江苏高考数学专题复习及答案(共138页)

精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 江苏高考数学专题复习 专题一 函数与导数 1 第 1 课时 函数的图象与性质 1 第 2 课时 导数及其应用 5 第 3 课时 函数与方程 8 第 4 课时 函数与导数的综合应用 10 专题二 三角函数与平面向量 14 第 1 课时 三角函数的图象与性质 14 第 2 课时 平面向量、解三角形 17 第 3 课时 三角函数与向量的综合问题 21 专题三 不等式 25 第 1 课时 基本不等式及其应用 25 第 2 课时 不等式的解法与三个“二次”的关系 29 专题四 数 列 31 第 1 课时 等差、等比数列 31 第 2 课时 数列的求和 34 第 3 课时 数列的综合应用 38 专题五 立体几何 42 第 1 课时 平行与垂直 42 第 2 课时 面积与体积 47 专题六 平面解析几何 52 第 1 课时 直线与圆 52 第 2 课时 圆锥曲线 56 第 3 课时 圆锥曲线的定点、定值问题 60 第 4 课时 圆锥曲线的范围问题 64 专题七 应用题 67 专题八 理科选修 72 第 1 课时 空间向量 72 第 2 课时 离散型随机变量的概率分布 76 第 3 课时 二项式定理 80 第 4 课时 数学归纳法 84 专题九 思想方法 88 第 1 课时 函数与方程思想 88 第 2 课时 数形结合思想 92 第 3 课时 分类讨论思想 95 第 4 课时 等价转化思想 98 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上， 对考生的理解能力、 计算能力、数学思想等方面要求较高. 第 1 课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016 江苏)函数 y 32xx2的定义域是_. 2.(2016 江苏)设 f( )x 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间)1，1 上，f( )x xa，1x025x ，0 x1)的图象上， 则实数 a 的值为_. 第 3 题图 4.(17 无锡一调)已知 f( )x 2x3，x0g( )x ，x0是奇函数，则 f()g()2_. 5.(17 无锡一调)若函数 f( )x 在m，n()mn 上的值域恰好是m，n ，则称m，n 为函数f( )x 的一个“等值映射区间”.下列函数： yx21， y2log2x， y2x1， y1x1，其中存在唯一一个“等值映射区间”的函数有_个. 6.(17 镇江一调)不等式 logaxln2x0，且a1 对任意 x()1，100 恒成立， 则实数 a的取值范围为_. 热点题型 题型 1_函数的图象与性质 【例 1】 (1)已知函数 yf( )x 是奇函数，当 x0 时，f( )x x24x，则不等式f( )x x 的解集为_. (2)已知函数 f(x)x22ax5()a1 . 若 f(x)的定义域和值域均是1，a ，求实数 a 的值； 若 f(x)在区间()，2 上是减函数，且对任意的 x1，x21，a1 ，总有|f（x1）f（x2） 4，求实数 a 的取值范围. 题型 2_函数图象的识别与应用 【例 2】 已知函数 y2x12x1与函数 yx1x的图象共有 k()kN*个公共点：A1()x1，y1，A2()x2，y2，Ak()xk，yk，则1()kiiixy_. 【变式训练】 已知函数 f(x)()xR 满足 f()x 2f( )x ，若函数 yx1x与 yf(x)图象的交点为()x1，y1，()x2，y2，()xm，ym，则1()miiixy_. 题型 3_利用函数图象解决复合函数零点个数问题 【例 3】 已知函数 f( )x |x24x3 ，若方程f( )x2bf( )x c0 恰有七个不相同的实根，则实数 b 的取值范围是_. 【变式训练】 已知函数 f( )x x33x21， g( )x x1221，x0()x321，x0， 则方程 gf( )xa0(a 为正实数)的实数根最多有_. 题型 4_函数的图象与性质的综合应用 【例 4】 设函数 f(x)ax()k1 ax(a0 且 a1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值； (2)若 f(1)0，试判断函数的单调性并求使不等式 f(x2tx)f(4x)0 恒成立的 t 的取值范围； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (3)若 f(1)32，且 g( )x a2xa2x2mf( )x ，在1，)上的最小值为2，求 m 的值. 【变式训练】 已知函数 f(x)满足 f(x)2f(x2)， 且当 x(0， 2)时， f(x)lnxax(a12)，当 x(4，2)时，f(x)的最大值为4. (1)求实数 a 的值； (2)设 b0，函数 g(x)13bx3bx，x(1，2).若对任意 x1(1，2)，总存在 x2(1，2)，使 f(x1)g(x2)，求实数 b 的取值范围. 第 2 课时 导数及其应用 考点展示 1.(17 南通三调)若直线 y2xb 为曲线 yexx 的一条切线， 则实数 b 的值是_. 2.(2017 江苏)已知函数 f( )x x32xex1ex，其中 e 是自然数对数的底数，若 f()a1 f()2a20，则实数 a 的取值范围是_. 3.(17 镇江一调)已知函数 f( )x xlnx，g( )x ()x21 ( 为常数)，函数 yf( )x 与 yg( )x 在x1 处有相同的切线，则实数 的值为_. 4.(17 南通 10 套)设直线 l 是曲线 y4x33lnx 的切线，则直线 l 的斜率的最小值为_. 5.(17 南京三调)若函数 f( )x ex()x22xa 在区间a，a1 上单调递增，则实数 a 的最大值为_. 6.若点 P，Q 分别是曲线 yx4x与直线 4xy0 上的动点，则线段 PQ 长的最小值为_. 热点题型 题型 1_导数的几何意义 【例 1】 设曲线 yaxalnx 在点(1，0)处的切线方程为 y2x2，则 a_. 【变式训练】 (1)设函数 f( )x ax2xblnx，曲线 yf( )x 过点 P()1，0 ，且在点 P 处的切线斜率为 2，则 ab_. (2)已知曲线 y2xmx()xR，m2 在 x1 处切线为直线 l，若直线 l 在两坐标轴上精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 的截距之和为 12，则实数 m 的值为_. 