2016排列组合综合应用

排列组合综合问题解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是 多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解 题策略一. 按事件完成的方案分步进行。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不受位置的约 束， （几个元素可以占同一位置）可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为mn种 例 1.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法？练习 1:某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下 电梯的方法_练习 2.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能 的种数有例 2.有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 练习 1： 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查， 若每个路口 4 人,则不同的分配方案有（）2、在一个含有 8 个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节 目顺序，有多少中插入方法？二. 特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的 方法,AG；C84C：种B3C：C；C44种 C皿A3种D、警种若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分 析为主,需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往 往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例 3、用 1,2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列 条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。练习.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数例 4.由 0, 1, 2, 3, 4, 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？练习 1:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从 小到大排列起来，第 71 个数是_练习 2.从 0,123,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数,不同的取法有多少种？练习 3.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种 B 、80 种 C 、70 种 D 、35 种例 5.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4X100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？练习.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？练习 2.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？例 6.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一 个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少选派方法练习：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只 乘 1 人，他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这 3 人共有多少乘船方法.三. 排列组合混合问题先选后排策略从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 7.有 5 个不同的小球，装入 4 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少 不同的装法.练习.1、四个不同球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？练习 2、4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？练习 3、5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分 法种数为（）A、480 种 B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种例 8. 9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练， 有多少种不同的分组方法？练习：一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同 的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的 选法有_ 种例 9:.从 0 到 9 十个数字中，任选 2 个奇数和 3 个偶数,能组成多少个没有重 复数字的五位数？练习、有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1, 2 与 3, 4 与 5, 6 与 7, 8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位 数？四. 相邻元素捆绑策略题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 10. 7 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法练习 1.4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种?练习 3、某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安 排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（）五. 不相邻问题插空策略元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 11. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出 场，则节目的出场顺序有多少种？练习.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A 1440种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种变式 1:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不 同种数为变式 2.马路上有编号为 123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的 3盏，但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条 件的关灯方法有多少种？变式 3、从 1, 2, 3,-, 1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多 少种不同的去法六. 定序问题倍缩、空位插入策略 在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序,可用缩小倍数的方法 还可转化为占位插入法。例 12、 7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法练习 1.A, B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）A、 24 种 B 、 60 种 C 、 90 种 D 、 120 种 练习 2、用 1, 2, 3, 4, 5,6, 7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中,（ 1 ）若偶数 2, 4, 6 次序一定,有多少个？（2）若偶数 2, 4, 6 次序一定,奇数 1, 3, 5, 7 的次序也一定的有多少 个？变式:10 人身高各不相等 ,排成前后排,每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增 加,共有多少排法？七. 平均分组问题除法策略 平均分成的组（组无序号）不管它们的顺序如何 ,都是一种情况 ,所以分组后 要一定要除以An（n为均分的组数）避免重复计数。例 13. 6 本不同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？练习：1 将 13 个球队分成 3 组，一组 5 个队,其它两组 4 个队，有多少分法?2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_3.某年级 6 个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个 班，则分派方法的种数。八. 元素相同问题隔板策略将 n 个相同的元素分成 m 份（n, m 为正整数），每份至少一个元素，可以 用m-1 块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为、 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。例 14.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？