数学第十一章 推理与证明 11.1 合情推理与演绎推理

第十一章 推理与证明11.1合情推理与演绎推理高考数学高考数学1.归纳推理(1)定义:根据某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.(2)一般步骤:通过观察个别情况发现某些相同的性质;从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).一般地,如果归纳的个别情况越多,越具有代表性,那么推广的一般性命题就越可靠.知识清单2.类比推理(1)定义:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.(2)一般步骤:(i)找出两类事物之间的相似性或者一致性;(ii)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(或猜想).一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题就越可靠.类比推理的结论具有偶然性,既可能真,也可能假,它具有十分重要的实用价值,是一种合情推理.3.演绎推理主要的形式是三段论,其一般模式:(1)大前提已知的一般原理,(2)小前提所研究的特殊情况,(3)结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断.形式可以表示为:大前提:M是P,小前提:S是M,结论:S是P.它的本质是利用一般性原理推出相应的结论,再用结论之间的联系推导出结论成立. 用归纳推理求解相关问题的方法用归纳推理求解相关问题的方法归纳推理问题的常见类型及解题策略:(1)与数字有关的等式的推理.观察数字特点,找出等式左右两侧的规律及符号特点.(2)与不等式有关的推理.观察每个不等式的特点,注意纵向找规律.(3)与数列有关的推理.通常是先求出几个特殊现象,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系.(4)与图形变化有关的推理.合理利用特殊图形,归纳推理得出结论,并用赋值检验法检验其真伪性.方法技巧方法1例1(2017江苏常州高三质量检测,13)将正整数按下列方法分组:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:03,13,13,23,23,33,33,43,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=.解析由1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,可以归纳出第n组有(2n-1)个正整数,每组中的首项为(n-1)2+1,从而An=(n-1)2+1(2n-1)+=(2n-1)(n2-n+1),由03,13,13,23,23,33,33,43,可以归纳出第n组的两个数为(n-1)3,n3,从而Bn=n3-(n-1)3,所以An+Bn=(2n-1)(n2-n+1)+n3-(n-1)3=2n3.(2n1)(2n1 1)2 答案2n3 用类比推理求解相关问题的方法用类比推理求解相关问题的方法类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征,破解的方法是利用已经掌握的数学知识,分析两类对象之间的关系,通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征.类比推理的一般步骤:(1)定类,即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征,如两类不同的测度之间的关系导数关系;(2)推测,即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;方法2(3)检验,即检验猜想的正确性,要将类比推理运用于简单推理之中,在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.例2二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度V=8r3,则其四维测度W=.43解析二维空间中,圆的一维测度(周长)l=2r,二维测度(面积)S=r2,观察发现S=l,三维空间中,球的二维测度(表面积)S=4r2,三维测度(体积)V=r3,观察发现V=S,故猜想四维空间中,W=V,则W=2r4.43答案2r4 破解演绎推理思想瓶颈的技巧破解演绎推理思想瓶颈的技巧在应用三段论推理来证明问题时,首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,结论必定是正确的,因此明确问题的大前提和小前提是正确解题的关键.例3(2017江苏扬州质检)对于定义域为0,1的函数f(x),如果同时满足:对任意的x0,1,总有f(x)0;f(1)=1;对任意的x10,x20,x1+x21,都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立,则称函数f(x)为理想函数.(1)若函数f(x)为理想函数,证明:f(0)=0;(2)试判断函数f(x)=2x(x0,1),f(x)=x2(x0,1),f(x)=(x0,1)是不x方法3是理想函数.解析(1)证明:取x1=x2=0,则x1+x2=01,f(0+0)f(0)+f(0),f(0)0.又对任意的x0,1,总有f(x)0,f(0)0.于是f(0)=0.(2)对于f(x)=2x,x0,1,f(1)=2,不满足定义中的条件,f(x)=2x(x0,1)不是理想函数.对于f(x)=x2,x0,1,显然f(x)0,且f(1)=1.任取x1,x20,1,x1+x21,f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-=2x1x20,即f(x1)+f(x2)f(x1+x2).21x22xf(x)=x2(x0,1)是理想函数.对于f(x)=,x0,1,显然满足条件.对任意的x1,x20,1,x1+x21,有f2(x1+x2)-f(x1)+f(x2)2=(x1+x2)-(x1+2+x2)=-20,即f2(x1+x2)f(x1)+f(x2)2.f(x1+x2)f(x1)+f(x2),不满足条件.f(x)=(x0,1)不是理想函数.综上,f(x)=x2(x0,1)是理想函数,f(x)=2x(x0,1)与f(x)=(x0,1)不是理想函数.x12x x12x xxx