题型 2_利用导数研究函数的单调性 【例 2】 已知函数 f(x)ex(2x1)x1(aR)， 则函数 f(x)的单调增区间为_. 【变式训练】 (1)已知函数 f(x)x3x2bx，若 f(x)在区间1，2上不是单调函数，则实数 b 的取值范围为_. (2)设函数 f( )x lnxmx(mR)，若对任意 ba0，f( )b f( )aba1 恒成立，则 m 的取值范围是_. 题型 3_利用导数研究函数的极值(最值)问题 【例 3】 已知 R，函数 f( )x exex()xlnxx1 的导函数为 g( )x ，若函数 g( )x 存在极值，求 的取值范围. 【变式训练】 已知函数 f(x)alnxbx3，a，b 为实数，b0，e 为自然对数的底数，e2.71828. (1)当 a0，b1 时，设函数 f(x)的最小值为 g(a)，求 g(a)的最大值； (2)若关于 x 的方程 f(x)0 在区间(1，e上有两个不同实数解，求ab的取值范围. 题型 4_导数的实际应用 【例 4】 某地拟建一座长为 640 米的大桥 AB， 假设桥墩等距离分布， 经设计部门测算，两端桥墩 A、B 造价总共为 100 万元，当相邻两个桥墩的距离为 x 米时(其中 64x100)，中间每个桥墩的平均造价为803x万元，桥面每 1 米长的平均造价为(2x x640)万元. (1)试将桥的总造价表示为 x 的函数 f(x)； (2)为使桥的总造价最低，试问这座大桥中间(两端桥墩 A、B 除外)应建多少个桥墩？ 【变式训练】 如图，半径为 30cm 的圆形(O 为圆心)铁皮上截取一块矩形材料 OABC，其中点 B 在圆弧上，点 A，C 在两半径上，现将此矩形材料卷成一个以 AB 为母线的圆柱形精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗)， 设OB与矩形材料的边OA的夹角为， 圆柱的体积为Vcm3. (1)求 V 关于 的函数关系式，并写出定义域； (2)求圆柱形罐子体积 V 的最大值. 第 3 课时 函数与方程 考点展示 1.若函数 f(x)ax2x1 仅有一个零点，则实数 a 的取值范围是_. 2.若方程 lgxx30 的近似解在区间(k，k1)上，kZ，则 k_. 3.函数 f( )x xlnx1 在定义域上有_个零点. 4.已知函数 f( )x 对任意的 xR 满足 f()x f( )x ，且当 x0 时，f( )x x2ax1；若 f( )x有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是_. 5.若函数 f( )x 4x2xm 有两个零点，则实数 m 的取值范围是_. 6.(17 苏锡常镇一调)若函数 f(x)12x1，x03x，()x0，且关于 x 的方程 f(x)xa0 有且只有一个实根，则实数 a 的范围是_. 题型 2_利用零点存在性定理证明函数的零点或方程的根 【例 2】 已知函数 f( )x xalnx()ae .求证：函数 f( )x 有且只有两个零点. 【变式训练】 已知函数 f( )x lnx10 x4.求证：函数 f( )x 有且只有两个零点. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 题型 3_已知根的分布求参数的范围 【例 3】 已知函数 f( )x 13x31a2x2axa()a0 .若函数 f( )x 在区间()2，0 内恰有两个零点，则 a 的取值范围是_. 【变式训练】 已知函数 f( )x ()2a x2()1lnx a.若函数 f( )x 在区间0，12上无零点，求 a 的最小值. 题型 4_函数与方程的综合应用 【例 4】 如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 ykx120(1k2)x2(k0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由. 【变式训练】 已知函数 f( )x 2x3ax2bxc()a，b，cR ，若 x1 和 x2 是函数f( )x 的两个极值点.求：(1)a，b 的值； (2)函数 f( )x 在区间0，3 上的零点个数. 第 4 课时 函数与导数的综合应用 考点展示 1.(17 南通二调)函数 f(x)lg()5x2的定义域是_. 2.(17 南通十套)若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数， 当 x0 时， f(x)xlnx， 则不等式 f(x)e 的解集为_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 3.(17 南通十套)函数 y|log2x ，x14，32 的值域为_. 4.(17 南通十套)设函数 f( )x 3x1，x12x2，x1，则满足 f()f( )a2()f( )a2的 a 的取值范围为_. 5.(17南通三调)已知函数f(x)x，xa，x33x，x0 ，其中 e 是自然对数的底数. (1)当 a2 时，求 f( )x 的极值； (2)若 f( )x 在2，2 上是单调增函数，求实数 a 的取值范围. 题型 2_函数、导数性质的综合问题 【例 2】 已知函数 f(x)x3ax2bx1()a0，bR 有极值， 且导函数 f( )x 的极值点是f( )x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值) (1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b23a； (3)若 f( )x ，f( )x 这两个函数的所有极值之和不小于72，求 a 的取值范围. 【变式训练】 已知函数 f(x)ex(alnx2xb)，其中 a，bR.(e2.71828 是自然对数的底数) 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (1)若曲线 yf(x)在 x1 处的切线方程为 ye(x1).求实数 a，b 的值； (2)若 a2 时，函数 yf(x)既有极大值，又有极小值，求实数 b 的取值范围. 题型 3_函数、导数在研究不等式问题中的应用 【例 3】 已知函数 f( )x exex.