50,20解析答案123456解析解析因为12528095255619，所以抽取人数分别为25,56,19.4.P59T2某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号，29号，42号学生在样本中，那么样本中还有一个学生的学号是A.10 B.11 C.12 D.16答案解析123456解析解析从被抽中的3名学生的学号中可以看出学号间距为13，所以样本中还有一个学生的学号是16，故选D.题组三易错自纠题组三易错自纠5.从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32解析答案123456解析解析间隔距离为10，故可能的编号是3,13,23,33,43.6.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为_件.解析答案1234561 800解析解析分层抽样中各层的抽样比相同.样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件.在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为53，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件.123456题型分类深度剖析1.某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽到了4名男生，6名女生，则下列命题正确的是A.这次抽样中可能采用的是简单随机抽样B.这次抽样一定没有采用系统抽样C.这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D.这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率解析答案题型一简单随机抽样自主演练自主演练解析解析利用排除法求解.这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为120，女生编号为2150，间隔为5，依次抽取1号，6号，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误.解析解析由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.2.总体由编号为01,02，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为解析答案7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08 B.07 C.02 D.01解析答案3.利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为得n28，应用简单随机抽样应注意的问题(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀.一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.思维升华思维升华典例典例 (1)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：题型二系统抽样师生共研师生共研答案解析若将运动员按成绩由好到差编为135号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是A.3 B.4 C.5 D.6解析解析由题意知，将135号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间139,151内的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名.故选B.(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为A.11 B.12 C.13 D.14答案解析1.若本例(2)中条件不变，若号码“5”被抽到，那么号码“55”_被抽到.(填“能”或“不能”)引申探究引申探究不能答案解析解析解析若55被抽到，则55520n，n2.5，n不是整数.故不能被抽到.2.若本例(2)中条件不变，若在编号为481,720中抽取8人，则样本容量为_.28答案解析解析解析因为在编号481,720中共有720480240人，又在481,720中抽取8人，所以抽样比应为2408301，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为 28.(1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大.(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔.(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定.思维升华思维升华答案解析跟踪训练跟踪训练 将参加夏令营的600名学生按001,002，600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区，从001到300在第营区，从301到495在第营区，从496到600在第营区，则三个营区被抽中的人数依次为A.26,16,8 B.25,17,8C.25,16,9 D.24,17,9解析解析由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(kN*)组抽中的号码是312(k1).令312(k1)300，得k ，因此第营区被抽中的人数是25；令300312(k1)495，得 k42，因此第营区被抽中的人数是422517；第营区被抽中的人数为5025178.命题点命题点1求总体或样本容量求总体或样本容量典例典例 (1)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于A.9 B.10 C.12 D.13题型三分层抽样多维探究多维探究答案解析答案解析(2)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为357，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于A.54 B.90 C.45 D.126解得n90，即样本容量为90.A.90 B.100 C.180 D.300答案解析命题点命题点2求某层入样的个体数求某层入样的个体数典例典例 (1)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师的人数为类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300答案解析(2)(2017重庆一诊)我国古代数学专著九章算术中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣A.104人 B.108人C.112人 D.120人分层抽样问题类型及解题思路(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.思维升华思维升华答案解析跟踪训练跟踪训练 (1)(2017南昌一模)某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1 000人，高二1 200人，高三n人中抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n等于A.860 B.720C.1 020 D.1 040解析解析分层抽样是按比例抽样的，解得n1 040.答案解析(2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图和图所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_.200,20解析解析该地区中小学生总人数为3 5002 0004 50010 000，则样本容量为10 0002%200，其中抽取的高中生近视人数为20002%50%20.典例典例 (12分)某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：五审图表找规律审题路线审题路线图图人数管理技术开发营销生产共计老年40404080200中年80120160240600青年401602807201 200共计1603204801 0402 000审题路线图规范解答(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？(3)若要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解，则应怎样抽样？审题路线图审题路线图抽取40人调查身体状况(观察图表中的人数分类统计情况)样本人群应受年龄影响(表中老、中、青分类清楚，人数确定)要以老、中、青分层，用分层抽样要开一个25人的座谈会(讨论单位发展与薪金调整)样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样要抽20人调查对天津全运会举办情况的了解(可认为全运会是大众体育盛会，一个单位人员对情,况了解相当) 将单位人员看作一个整体(从表中数据看总人数为2 000)人员较多，可采用系统抽样规范解答规范解答解解(1)按老年、中年、青年分层用分层抽样法抽取， 1分故老年人、中年人、青年人各抽取4人，12人，24人. 4分(2)按管理、技术开发、营销、生产分层用分层抽样法抽取， 5分故管理、技术开发、营销、生产各部门分别抽取2人，4人，6人，13人.8分(3)用系统抽样，对全部2 000人随机编号，号码从00012000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，1 900，共20人组成一个样本. 