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专题二 三角变换与平面向量、复数2i()ii1.ii()0001000ii2ab ababzab abbzabzbzabzabzababcdabcd RRR形如，的数叫做复数，其中 是虚数单位，把复数的形式叫做复数的代数形式记作，当且仅当时，为实数；当且仅当时，；当时，叫做虚数；当且时， 叫作纯虚数 与分别叫做复数的实部和虚部两个复数的实部和虚部分别相等两个复数相等，即如果 、 、 、，那么ii00.aacbadbb， 222122222121212222ii()ii()()i.2iii.i.3.4i.zzabzcd abcdabcdacbdzzzzzababiabi cdiacbcdicdzabcdacbdadbcababab R则复数的加、减、乘、除法运算按以下法则进行：设， ， ，下不再说明，加减法：推论：乘法：特别地，除法：22.dbcad icd 2222121234567.,.()5zzzzzzzz 重要等式：z z此等式虽然结构很简单，但它将 ， z紧密联系在一起，并且等式从左右具有实数化功能，从右左具有因式分解功能推论：若 为虚数，则平面向量的重点内容包括：向量的概念；向量的加法、减法的定义及运算法则 三角形法则和平行四边形法则 ；向量共线的充要条件；平面向量基本定理及应用；平面向量的坐标表示及应用；线段的定比分点坐标公式及应用；平面向量数量积的定义、运算律及应用 1212221122121().,1.()()123c46osaOABPABOPxOAyOB xyxyxyxyx xy 几个重要结论：平面向量基本定理：如果 、是同一平面内两个不共线的向量，那么对这个平面内任一向量 ，有且只有一对实数，使若 是直线外一点，则 在直线上的充要条件是、，且若，则1212eeaeeRaaaba ba ba,b21212122100.yx xy yx yx y；的充要条件是；的充要条件是a ba / /b 11()21 21111A. B. C D55552()A1 B3 C 3 D 1()2311iiiiaibiabiiabzi R复数的虚一、复数的概念及其部是 若，其中 ， 是虚数单位，则的值为 复数为虚数单位 在复平面内对应的例四则运算点所在象()A BC D限为 第一象限第二象限第三象限第四象限 211212B.1121 2551551.52ii2i2112234253.5A2Diiiiiaibabiababiiiziz 由，得，所以，因为，解故复数 对应点在，其虚第四象部为限故选故选，选析： 2,()A.B.20C343123_2_12._D.3ABCBCBDCACEABCDBCCDDBCDrABsAD BrsAEC 二、平面向量的基本概念及已知在中，点 在边上，且若则的在边长为的正三角形中，值是设，线则例性运算 22()3322,3322,1,0.33121311() (2213CBABACABACrsrsADCDCACBCABECECBCACBAD BECBABDCA CCC 则所以因为，所方法解：以在中，析)117 2361.4ACBCB CA 3113(0)0,0(0)()2236353(0)()26633.261.4DBCECCABCxADyADBEADBEAD BE 方法2：由题知， 为的中点， 为靠近点的的三等分点，以所在的直线为 轴，以所在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，可得，故，所以 ( 12)2,3( 231)()/1/23xOyABCABCABACtABtOCOBt 在平面直角坐标系中，已知点， 判断的形状；求以线段、为邻边的平行四边三、平面向量基本定理及坐标运形两条对角线的长；设实数 满足，例求算的值 3,51,1( 44)0| |3,521,1|1|1ABACBCAC BCACBCACBCABACABACABACABACABABC 所以为不等边的直角三角形，所以，又，由题设知，方又以线段、为邻边的平行四边形两条对角线长即为与，由法 ：解析：2,6| 2 104,4|4 22 10.| 4 2.ACABACABACABAC ，得，由，得所以所求的两条对角线的长 、 分别为 0,10,11,4( 21)32 ,52| 42,3()/2 |332| 2 10.1.4523DEEBCEEADDOCABtOCttOBABtOCOBttBCADt 设该平行四边形的第四个顶点为 ，两条对角线的交点为 ，则 为 、 的中点，又为 、 的中点，所以，故所求的两条对角线的长分别为由题设知， ，由，得，得方、法 ： 222(1)()2abc本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力；判断三角形的形状主要从边 是否有边相等或是否有的形式 和角 是否有角相等或是否有直角 两个方【点评】面分析 (4cossin )(sin4cos )(cos14sin )2tan()tan tan136/ .2/abcabcbca b设向量，若 与垂直，求的值；求的四、平面向量的数量积及最大值；若，求证：平面向量综合用4应例 2222222(2 )204sin()8cos()0tan()(sincos4cos4sin )sin2sincoscos16cos32cos sin16sin1730sin cos17 15sin2212.32.abcabca ba cbcbcbcb b由 与垂直，得，即，所以因为，所以易知的最大值为解析，所以: tan tan16in sin16cos cos4cos4coss4 2./i/n sin0.3a bc的最大值为证明：由，得s，所以即，tan()tan tan16bc先由向量垂直的条件得出，再结合三角函数的基本关系式、二倍角的正弦【点公式求解的最大值；最后利用切化弦得出向量平行的充评】要条件 (sincos)( sincos)04422,133333|()|23kkkRk aba bababab已知备，且， 求的最值；若，求 的取选题值范围 22222sinsincoscoscos2 .222cos24cos.10cos42423333321.|22110122coscos1cos1.2()11,2211122coscoscosttttytttt aa bababa bababb因为， ，所以，所以，所以令，则又所以在，解析时为11221,211.22tt 增函数，所以即所求式子的最大值为 ，最小值为 22222233.11cos2cos2.410cos2132111243 22231kkkkkkkkk由题设可得，所以又，所以由， ，得，所以解得，abababababa b【点评】：本题是以向量为工具考查三角函数、函数与导数的综合问题向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示在引入向量的坐标表示后，向量之间的运算便代数化了 1复数的基本概念，包括复数的实部、虚部；复数的分类：实数，虚数(纯虚数)，复数的模，共轭复数，复数相等等2复数运算的基本思路是“实数化”，把复数问题转化为实数问题3以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的向量化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常方便4以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程问题求解
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