(其中 e 是自然对数的底数) (1)证明：f(x)是 R 上的偶函数； (2)若关于 x 的不等式 mf( )x exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围； (3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0，b0，a1，b1). (1)设 a2，b12； 求方程 f(x)2 的根； 若对任意 xR，不等式 f(2x)mf(x)6 恒成立，求实数 m 的最大值； (2)若 0a1，b1，函数 g( )x f( )x 2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值. 题型 4_实际问题 【例 4】 某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门 BADC(如图).设计要求彩门的面积为 S(单位：m2)，高为 h(单位：m)(S，h 为常数).彩门的下底 BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为 ，不锈钢支架的长度和记为 l. (1)请将 l 表示成关于 的函数 lf()； (2)问当 为何值 l 最小，并求最小值. 【变式训练】 如图， ABCD 是正方形空地， 边长为 30m， 电源在点 P 处， 点 P 到边 AD，AB 距离分别为 9m，3m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF，MNNE169.线段 MN 必须过点 P，端点 M，N 分别在边 AD，AB 上，设 ANx(m)，液晶广告屏幕 MNEF 的面积为 S(m2). (1)用 x 的代数式表示 AM； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义域； (3)当 x 取何值时，液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小？ 专题二 三角函数与平面向量 考情分析 三角函数与平面向量在高考中通常有三个小题和一个大题，三角函数主要考点有：一是三角函数的图象与性质；二是两角和与差的三角函数公式；三是解三角形。平面向量主要考点有：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质.三角函数与平面向量从难度上属容易题，但对考生计算的准确性、书写规范等方面的要求较高. 第 1 课时 三角函数的图象与性质 考点展示 1.(2017 江苏)若 tan416，则 tan_. 2.(2016 江苏)定义在区间0，3上的函数 ysin2x 的图象与 ycosx 的图象的交点个数是_. 3.(17 苏北三市三调)若函数 f(x)2sin(2x)(02)的图象过点(0， 3)，则函数 f(x)在0，上的单调减区间是_. 4.(17 盐城二调)将函数 f( )x sinx 的图象向右平移3个单位后得到函数 yg( )x 的图象，则函数 yf( )x g( )x 的最大值为_. 5.(17 南通十套)函数 f(x)sinx 3cosxa 在区间0，2 上恰有三个零点 x1，x2，x3，则 x1x2x3_. 6.(17 镇江一调)定义在0，2的函数 f( )x 8sinxtanx 的最大值为_. 热点题型 题型 1_三角函数的求值与化简 【例 1】 已知 x(2，0)，且 cosx45，则 tan2x_. 【变式训练】 已知 为第三象限的角，且 cos55，则 tan_. 【例 2】 已知 sin4210，2， . 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 求：(1)cos 的值； (2)sin24的值. 【变式训练】 已知 tan2，cos7 210，且 ，()0， . (1)求 cos2 的值； (2)求 2 的值. 【例 3】 如图，点 A，B 是单位圆上的两点，A，B 两点分别在第一、二象限，点 C 是圆与 x 轴正半轴的交点， AOB 是正三角形，若点 A 的坐标为35，45，记COA. (1)求1sin21cos2的值； (2)求|BC2的值. 【变式训练】 如图， A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点， 点 P 在单位圆上， AOP(0)，OQOAOP，四边形 OAQP 的面积为 S. (1)求OA OQS 的最大值及此时 的值 0； (2)设点 B 的坐标为(35，45)，AOB，在(1)的条件下，求 cos(0). 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 题型 2_三角函数的图象与性质 【例 4】 已知函数 f(x) 2sin(2x4)6sinxcosx2cos2x1，xR. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在区间0，2上的最大值和最小值. 【变式训练】 已函数 f(x) 3(cos2xsin2x)2sinxcosx. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)设 x3，3，求 f(x)的值域和单调递减区间. 第 2 课时 平面向量、解三角形 考点展示 1.(17 无锡一调)已知向量 a()2，1 ，b()1，1 ，若 ab 与 mab 垂直，则 m 的值为_. 2.(17 南京三调)在锐角ABC 中，AB3，AC4.若ABC 的面积为 3 3，则 BC 的长是_. 3.(17 南京三调)在凸四边形 ABCD 中，BD2，且()ABDC()BCAD5，AC BD0，则四边形 ABCD 的面积为_. 4.(2016 江苏)如图， 在ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， BA CA4，BF CF1，则BE CE的值是_. 第 4 题图 第 5 题图 5.(2017 江苏)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1，1， 2，OA与OC的夹角为 ，且 tan7，OB与OC的夹角为 45.若OCmOAnOB()m，nR ，则 mn精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 _. 6.(17 南通十套)在斜三角形 ABC 中，若1tanA1tanB4tanC，则 sinC 的最大值为_. 热点题型 题型 1_平面向量的数量积 【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，AP BP2，则AB AD的值是_. 