12分课时作业1.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p1p3p2 D.p1p2p3基础保分练12345678910111213141516答案解析解析解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.2.打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体中抽取一个13张的样本，则这种抽样方法是A.系统抽样 B.分层抽样C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法解析答案12345678910111213141516解析解析符合系统抽样的特点，故选A.3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为 ，故选A.解析答案4.(2018晋城月考)将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000,001,002，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个样本编号为A.700 B.669 C.695 D.6761234567891011121314151612345678910111213141516解析解析由题意可知，第一组随机抽取的编号为015，分段间隔数k 20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个样本编号为15(351)20695.5.某工厂的一、二、三车间在11月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，则二车间生产的产品数为A.800 B.1 000C.1 200 D.1 500解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析因为a，b，c成等差数列，所以2bac，所以从二车间抽取的产品数占抽取产品总数的 ，根据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占产品总数的 ，所以二车间生产的产品数为3 600 1 200.故选C.6.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，60，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间1,450的人做问卷A，编号落入区间451,750的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为A.7 B.9 C.10 D.15解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析由系统抽样的特点知，抽取号码的间隔为 30，抽取的号码依次为9,39,69，939.落入区间451,750的有459,489，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729459(n1)30，解得n10.所以做问卷B的有10人.7.(2018湖南怀化模拟)某电视台为了调查“爸爸去哪儿”节目的收视率，现用分层抽样的方法从4 300人中抽取一个样本，这4 300人中青年人1 600人，且中年人人数是老年人人数的2倍，现根据年龄采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中青年人有320人，则抽取的样本中老年人的人数为A.90 B.180C.270 D.360解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析设老年人有x人，从中抽取y人，则1 6003x4 300，得x900，即老年人有900人，则 ，得y180.故选B.8.(2017雅礼中学月考)某中学教务处采用系统抽样方法，从学校高三年级全体1 000名学生中抽50名学生做学习状况问卷调查.现将1 000名学生从1到1000进行编号，求得间隔数k20，即分50组每组20人.在第一组中随机抽取一个号，如果抽到的是17号，则第8组中应抽取的号码是A.177 B.157C.417 D.367解析答案12345678910111213141516解析解析根据系统抽样的特点可知，抽取出的编号成首项为17，公差为20的等差数列，所以第8组应抽取的号码是17(81)20157.9.(2017江苏)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件.解析答案123456789101112131415161810.(2017潍坊模拟)某高中在校学生有2 000人.为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：解析答案12345678910111213141516高一年级高二年级高三年级跑步abc登山xyz其中abc235，全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为_.361234567891011121314151611.200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1200编号，分为40组，分别为15,610，196200，若第5组抽取号码为22，则第8组抽取号码为_.若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取_人.12345678910111213141516解析答案372012345678910111213141516解析解析将1200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为223537；由已知条件得，200名职工中40岁以下的职工人数为20050%100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则 ，解得x20.12.某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4556，则应从一年级本科生中抽取_名学生.12345678910111213141516解析答案6013.(2017宁夏中卫二模)某市教育主管部门为了全面了解2017届高三学生的学习情况，决定对该市参加2017年高三第一次全省统一考试(后称统考)的32所学校进行抽样调查.将参加统考的32所学校进行编号，依次为1到32，现用系统抽样法抽取8所学校进行调查，若抽到的最大编号为31，则最小编号是A.3 B.1 C.4 D.2技能提升练12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516解析解析根据系统抽样的特点可知，总体分成8组，组距为 4，若抽到的最大编号为31，则最小编号是3.14.某校共有学生2 000名，各年级男、女学生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为_.答案解析1234567891011121314151616一年级二年级三年级女生373XY男生377370Z解析解析由题意可知二年级女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2 000373377380370500，即总体中各个年级的人数比为332，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64 16.1234567891011121314151615.(2018泉州质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6人对户外运动持“喜欢”态度，有1人对户外运动持“不喜欢”态度，有3人对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有A.36人 B.30人C.24人 D.18人拓展冲刺练答案解析1234567891011121314151612345678910111213141516解析解析设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x,3x，由题意可得3xx12，x6，持“喜欢”态度的有6x36(人).16.(2017开封模拟)某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会.如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1人，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.解答1234567891011121314151612345678910111213141516解解总体容量为6121836.所以n应是6的倍数，36的约数，即n6,12,18.所以n只能取6，即样本容量n6.