数学第十一章 推理与证明 11.2 直接证明与间接证明

11.2直接证明与间接证明高考数学高考数学1.综合法是“由因导果”,即从已知条件出发,推导出所要证明的结论.因此,综合法又叫做顺推法或由因导果法.综合法格式从已知条件出发,顺着推证,由“已知”得“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求证的结论,这就是综合法的格式,它的常见书面表达是“,”或“”.2.分析法是“执果索因”,一步步寻求上一步成立的充分条件,因此分析法又叫做逆证法或执果索因法.分析法格式与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件,已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等).这种证明方法的关键在于需保证分析知识清单过程的每一步都是可以逆推的,它的常见书面表达是“要证,只需”或“ ”.3.数学中的命题都有题设(条件)和结论两部分.当我们证明一个命题时,不直接从题设出发去推证结论成立,而是从否定这个命题的结论出发,通过正确、严密的逻辑推理,由此引出一个新的结论,而这个新结论与题设矛盾(或与已知的定义、公理或定理相矛盾,或者自相矛盾),得出原结论的反面不正确,从而肯定原结论是正确的,这种间接证明的方法叫做反证法.4.应用反证法证明数学命题,一般有下面几个步骤:第一步:分清命题“pq”的条件和结论;第二步:做出与命题结论q相矛盾的假设q;第三步:由p和q出发,应用正确的推理方法,推出矛盾结果;第四步:断定产生矛盾结果的原因是开始所做出的假设q不真,于是原结论q成立,从而间接地证明了命题pq为真.所说的矛盾结果,通常是指推出的结果与已知公理、已知定义、已知定理或已知条件矛盾,与临时假设矛盾以及自相矛盾等各种情况. 解有关证明问题的常用解题技巧与方法解有关证明问题的常用解题技巧与方法在实际证明问题时,我们往往同时从已知条件与结论出发,寻求它们之间的联系.具体来说,一方面从问题的已知条件出发,用前进型分析法经逻辑推理导出中间结果;另一方面从问题的结论出发,用追溯型分析法回溯到中间,即导出同一个中间结果,从而沟通思路使问题得到解决.例(2016浙江理,20,15分)设数列an满足1,nN*.(1)证明:|an|2n-1(|a1|-2),nN*;(2)若|an|,nN*,证明:|an|2,nN*.n 1naa2n32方法方法技巧证明(1)由1得|an|-|an+1|1,故-,nN*,所以-=+n,-=+,故|an|n,均有|an|2,取正整数m0lo且m0n0,则=|-2,与式矛盾.综上,对于任意nN*,均有|an|2.m340na34g00nn|a| 220n20m340n20304| 2234nnalog0na