【变式训练】 在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上， 且BEBC， DF19DC， 则AE AF的最小值为_. 题型 2_平面向量与三角函数综合 【例 2】 已知向量 a()cosx，sinx ，b()3， 3 ，x0， . (1)若 ab，求 x 的值； (2)记 f( )x a b，求 f( )x 的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 【变式训练】 已知向量 m( 3，sin)，n(1，cos)，(0，2)，m 与 n 共线. (1)求 的值； (2)求函数 f(x)sinxsin(x)在区间上0，56的最大值和最小值. 题型 3_正弦定理、余弦定理的应用 【例 3】 如图，在ABC 中，已知点 D 在边 AB 上，AD3DB，cosA45，cosACB513，BC13. (1)求 cosB 的值； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)求 CD 的长. 【变式训练】 在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边.若 acosB3，bcosA1，且 AB6. (1)求边 c 的长； (2)求角 B 的大小. 题型 4_平面向量与解三形的综合 【例 4】 在ABC 中，已知AB AC3BA BC. (1)求证：tanB3tanA； (2)若 cosC55，求 A 的值. 【变式训练】 已知 ABC 的内角为 A、B、C，其对边分别为 a、b、c，B 为锐角，向量 m(2sinB， 3)，n(2cos2B21，cos2B)，且 mn. (1)求角 B 的大小； (2)如果 b2，A512，求边长 c. 第 3 课时 三角函数与向量的综合问题 考点展示 1.设向量 a()cos，1 ，b()2，sin .若 ab，则 tan4_. 2.设向量 a()cos，sin ，b()cos，sin ，其中 0，若|2ab |a2b ，则 _. 3.在 ABC 中，A120 ，AB4.若点 D 在边 BC 上，且BD2DC，AD2 73，则 AC 的长为_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 4.在 ABC 中，B45 ，M，N 分别为边 AC，AB 的中点，且BM AC2CN AB，则BABCBCBA的值为_. 5.设向量 a()cos25 ，sin25，b()sin20 ，cos20，若 t 是实数，且 atb，则| | 的最小值为_. 6.如图，点 O 为 ABC 的重心，且 OAOB，AB6，则AC BC的值为_. 第 6 题图 热点题型 题型 1_向量数量积与三角函数的恒等变换 【例 1】 设向量 a()4cos，sin，b()sin，4cos，c()cos，4sin. (1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan() 的值； (2)求|bc 的最大值； (3)若 tantan16，求证：ab. 【变式训练】 在ABC 中， 已知 a， b， c 分别为角 A， B， C 的对边.若向量 m()a，cosA ，向量 n()cosC，c ，且 m n3bcosB. (1)求 cosB 的值； (2)若 a，b，c 成等比数列，求1tanA1tanC的值. 题型 2_平面向量与解三角形的应用 【例 2】 在ABC 中，BC 6，|AB AC2. (1)求证：ABC 三边的平方和为定值； (2)当ABC 的面积最大时，求 cosB 的值. 【变式训练】 1.已知ABC 的面积为 S，且AB AC 2S. (1)求 sinA； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)若| |AB3，|ABAC2 3，求 sinB. 2.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 2sin2AB2cos2C1. (1)求角 C 的大小； (2)若向量 m()3a，b ，na，b3，且 mn，()mn ()mn 16，求 a，b，c 的值. 题型 3_平面向量与三角函数的图象和性质的应用 【例 3】 已知向量 a()sinx，cosx ，b()sinx，sinx ，c()1，0 . (1)若 x3，求向量 a，c 的夹角 ； (2)若 x38，4，函数 f( )x a b 的最大值为12，求实数 的值. 【变式训练】 设函数 f( )x a b，其中向量 a()2cosx，1 ，b()cosx， 3sin2xm . (1)求函数 f( )x 的最小正周期和在0， 上的单调递增区间； (2)当 x0，6时，f( )x 的最大值为 4，求 m 的值. 题型 4_三角函数的实际应用 【例 4】 如图，有一直径为 8 米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍， 但种植甲水果需要有辅助光照.半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是ECF6，点 E，F 在直径 AB 上，且ABC6. (1)若 CE 13，求 AE 的长； (2)设ACE，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【变式训练】 如图，ABCD 是一块边长为 100 米的正方形地皮，其中 ATPS 是一半径为 90 米的底面为扇形小山(P 为圆弧 TS 上的点)，其余部分为平地.今有开发商想在平地上建一个两边落在 BC 及 CD 上的长方形停车场 PQCR. (1)设PAB，试将矩形 PQCR 面积表示为 的函数； (2)求停车场 PQCR 面积的最大值及最小值. 专题三 不等式 考情分析 本专题知识常以填空题和解答题的形式进行考查，主要考查基本不等式、一元二次不等式(组)解法及应用以及线性规划的内容. 本专题的知识常与集合、函数、导数、数列等知识结合考查，偶尔也有单独考查.解题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性，不等式的应用大致应分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题. 第 1 课时 基本不等式及其应用 考点展示 1.已知 x，y 为正实数，则4x4xyyxy的最大值为_. 2.(苏北四市 2017 届高三上学期期末)若实数 x，y 满足 xy3x3(0 x12)，则3x1y3的最小值为_. 3.