练习 1、某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学 生组成，每班至少一人，名额分配方案共 _种。练习 2.有 20 个不加区别的小球放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子里，要 求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（）练习 3、5 个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟 不同的带法.变式 1 .x y z w =100求这个方程组的自然数解的组数变式 2、求（a+b+c）10的展开式的项数.九多排问题直排策略把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例 15.8 人排成前后两排，每排 4 人,其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排 法练习.（1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法 种数是（）A 36种 B 、120 种 C 、720 种 D 、1440 种练习（2） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要 排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？变式：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定 前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排 法的种数是_十环排问题线排策略把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟） 不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法 认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：玄“忌代川,an；a2,a3, a4,M,an,M;an,aJ）l a在圆排列中只算一种，因为旋转后可以 重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成n单排，其它的n-1元素全排列.一般地,n 个不同元素作圆形排列，共有 （n-1） !种排法如果从 n 个不同元素中取 出m 个元素作圆形排列共有丄A：n例 16. 8 人围桌而坐，共有多少种坐法？练习.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?十一.错位排列例 17、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的卡片，则不同的分配方法有 种练习：有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后 每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子, 问 5 位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？例 18.设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子，现将 5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同，有多少投法十二：合并单元格解决染色问题 例 19、如图 1, 一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。3,5练习 1.将 3 种作物种植在排成一行的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相 邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的种植方法共 _ 种（以数字作答）2.某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图），现要栽种 4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同一样颜色的话，不同的栽种方法有 _种（以数字作答）3.如图， 用不同的 5 种颜色分别为 ABCD 五部分着色， 相邻部分不能用同 一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数.dC34.如图：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不 相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不 同的着色方法是 种5._ 将一四棱锥（如图）的每个顶点染一种颜色，并使同 一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不 同的染色方法共_2.给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色，则不同的着色 方法有_种十三.几何问题例 20. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A、70 种 B 、64 种 C 、58 种 D 、52 种（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（）A150 种 B 、147 种 C 、144 种 D 、141 种练习 1.四面体的棱中点和顶点共 10 个点（1）从中任取 3 个点确定一个平面, 共能确定多少个平面？任取 4 个点，不共面的有多少个？练习（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线?练习 3.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和 点 A在同一平面上，不同的取法有种练习 4:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B 的最短路径有多少种？（C；=35）十四：递推法例 21、一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？变式、一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个 台阶，一共有多少种不同的走法.十五. 树图策略 例 22.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有AB、C D E 五个字母，现从中取 5 只, 要求各字母均有且三色齐备 , 则共有多少种不同的取法练习.3人相互传球 , 由甲开始发球 , 并作为第一次传球 , 经过5次传求后 , 球 仍回到甲的手中 , 则不同的传球方式有 _排列组合综合问题解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时 进行,确定分多少步及多少类。3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是 多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解 题策略一. 按事件完成的方案分步进行。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象， 元素不受位置的约 束， （几个元素可以占同一位置）可以逐一安排各个元素的位置，一般地 n 不同的元素没有限制地安排在 m 个位置上的排列数为mn种 例 1.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法？ 解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有 7 种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的 排法练习 1:某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下 电梯的方法匸练习 2.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能 的种数有分析：因同一学生可以同时夺得 n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生 看作7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有 7 种住宿法，由 乘法原理得 75种.例 2.有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同的选法种数是（）A1260 种 B 、2025 种 C 、2520 种 D 、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担 乙项任务，第三步从另外的 7 人中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有G2c8c7 =2520种，选C.练习 1： 12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人,则不同的分配方案有（)A、G；C84C：种B、3C12C8C4种C、CQA3种D 、A种答案：A.2、 在一个含有 8 个节目的节目单中， 临时插入两个歌唱节目， 且保持原节 目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的 8 个节目中含有 9 个空档，插入一个节目后，空档变为 10 个，故有A9A；=100 中插入方法二. 特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的 方法,若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分 析为主,需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置。