理论力学空间汇交力系

空间汇交力系一、力在坐标轴上的投影1、直接投影法若己知力与正交坐标系三轴间的夹角，则用直接投影法Fx = F cos(F i)Fy = Fcos(F, j)Fz = F cos(F, k)空间力在平面上的投影2、二次（间接）投影法当力与坐标轴Qx、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Qq上，得到力尸勺，然后再把这个力投影到*、y轴上，这叫二次（间接）投影法。Fx = F sm /cos。Fy = F sin / sin (pFz = Feos/例求力H在三轴上的投影和对三轴的矩。解Fx = Feos。cos 9 = i， =yj/a2 +b2 +c2Fy = FcosOsin = 右yja2 +b2 +c2Fz = -Fsin0 =-Fcy/a2 +b2 +cZcsE虬顷)=虬(尤)+虬(4，) +虬(乙)=-%yla +b +caCOS 9 =a1 +b2My(F) = 0MZ(F) =虬(H) + Mz (Fv ) + Mz(Fz) = -Fya例如图所示，长方体棱长为、b、c,力F沿BD,求力F对AC之矩。解：AU(歹)= Mc(F)LcD|Mc(F)| = FcosaaFbaJ I? +)2Mac(F) = |mc(F)|cos/?=FabcJ2 +)2+b? +/二次投影法例三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F,力F与平面夹角为30。，求力F在三个坐标轴 上的投影。二、空间汇交力系的合成与平衡1、合成 将平面汇交力系合成结果推广到空间汇交力系得:瓦=瓦+瓦+ + =荫或瓦二誓2+跛3+以疽合力的大小和方向为：e=jQX)2+(2%)2+(互)2. VF.F、,v/7cos(l, /)=_ , cos(l, j) = , cos(乙，k) = _FrFrFr2、平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。徐= E =。以解析式表示为：F =()Fy =0空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。例图示为起重机吊起重物。起重杆的4端用球校链固定在地面上，B端用绳CB和拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角a =30。,CDB平面与水平面间的夹角ZEBF= 30,重物G=10kN。如不计起重杆的重量，试求起重杆所受的力和绳子的拉力。解：1.取杆48与重物为研究对象，受力分析如图。侧视图zzB（X，y，z）yh i2.列平衡方程2Fx=06 sin 45 % sin 45 = 0XFV =0 儿 sin30 -gcos45cos30-%cos45cos30 =0= 0 F cos45sin30 + F2 cos45sin30 + FA cos30-G = 03 .联立求解F=F2 =3.54 kN, Fa = 8.66 kN空间力对点的矩的作用效果取决于：力矩的大小、转向和力矩作用面方位。这三个因素可用一个矢量表示，如图。其模表示力矩的大小；指向表示力矩在其作用面内的转向（符合右手螺旋法则）；方位表示力矩作用面的法线。由于力矩与矩心的位置襄，所以力矩矢的始端一定在矩心。处，是定位矢量。力对点的矩以r表示力作用点4的矢径，则Mo(F) = r xF以矩心。为原点建立坐标系，则r = xi + yj + zkF = Fj+Fyj + Fzki j k:.MO(F) = rxF= x y zFx Fy Fz=(yFz -dFy )z +(zFx-xFz)j +(xFy-yFx)k7二、力对轴的矩1、力对轴之矩的定义力对轴的矩定义为力在与该轴垂直面上的投影对该轴与此垂直平面交点的矩。M z（F） = J/o（4y） = 尸9 力=2日0沥力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动个代数量。符号规定：从二轴正向看，若力使刚体逆时针转则取正号,反之取负。也可按右手螺旋法则确定其正负号。由定义可知：（1）当力的作用线与轴平行或相交（共面）时，力对轴的矩等于零。（2）当力沿作用线移动时，它对于轴的矩不变。2、力对轴之矩的解析表达式设力H在三个坐标轴上的投影分别为，Fy, Fz，力作用点A的坐标为(x, y, Z),则Mz(F) = M0(Fxy)。成)+肱。(瓦,)= xFy-yFx同理可得其它两式。故有Mx(F)=yFz-zFyM y(F) = zFx-xFzMzF) = xFy-yFx3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系比较力对点的矩和力对轴的矩的解析表达式得:MO(FyW。质)L =M)即：对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力矩关系定理ZMO(F) Mz(F) J| BO