若 x，y 均为正实数，且 x2y4，则x2x22y2y1的最小值是_. 4.设 ab0，则 a21ab1a（ab）的最小值是_. 5.若 x，y 为实数，且 x22xyy27，则 x2y2的最小值为_. 6.如图，矩形 ABCD 中，AB3，AD2，一质点从 AB 边上的点 P0出发，沿与 AB 的夹角为 的方向射到边 BC 上点 P1后，依次反射(入射角与反射角相等)到边 CD，DA 和 AB 上的 P2，P3，P4处.若 P4落在 A，P0两点之间，且 AP02.设 tant，将五边形 P0P1P2P3P4的面积 S 表示为 t 的函数，则 S 的最大值为_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 第 6 题图 热点题型 题型 1_用基本不等式求最值 【例 1】 若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则 a 的取值范围是_. 【变式训练】 (苏州市 2017 届高三上期末调研测试)已知正数 x， y 满足 xy1， 则4x21y1的最小值为_. 【例 2】 设 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0，若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为_. 【变式训练】 已知 a0，b0，方程为 x2y24x2y0 的曲线关于直线 axby10 对称，则3a2bab的最小值为_. 【例 3】 已知函数 f(x)x2ax2x(x0)， (1)指出 f(x)的单调区间，并进行证明； (2)若 x0 时，不等式 f(x)12x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【变式训练】 设二次函数f(x)ax2bxc(a， b， c为常数)的导函数为f(x)， 对任意xR，不等式 f(x)f(x)恒成立，求b2a2c2的最大值. 题型 2_利用基本不等式解应用题 【例 4】 (南通、泰州市 2017 届高三第一次调研测)如图，某机械厂要将长 6m，宽 2m的长方形铁皮 ABCD 进行裁剪.已知点 F 为 AD 的中点，点 E 在边 BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线 EF 翻折到 MNFE 处(点 C，D 分别落在直线 BC 下方点 M，N 处，FN 交边 BC于点 P)，再沿直线 PE 裁剪. (1)当EFP4时，试判断四边形 MNPE 的形状，并求其面积； (2)若使裁剪得到的四边形 MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 【变式训练】 (苏北四市 2017 届高三上学期期中)某城市有一直角梯形绿地 ABCD，其中ABCBAD90，ADDC2km，BC1km.现过边界 CD 上的点 E 处铺设一条直的灌溉水管 EF，将绿地分成面积相等的两部分. (1)如图，若 E 为 CD 的中点，F 在边界 AB 上，求灌溉水管 EF 的长度； (2)如图，若 F 在边界 AD 上，求灌溉水管 EF 的最短长度. 图 图 第 2 课时 不等式的解法与三个“二次”的关系 考点展示 1.(必修 5P79 习题 1(3)改编)不等式 8x116x2的解集是_. 2.若关于 x 的不等式 2x23xa0 的解集为(m，1)，则实数 m 的值是_. 3.已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为x|x12，则 f(10 x)0 的解集为_. 4.(2017 泰州期末)若对任意实数 x，不等式 x2ax10 恒成立，则实数 a 的取值范围为_. 5.已知实数 a，b，c 满足 a2b2c2，c0，则ba2c的取值范围为_. 6.(苏州市 2017 届高三上学期期中调研)已知函数 f(x)3x 3x(R)若不等式 f(x)6对 x0，2恒成立，实数 的取值范围为_. 热点题型 题型 1_不等式的解法与三个“二次”的关系 【例 1】 已知函数 f(x)x21，x01，xf(2x)的 x 的范围是精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 _. 【变式训练】 已知 f(x)的定义域为 R 的偶函数，当 x0 时，f(x)x24x，那么，不等式 f(x2)m 有解，求实数 m 的取值范围. 【变式训练】 若不等式|2x1|x2|a212a2 对任意实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围. 【例 4】 设函数 f(x)x1a|xa|(a0). (1)证明：f(x)2； (2)若 f(3)5，求 a 的取值范围. 【变式训练】 已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)1，且当 xa2，12时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围. 专题四 数 列 考点展示 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 本专题知识每年考查分值约为 21 分，所占得分值比例约为 9.5%，主要考查等差数列的通项、性质及前 n 项和，等比数列的通项、性质及前 n 项和等基础知识，常与函数、方程、不等式结合考查，涉及到思想方法主要有化归与转化、函数与方程、分类讨论. 第 1 课时 等差、等比数列 考点展示 1.设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_. 2.设 Sn为等比数列an的前 n 项和， 若 a11， 且 3S1， 2S2， S3成等差数列， 则 an_. 3.(2016 江苏)已知an是等差数列，Sn是其前 n 项和.若 a1a223，S510，则 a9的值是_. 4.(2017 全国卷)设等比数列an满足 a1a21，a1a33，则 a4_. 5.(2017 北京理)若等差数列an和等比数列bn满足 a1b11，a4b48，则a2b2_. 6.(盐城市 2017 届一模)设an是等差数列，若 a4a5a621，则 S9_. 热点题型 题型 1_等比数列的基本运算与性质 【例 1】 已知等比数列 an满足 a22a14，a23a5，则 a5的值是_. 【变式训练】 已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1a31a2a4，S42，则数列 an的公比 q 为_. 