若有多个约束条件，往 往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例 3、用 1, 2, 3, 4, 5, 6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列 条件的四位数各有多少个（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A；,其余 2 位有四个可供选 择A2，由乘法原理：A；A=2402.特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A；=60, 1 不在千位时，千位有A：种选法, 个位有A1种，余下的有A，共有A：A1A2=192 所以总共有 192+60=252 练习.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这 两个位置.先排末位共有C3然后排首位共有C4最后排其它位置共有A由分步计数原理得C4CA=288例 4.由 0, 1, 2, 3, 4, 5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解：N =2民+2A：+A：+ A；+A；=297数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查，依次求出其符合要求 的个数，根据分类计数原理求出其总数。练习 1:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从 小到大排列起来，第 71 个数是 3140练习 2.从 0,123,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10 的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有 5 个偶数 5 个奇数,所取的三个数含有 3 个偶数的取法有C；, 只含有 1 个偶数的取法有C5C52,和为偶数的取法共有c5c（+c3。再淘汰和 小于 10的偶数共 9 种，符合条件的取法共有c；c；cf-9有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出 它的反面，再从整体中淘汰.练习 3.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型 电视机各一台，则不同的取法共有（）A、140 种 B 、80 种 c 、70 种 D 、35 种解析 1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种 型号的电视机，故不同的取法共有C；-C：-C3=70 种,选.c解析 2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1 台乙型 2台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同的取法有C2C：+C5C2=70 台,选c.例 5.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4X100 米接力赛，如果甲不跑第一棒， 乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集= 6 人中任取 4 人参赛的排列 , A= 甲跑第一棒的排列 , B=乙跑第四棒的排列，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：4332工丄n(|) n(A) n(B) n(A - B)二- A5- A5A4= 252种.练习.1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同 的排法有多少种？解析：老师在中间三个位置上选一个有A1种,4 名同学在其余 4 个位置上有A：种方法；所以共有 AA4-72种。.练习 2.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中 国西部经济开发建设， 其中甲同学不到银川， 乙不到西宁， 共有多少种不同 派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不参加，则有派遣方案A84种；若甲参加而乙不参加，先安排甲 有 3种方法，然后安排其余学生有A3方法，所以共有3A3:若乙参加而甲 不参加同理也有3A：种；若甲乙都参加，则先安排甲乙，有 7 种方法，然 后再安排其余8 人到另外两个城市有A种，共有7A2方法.所以共有不同的派 遣方法总数为A843A33A37A| =4088种.例 6.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有 空种，只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员C5C3C：种，只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人 员有c；c；种，由分类计数原理共有c；c3cc；c；种。本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果练习：1. 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有 男生又有女生，则不同的选法共有 34 种。2. 3成人 2小孩乘船游玩,1号船最多乘 3人,2号船最多乘 2人,3号船只 能乘 1人，他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船，这 3 人共 有多少乘船方法.（27）三. 排列组合混合问题先选后排策略从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例 7.有 5 个不同的小球，装入 4 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少 不同的装法.解:第一步从 5 个球中选出 2 个组成复合元共有C；种方法.再把 4 个元素 （包含一个复合元素）装入 4 个不同的盒内有 A?种方法，根据分步计数 原理装球的方法共有C|A4练习.1、四个不同球放入编号为 1, 2, 3, 4 的四个盒中，则恰有一个空盒 的放法有多少种？解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有c：种，再排：在四个盒中每次排 3 个有A种，故共有 C：AJ=144 种.练习 2、4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不 同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成 3 组有C：种方法，再把三组学生分配到三所学校有A3种，故共有C4A3=36种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.练习 3、5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480 种B 、240 种 C 、120 种 D 、96 种答案：B.例 8. 9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？解析：先取男女运动员各 2 名，有 c；c：种，这四名运动员混和双打练习有A中排法，故共有c|C42A|=120种.练习：一个班有 6 名战士 ,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同 的任务,每人完成一种任务，且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的 选法有192 种例 9：.从 0 到 9 十个数字中，任选 2 个奇数和 3 个偶数,能组成多少个没有重复数字的五位数？（1）如果偶数未选 0：=4800；如果偶数选了 0: C；C2A4A：=5760，故能组成 4800+5760=10560 个）没有重复数字的五位数.练习、有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1, 2 与 3, 4 与 5, 6 与 7, 8 与 9,将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位 数？分析：此例正面求解需考虑 0 与 1 卡片用与不用，且用此卡片又分使 用 0与使用 1,类别较复杂，而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数c；23A：个，其中 0 在百位的有c222A个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数C；23A；C：22A；=432 （个）四. 相邻元素捆绑策略题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 10. 7 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 由分步计数原理可得共有A|AfA；=480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列练习 1.4 名男生和 3 名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？ 分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有A：种排法，而男生之间又有A：种排法，又乘法原理满足条件的排法有：AXA：=576练习 2.计划展出 10 幅不同的画，其中 1 幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成 一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共 有陈列方式的种数为A；A：A4练习 3、某市植物园要在 30 天内接待 20 所学校的学生参观，但每天只能安 排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2 天，其余只参观一天，则植物园 30 天内不同的安排方法有（C29A29）（注意连续参观 2 天， 即需把 30 天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有c；9其余的就是19 所学校选 28 天进行排列）五.