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名校名师推荐114.5简单的三角色等变换考情考向分析】三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，此处为c级要求，填空、解答题均有可能出现，中低档难度.基础知识自主学习一回扣其础知识训练星址题目史知识梳理1 .两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(a3=cosocos3+sinasinC(or3)cos(a+f)=cosocosBsinasinC(/s)sin(a9=sinocosScosasinWS(”)sin(a+9=sinccos汁coscsin匿S(“+a)tanatan3tan(L3=1+tan/tanQ二tana+tan3tan(k3=1tan/tan卜”份)2 .二倍角公式sin2a=2sinocosa;cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=1-2sin2a；tan 2 a=2tan ad . 2 .1 tan a【概念方法微思考】1 .诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？提示诱导公式可以看成和差公式中3=k2(kCZ)时的特殊情形.2 .怎样研究形如f(x)=asinx+bcosx函数的性质？提示先根据辅助角公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+机将f(x)化成f(x)=Asin(wx+昉+k的形式，再结合图象研究函数的性质.显基础自测题组一思考辨析1. 判断下列结论是否正确(请在括号中打或x”)(1)存在实数a,&使等式sin(a+J3)=sina+sin3成立.(,)(2)对任意角a都有1+sina=|sin:+cos-2J.(V)(3)y=3sinx+4cosx的最大值是7.(x)(4)公式tan(a+s)=tan+tan可以变形为tana+tan3=tan(a+3)(1-tan龙an份，且对任意1-tanatan3角%3都成立.(x)题组二教材改编2. P109T6若cosa=-4,“是第三象限的角，则答案7J10解析:a是第三象限角，sina=1一cos2后一3. P111T2sin347coS1484sin77cos58=答案2解析sin347Cos148+sin77Cos58=sin(270+77)cos(90。+58)+sin77Cos58=(-cos77)(sin58J+sin77Cos58=sin58Cos77+cos58sin77。2=sin(58477)=sin135学4. P117T1tan10+tan50平gtan10tan50=答案,3解析tan 60 =tan(10 孑 50 ) =tan10平tan501tan10tan50tan104tan50=tan60(1tan10tan50)=V3-3tan10tan50；.原式=#一V3tan10tan50+V3tan10tan50=73.题组三易错自纠M-2sin40c6s40cos4071sin250答案1解析因为sin40cos40,所以sin40cos400.所以=1.“12sin40cOs40_/sin40,cos402_|sin40cos40|cos40sin40cos40-1-sin250cos40二叱cos50fcos40-|cos50|cos40二sin40八2sinf兀一a计sin2a6.化简：一J二cos22答案4sina解析2sin (兀一 ak sin 2 a 2sin 讣 2sin ocos acos2 212(1 + cos a,4sin M1 + cos 哈=、;=4sin a.1 + cos a7.已知4：；=卷，则tan2卜答案247解析方法sin4尸祭得sin 0c0s 0=(*)一、.r24(*)平方得2sinQcos0=,25可求得sin0+cos0=7,sin0=4,cos0=7,555.tan0=4,tan20=32tan0241tan207.方法sin有=啦4.10Jt_7,24.10tan 0= 43.tan(tan1,I471+tan0珈,22tan024故.24小工一题型分类深度剖析真题.仲题深度剖析重点续点多维探究第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式题型一和差公式的直接应用一-自主演练1.若sin(兀o)=且尹ati,则sin2a的值为32答案解析1因为sin(优o)=sina=-32t/3x十42上的两点，则 tan( a+份的值为答案 -73解析由题意可得，点 A(cos % sin a), B(cos & sin是单位圆与直线 y=/3x+y2的交点,sina且a+ga,5所以a+*Ttj,所以cos(a+3=4.于是cos3=cos(a+新-a=cos(a+9cosa+sin(a+,sina=_4XJ,32_J=2_155X5+5X525.(2)设a为锐角，若cosW，则sin12a+3加值为答案2425解析因为为锐角，且cos拼5,所以sinG+61cos266卜3所以=2sin吟c34240s9+6厂2X5*5=函（3）（2019如皋调研）已知cos行aC(50),tan(x+3=1,则tanB的值为5答案解析代(71,0),sin2155tan拓.c.r/八r1-21_故tan3=tan(a+一勾=*-=3.1+1X(2)命题点2三角函数式的变换例2（1）化简:1J(1+sin0+cos0瓶n?2+2cos0一cos2(0长兀)；求值.1+cos20水值.2sin20-sin101-tan5.an5解（1）由长（0,、小八9兀.0立伶020,啦+2cos0=4cos22=2cos2J 川、2-c0s 2= 2cos 2 sin 2-cos2.又(1+sin。+cos0)sin2cos2!1.J9c2”.2sin2cos2+2cos?sincJ八=2cos2cos0,c9.2cos2cos0故原式=-cos0_y2cos2名校名师推荐sin 5 cos 5 Ei2cos210./cos5(2)原式:2X2sin10cos10二sin10诉913到也102sin10cos25sin25sin5cos5cos 102sin 10cos10sin101sin10cos102sin100一丁2cos10=cos10-2sin202sin10cos1032sin(3010)2sin10cos10in102-cos102sin10/3sin10;g2sin10引申探究(J小(1+sin0cos0jsin5cos5化简：j(00Tl).