题型 2_等差数列的基本运算与性质 【例 2】 已知等差数列的首项为 31，若从第 16 项开始小于 1，则此数列的公差 d 的取值范围是_. 【变式训练】 已知在等差数列 an中，首项为 23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为_. 题型 3_等差数列与等比数列的判定与证明 【例 3】 已知数列an的前 n 项和为 Sn(nN*)，且满足 anSn2n1. (1)求证：数列an2是等比数列，并求数列an的通项公式； (2)求证：12a1a2122a2a312nanan10，q0 的两个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_. 5.(2016 四川理)某公司为激励创新， 计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是_. (参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30) 6.(2017 全国卷理)我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯_盏. 热点题型 题型 1_新定义问题 【例 1】 设数列an的前 n 项和为 Sn.若对任意的正整数 n，总存在正整数 m，使得 Snam，则称 an是“H 数列”. (1)若数列an的前 n 项和Sn2n(nN*)，证明：an是“H 数列”； (2)设an是等差数列，其首项 a11，公差 d0 成立； 是否存在正整数 m，n()mn ，使得 SmSn成立？若存在，请求出所有满足条件的 m，n；若不存在，请说明理由. 题型 3_数列中的简易数论 【例 3】 若数列 an中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.设 Sn是等差数列 an的前 n 项和， a2a12， 试问是否存在封闭数列 an， 且 Sn0，精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 1121S11S21S31Sn0 与直线 y3x 相交于 P，Q 两点，则当CPQ 的面积最大时，此时实数 a 的值为_. 6.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x24y21 的左、右焦点分别为 F与 F，圆 F：()x 32y25.若 P 为椭圆上任意一点，以 P 为圆心，OP 为半径的圆 P 与圆 F 的公共弦为 QT，点 F 到直线 QT 的距离 FH 为定值_. 第 6 题图 热点题型 题型 1_直线与圆中的最值 【例 1】 在平面直角坐标系 xOy 中，以点()1，0 为圆心且与直线 mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_. 【变式训练】 已知圆 C：x2y22x4y200，直线 l 过点 P(3，1)，则当直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 的方程为_. 题型 2_直线与圆位置关系的综合问题 【例 2】 (2016 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M：x2y212x14y600 及其上一点 A(2，4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x6 上，求圆 N 的标准方程； 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B，C 两点，且 BCOA，求直线 l 的方程； (3)设点 T(t，0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得TATPTQ，求实数 t 的取值范围. 【变式训练】 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x2y21，P 为直线 l：xt(1t0)，直线 l2：4x2y10 和 l3：xy10，精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 且 l1和 l2的距离是7 510. (1)求 a 的值； (2)能否找到一点 P，使点 P 同时满足下列三个条件： P 是第一象限的点； P 点到 l1的距离是 P 点到 l2的距离的12； P 点到 l1的距离与 P 点到 l3的距离的比是 2 5.若能，求 P 点坐标；若不能，请说明理由. 【变式训练】 已知直线 l1：axy10，l2：(a2)xay20(a0)，直线 l1l2. (1)求实数 a 的值； (2)是否存在一点 P，它同时满足下列三个条件：P 是第一象限的点；P 点在直线 yx 上；P 点到直线 l1的距离是它到 l2的距离的 2 倍.若存在，求 P 点坐标；若不存在，请说明理由. 第 2 课时 圆锥曲线 考点展示 1.(教材改编)抛物线 y24x 的焦点到双曲线x216y291 渐近线的距离为_. 2.(2017 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x23y21 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P、Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_. 3.(1016 江苏)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆x2a2y2b21(ab0)的右焦点，直线 yb2与椭圆交于 B，C 两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_. 第 3 题图 4.如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B，交其准线于点 C，若|BC|2|BF|，且|AF|6，则此抛物线的方程为_. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 第 4 题图 5.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)和圆 O：x2y2b2，若 C 上存在点 P，使得过点 P引圆 O 的两条切线，切点分别为 A，B，满足APB60，则椭圆 C 的离心率的取值范围是_. 