不相邻问题插空策略 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规 定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例 11. 一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出 场，则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2 个相声和 3 个独唱共有A5种，第二步将 4 舞蹈插 入第一步排好的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A：不同的方法, 由分步计数原理，节目的不同顺序共有A5A：_ 种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两练习.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（ ）A1440 种 B 、3600 种 C 、4820 种 D 、4800 种解析：除甲乙外，其余 5 个排列数为A55种，再用甲乙去插 6 个空位有A2种, 不同的排法种数是AfA2=3600种，选B.变式 1:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不 同种数为 20命中的三枪视为一个元素，相当于两个人，坐到六个位置，要求这两人不相 邻，先抽调一根凳子，让这两人任意坐，做好后都将抽走的凳子安在二人之 间，（椅子相同）A（5,2 ）解：把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相 邻的排列问题.A；=20 种（把两个不同黑球插入四求形成的 5 空中。）变式 2.马路上有编号为 123,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的 3盏，但不能关掉相邻的 2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条 件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯 有C种变式 3、从 1, 2, 3,-, 1000 个自然数中任取 10 个不连续的自然数，有多 少种不同的去法.解 把稳体转化为 10 个相同的黑球与 990 个相同白球，其中黑球不相邻的 排列问题。C901（990 个白球共 991 个空，插入 10 个，每种插法对应 10 个自然数）六. 定序问题倍缩、空位插入策略在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.还可转化为占位插入法。例 12、7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其 他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的 全排列数,则共有不同排法种数是：A；/A；（空位法）设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A4种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有A；种方法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（插入法）先排甲乙丙三个人，共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共 有方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插练习 1.A, B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A,B可以不 相邻）那么不同的排法种数是（）A24 种 B 、60 种 C 、90 种 D 、120 种析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是5 个元素全排列数的一半，即丄A；=60种，选B.2练习 2、用 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数 2, 4, 6 次序一定，有多少个？（2） 若偶数 2, 4, 6 次序一定，奇数 1, 3, 5, 7 的次序也一定的有多少变式:10 人身高各不相等，排成前后排，每排 5 人，要求从左至右身高逐渐增 力口，共有多少排法？Cw从 10 人中任意选 5 人，排成一排只有一种排法，余下的人排第二排，也只 有一种排法。七平均分组问题除法策略平均分成的组(组无序号)不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以A：(n为均分的组数)避免重复计数。例 13. 6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本共有多少分法？分析：分出三堆书(ai,a2) ,3,a4)，(a5,a6)由顺序不同可以有A3=6 种，而这6 种分法只算一种分堆方式，故 6 本不同的书平均分成三堆方式有C6C4C2=15种A解：分三步取书得c2c2c2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记 6 本书为 ABCDE，若第一步取 AB,第二步取 CD,第三步取 EF 该分法记 为(AB,CD,EF), 贝 “cfc：C；中 还 有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法，故共有 C；C：C；/A3种 分法。练习：1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队，有多少分法?（C；3C；C：/A2）2.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_(C：C；A6/A； =90)3.某年级 6 个班的数学课， 分配给甲乙丙三名数学教师任教， 每人教两 个班，则分派方法的种数。八.元素相同问题隔板策略将 n 个相同的元素分成 m 份(n, m 为正整数)，每份至少一个元素，可以 用 m-1块隔板，插入 n 个元素排成一排的 n-1 个空隙中，所有分法数为、个？解(1卷(2)AA3A4名额分配或相同物品的分配问题，适宜采用隔板法。例 14.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案? 解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个 空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法练习 1、某校准备组建一个由 12 人组成篮球队，这 12 个人由 8 个班的学 生组成，每班至少一人，名额分配方案共 _种。分析：此例的实质是 12 个名额分配给 8 个班，每班至少一个名额，可在12 个名额种的 11 个空当中插入 7 块隔板，一种插法对应一种名额的分配方 式，故有 e7 种练习 2.有 20 个不加区别的小球放入编号为 1, 2, 3 的三个盒子里，要 求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？ （Cw ）练习 3、5 个人参加秋游带 10 瓶饮料，每人至少带 1 瓶，一共有多少钟 不同的带法.解：把问题转化为 5 个相同的白球不相邻地插入已经排好的10 个相同的黑球之间的 9 个空隙种的排列问题.C；=126 种变式 1 .x y z w=100求这个方程组的自然数解的组数Ct先借四个球放入四个框中，相当于 104 个球放入 4 个框中，每框中至少一个 变式2、求（a+b+c）10的展开式的项数.解：展开使的项为 aab3cY,且a+B+Y=10,因此，把问题转化为 2 个相同 的黑球与 10 个相同的白球的排列问题.C；2=66 （种九多排问题直排策略 把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理例 15.8 人排成前后两排，每排 4 人,其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排 法解：8 人排前后两排，相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊 元素有A种,再排后 4 个位置上的特殊元素丙有 A；种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有A5种,则共有A2A4A5种 前排后排“般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研练习.（1） 6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（）A36 种 B 、120 种 C 、720 种D 、1440 种 解析：前后两排可看olo ololo ololo oloIII成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一 排，共A65=720种，选C.练习（2） 8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要 排在前排，某 1 个元素排在后排，有多少种不同排法？解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有A2种，某 1 个元素排在后半段的四个位置中选一个有A4种，其余 5 个元素任排 5 个位置 上有A种，故共有A：A：A =5760种排法.