“22cos0解.10兀，1-020,-sin 36 尸 3-1 sin(2 a+ 成卜 sin_啦；26.72 _2cos当Rxg)1=12e_7亚=17版=2550=50-(2)(1+tan17)(1+tan28)的值为答案2解析原式=1+tan174tan284tan17tan28=1+tan45(1-tan17tan28)+tan17tan28=1+1=2.一，3LiTtcos2a已知sina=5，aC町，则7”一版sin“十；J答案解析cos2acos2asin2a.sin(a+4/隹sina+乎cos:=cosasina,sin3a=5cos(X=5,原式=-7.(4)已知cossin2答案2,3解析由题意可知cos0)sin2!0=-cos16c-9；+cos21=-3-课时作业3基础保分练1.sin20cos10二cos160sin10=解析sin20cos10cos160sin10=sin 20一。一一。一。1cos10+cos20sin10=sin30=一2.2.已知“是第二象限角，且，一 1tan a= 一 3,则 sin 2 a=答案解析因为a是第二象限角,且tana=一13所以sin-兴0。0sa=-3.1010所以sin2a=2sinocosa=2X亚0x对10：=10.1035.43.右sina=5.I工业.,则sin4厂2cosa=_2=2i225解析因为cos2 Q+4y1 + cos 2 (a+ 42解析sina+4i2-cosa=sinocos4+cosasin4-2cosa=54.已知sin2a=I，贝Ucos231+cos2a+jri.cI2)1-sin2a所以 cos2 计4 i= 1一sin 2 a211 3 =12 6.5.已知a为锐角，若sin 63，则 cos广3厂答案2-6T6解析由于a为锐角,且sin则cos则cosa-3AcosRm工”6厂6inc6I兀i兀I=cosa6cos6+sin跃(0, 2 则 cos(a6 .已知cosa=Z，cos(a+份=一1，且a,33答案2327解析因为a2i,所以2a(0,nt因为cosa=1,所以cos2a=2cos2a1=379所以sin2a=1-cos22a=42,9,2J；所以a+3(0,nt所以sin(a+3)=y1-coS2(3尸,所以cos(a份=cos2a(a+阴=cos2ocos(a+3+sin2asin(a+份=(-7X-升喑*警=21*1-tan239口,7 .设a=cos50cos1274cos40sin127,b=(sin56cos56),c=1+tan2390，贝a，b,c的大小关系是答案acb解析a=sin40cos127+cos40sin127=sin(404127)=sin167=sin13；2-cos 56b=*(sin56cos56)=sin56=sin(56-45)=sin11；cos239-sin2392一ccos3922c=si239+cos239=cOs397n39=c0s78=sin12，2：cos39sin13sin12sin11.acb.8.2cos 10 二 sin 20sin 70。一的值是答案.3解析原式=2cos(30 20y- sin 20sin 70_ 2fcos 30 dos 20 斗 sin 30 sin 20 尸 sin 20sin 7073cos 20 f-cos 20 o= .sin 109.1-atan 10 二解析sin 10sin 10 cos 101 Vstan 10 cos 10 gsin 102sin 10 cOs 10sin 20答案解析由已知得2sinacosa=(sina+cosa)2(sin2a+cos2力=11=2,33又“为三角形内角,sino0,coso0,sinacosa=sin2a2sinoCOSa+COS2a3W，5.COS2a=(sinaCOSo)(Sina+COSo)=311.化简:2tan(451tan2(45ssinT-;2aCOSa一民COSa一sin,1答案2解析原式=tan(90-2)12sin 2 a z-COS 2 a_sin(90-2a)1sin2a-cos(90-2a)2COS2acos2a1sin2&1sin2a2cos2a2.12.已知 sin( a份cos a cos(3 o)sin片5,3是第三象限角，则sin5_4厂答案7 ,210解析依题意可将已知条件变形为sin(所以sin一sinaQa=sin3=，sin3=-7.55又3是第三象限角，所以cos3=-4.5=sin/osjcos肉inj3xN*4_75X2+5X210.“技能提升练13.若代后,兀)且3cos2a=sin仔a)则sin2a的值为1718答案解析由3cos2a=sin14c-a23(cos一.一2、2一/、asin3=2(cos8一sin必又由a2,兀m知，cosasin#0,2,.x23(cosa+sino)=2-,所以11+ 2sin acos a=而故sin2a=2sinocosa=;I1=17.181814. （2018江苏省五校联考）已知sin2x+5尸岩，则sin2x J+ sin2答案解析由条件得sin2x(= sin%2XV3=sinb+5厂/又 sin2 10cos23-5_ 2x10 2x7tsin2x% sin啸-2x 争导竽拓展冲剌统15.化简:1 sin 170I cos 15 ; sin 15cos 15 sin 15答案 443解析原式=gsin 10 cos 10 1 + tan 15 1 2sin(10 30 ) tan 45 平 tan 15cos 10 sin 101 tan 151?sin 201 - tan 45 tan 15=cos22x+5尸1-sin22x+；=-4tan(45+15)=-473.16.已知%限2,uy,且sin2+c0s2=sin(a-3则sin3=5答案匕i萨解析由sing+cosg=坐，平方可得sina=g.1-a&兀）cosa=-r7t/CJ又：_6_05,sin(a-=,c4.COS(as=二.5故sin3=sina(a6)=sinoCOS(aCOSasin(aa阳(-1T4%s10邛sin10J4则30T0,一一,310.（2018江苏省海安局级中学月考）已知a为三角形内角，sina+cos后号，则cos2a
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