第 5 题图 6.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点.若点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_. 热点题型 题型 1_双曲线的性质 【例 1】 双曲线 C：x2y2a2的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y216x 的准线交于 A、B 两点，|AB|4 3，则双曲线 C 的方程为_. 【变式训练】 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线过点(2， 3)，且双曲线的一个焦点在抛物线 y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为_. 题型 2_抛物线的性质 【例 2】 已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|_. 【变式训练】 若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 到 y 轴的距离是_. 题型 3_椭圆的性质 【例 3】 (南京市、盐城市 2017 届高三第一次模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 O：x2y2b2经过椭圆 E：x24y2b21(0bb0)的右焦点为 F，过点 F 的直线交 y 轴于点 N，交椭圆 C 于点 A、P(P 在第一象限)，过点 P 作 y 轴的垂线交椭圆 C 于另外一点 Q.若NF2FP. (1)设直线 PF、QF 的斜率分别为 k、k，求证：kk为定值； (2)若ANFP且APQ 的面积为12 155，求椭圆 C 的方程. 题型 4_圆锥曲线的应用 【例 4】 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程； (2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程. 【变式训练】 (镇江市 2017 届高三上学期期末)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，且点( 3，12)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 PQ 的中点为 H，O 为坐标原点，且 OH1，求POQ 面积的最大值. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 第 3 课时 圆锥曲线的定点、定值问题 考点展示 1.(教材改编)不论 m 取何实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0 恒过一个定点，则此定点的坐标是_. 2.已知圆的方程是 x2y22ax2(a2)y20，a1，aR，上述圆恒过定点_. 3.设 A，B 分别为椭圆x24y231 的左、右顶点，设 Q 为椭圆上异于 A、B 的点，则直线QA 与直线 QB 的斜率之积为_. 4.已知抛物线 y22px(p0)，过焦点为 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，则1|AF|1|BF|_. 5.(教材改编)已知 A，B 是抛物线 y22px(p0)上的两点，且 OAOB(O 为坐标原点)，则直线 AB 经过一定点_. 6.(2017 杭州月考)已知圆 C：x2(y3)24，一动直线 l1过 A(1，0)与圆 C 相交于 P、Q 两点，M 是 PQ 中点，l1与直线 l2：x3y60 相交于 N，则 AM AN 为_. 热点题型 题型 1_直线过定点的问题 【例 1】 已知圆 O：x2y28，直线：x4，设 M 是直线上的任意一点，以 OM 为直径的圆 K 与圆 O 相交于 P，Q 两点，求直线 PQ 经过的定点 E 的坐标. 【变式训练】 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E 的方程为x24y231，A，B 为椭圆的左右顶点，F1，F2是左右焦点，若直线 l 过点 B 且垂直于 x 轴，点 P 是椭圆上异于 A，B 两点的任意一点，直线 AP 交 l 于 M 点，设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m，求证：直线 m 过定点，并求出定点坐标. 题型 2_圆过定点的问题 【例 2】 如图，设点 P 是椭圆 E：x24y231 上的任意一点(异于左，右顶点 A，B).设直线 PA，PB 分别交直线 l：x4 与点 M，N，以 MN 为直径的圆是否过定点？试证明之. 【变式训练】 已知椭圆x24y21 的上下顶点为 A，B，P 为椭圆上异于 A，B 两点的动点，直线 AP 与直线 l：y2 交于 N 点，直线 BP 与 l 交于 M 点，以 MN 为直径的圆是否过精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 定点？试证明之. 题型 3_圆锥曲线中的定点问题 【例 3】 已知椭圆 C：x2a2y2b21 经过点(0， 3)，离心率为12，直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 交椭圆于 A、B 两点，点 A、F、B 在直线 x4 上的射影依次为 D、K、E. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且MAAF，MBBF，当直线 l 的倾斜角变化时，探求 的值是否为定值？若是，求出 的值；否则，说明理由； (3)连接 AE、BD，试探索当直线 l 的倾斜角变化时，直线 AE 与 BD 是否相交 2 于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由. 【变式训练】 已知动圆过定点 A(4，0)，且在 y 轴上截得弦 MN 的长为 8. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (2)已知点 B(1，0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P，Q，若 x 轴是PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点. 