变式：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定 前排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排 法的种数是 346十环排问题线排策略把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟） 不同的排法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法 认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：玄“忌旦Mana, a4,M,an,M;an,aJ）l ,an在圆排列中只算一种，因为旋转后可以 重合，故认为相同，n个元素的圆排列数有 种.因此可将某个元素固定展成n单排，其它的n-1元素全排列.一般地,n 个不同元素作圆形排列，共有 （n-1） !种排法如果从 n 个不同元素中取 出m 个元素作圆形排列共有-A：n例 16. 8 人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定 一人A4并从此位置把圆形展成直线其余 7 人共有（8-1）！种排法即7！练习.5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法?解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有A4种，然后在让插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和右边，有2 种方式，故不同的安排方式24 25= 768种不同站法.说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 丄A：种不同排法.m十一.错位排列例 17、同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的卡片，则不同的分配方法有 种(9)公式 1 )an=(n -1)(anJanJn=4 时 a4=3(a3+a2)=9 种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排.练习：有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子, 问 5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？ (44)把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元 素，如此继续下去，依次即可完成.例 18.设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子，现将 5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编 号与盒子的编号相同，有多少投法解:从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有C；种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒 时，则4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5 号盒时,4,5 号球 有也只有 1 种装法，由分步计数原理有2C；种3 号盒 4 号盒 5 号盒对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结2)an= n!(1-丄+丄-1+；-1n1!2!3!1n!CoooooooooABCDEFGHA果2十二：合并单元格解决染色问题例 19、如图 1, 一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。分析：颜色相同的区域可能是 2、3、4、5.下面分情况讨论：（i）当 2、4 颜色相同且 3、5 颜色不同时，将 成一个单元格，此时不同的着色方法相当于 的全排列数A（ii）当 2、种着色法.4 颜色不同且 3、5 颜色相同时，与情形（i）类似同理可得A：（iii）当 2、4 与 3、5 分别同色时，将 2、4; 3、5 分别合并，这样仅有三个单元格从 4 种颜色中选 3 种来着色这三个单元格，计有c：A3种方法.由加法原理知：不同着色方法共有 2A4C3A3=48+24=72 （种）练习 1.将 3 种作物种植在排成一行的 5 块试验田里，每快种植一种作物且相 邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的种植方法共 _ 种（以数字作答）(72)2.某城市中心广场建造一个花圃，花圃分为 6 个部分（如图），现要栽种4 种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一 样颜色的话，不同的栽种方法有 _ 种（以数字作答）.（120）3.如图，用不同的 5 种颜色分别为 ABCD 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数.（540）4.如图：四个区域坐定 4 个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单132位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜 色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）5.将一四棱锥（如图）的每个顶点染一种颜色，并使同 一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不 同的染色方法共 种（420）2.给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色，则不同的着色 方法有_72_种十三.几何问题例 20. （1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（）A 70种 B 、64 种 C 、58 种 D 、52 种解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成C；四面体，但 6 个表 面和 6 个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所以四面体实际共有C8-12 =58个.（2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的 取法共有（）A、150 种 B 、147 种C 、144 种 D 、141 种解析：10 个点中任取 4 个点共有C10种，其中四点共面的有三种情况：在 四面体的四个面上，每面内四点共面的情况为C：,四个面共有4C：个；过 空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与对棱中点的三角 形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 况-4雳一3一6=141种.练习 1.四面体的棱中点和顶点共 10 个点（1）从中任取 3 个点确定一个平面, 共能确定多少个平面？任取 4 个点，不共面的有多少个？任取 3 个：-4C63+4-3C：+3-6C4+6+2X6=29任取 4 个:C：o-4C：-6 -3 =141练习（2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点 可构成多少个不同的四面体，从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面 体有C；-12=58个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3X58=174 对.练习 3.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与各棱中点取 3 个点，使它们和 点 A在同一平面上，不同的取法有 _种（3c；+3=33）练习 4:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到 B 的最短路径有多少种？（C；=35）十四：递推法例 21、一楼梯共 10 级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上 n 级楼梯的走法为 an种，易知 a1=1,a2=2,当 n2 时，上 n 级 楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有an-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有an-2种走法，由加法原理知：an=an-1+ an-2,据此，a3=a1+a2=3,a4=a#+a2=5,a5=a4+as=8,a6=13,a7=21,a8=34,a9=55,a10=89.故走上 10级楼梯共有 89 种不同的方法。变式、 一个楼梯共 18 个台阶 12 步登完， 可一步登一个台阶也可一步登两个 台阶，一共有多少种不同的走法.解：根据题意要想 12 步登完只能 6 个一步登一个台阶，6 个一步登两个台 阶，因此，把问题转化为6 个相同的黑球与 6 个相同的白球的排列问题.=924 （种）.十五.树图策略例 22.有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有AB、C D E 五个字母，现从 中取 5只,要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法红111223黄123121321211取法c；c：c；c：c5c3C；c2一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗 漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，能达到好的效练习.3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球 仍回到甲的手中，则不同的传球方式有 _N=10对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用 公式进行运算，树图会收到意想不到的结果