题型 4_圆锥曲线的定点、定值综合问题 【例 4】 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)右焦点 F(1，0)，离心率为22，过 F 作两条互相垂直的弦 AB、CD，设 AB、CD 中点分别为 M、N. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标. 【变式训练】 已知椭圆 C：x24y221 的上顶点为 A，直线 l：ykxm 交椭圆于 P、Q两点，设直线 AP、AQ 的斜率分别为 k1、k2. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 (1)若 m0 时，求 k1k2的值； (2)若 k1k21 时，证明直线 l：ykxm 过定点. 第 4 课时 圆锥曲线的范围问题 考点展示 1.已知定点 A(2， 3)， 椭圆x216y2121 的右焦点为 F， M 为椭圆上动点， 则|AM|2|MF|的最小值为_. 2.(教材改编)椭圆x22y21 上的点到直线 yx23的距离的取值范围是_. 3.(教材改编)椭圆x23y21 的内接矩形 ABCD 面积的最大值为_. 4.设 F1，F2分别是椭圆x2a2y2b21(ab0)的左右焦点，若在直线 xa2c上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过 F2，则椭圆的离心率的取值范围为_. 5.椭圆x2a2y2b21(ab0)与直线 xy1 交于 P，Q 两点，且 OPOQ，其中 O 为坐标原点，若椭圆的离心率 e 满足33e22，则椭圆长轴的取值范围是_. 6.设 A，B 是椭圆x24y231 上不同的两点，点 D(4，0)，且满足DADB，若 38，12，则直线 AB 的斜率的取值范围是_. 热点题型 【例 1】 已知 A(4，0)，B(2，2)是椭圆x225y291 内的两个点，M 是椭圆上的动点，求|MA|MB的最大值和最小值. 【变式训练】 已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点， Q 为圆 x2(y4)21 上一个动点，当点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和最小时，点 P 的横坐标为_. 【例 2】 若点 O、F 分别为椭圆x24y231 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 则OP PF的最大值为_. 【变式训练】 抛物线 y28x 的焦点为 F， 点(x， y)为该抛物线上的动点， 又已知点 A(2，0)，则|PA|PF|的取值范围是_. 【例 3】 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 xy10 与以椭圆 C 的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆的方程. (2)设 P 为椭圆上一点，若过点 M(2，0)的直线 l 与椭圆 E 相交于不同的两点 S 和 T，且满足OSOTtOP(O 为坐标原点)，求实数 t 的取值范围. 【变式训练】 已知中心在原点 O，焦点在 x 轴上，离心率为32的椭圆过点( 2，22). (1)求椭圆的方程； (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P，Q 两点，满足直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ 面积的取值范围. 【例 4】 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率 e32，且椭圆 C 上一点 N 到点 Q(0，3)的距离最大值为 4，过点 M(3，0)的直线交椭圆 C 于点 A、B. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 为椭圆上一点，且满足OAOBtOP(O 为坐标原点)，当|AB| 3时，求实数 t的取值范围. 【变式训练】 已知圆 M：()x 22y2r2(r0)，若椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的右顶点为圆 M 的圆心，离心率为22. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若存在直线 l：ykx，使得直线 l 与椭圆 C 分别交于 A，B 两点，与圆 M 分别交于 G，H 两点，点 G 在线段 AB 上，且|AG|BH，求圆 M 的半径 r 的取值范围. 精选优质文档-倾情为你奉上 专心-专注-专业 专题七 应用题 考情分析 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一.应用性问题的解决， 实质上就是数学建模的过程，所谓数学建模就是运用数学思想、方法和知识解决实际问题的过程.解决应用性问题的基本步骤如下： 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型； 建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 求模：求解数学模型，得出数学结论； 还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义. 考点展示 1.要制作一个容量为 4m3，高为 1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_.(单位：元) 2.某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储存温度 x(单位：)满足函数关系 yekxb(e2.718为自然对数的底数，k、b 为常数).若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时，在 22的保鲜时间是 48 小时，则该食品在 33的保鲜时间是_小时. 3.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况. 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015 年 5 月 1 日 12 35000 2