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精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业81_&_8.2随机对照试验随机对照试验_概率概率82.1概率的加法公式概率的加法公式读教材读教材填要点填要点1随机对照试验随机对照试验随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取随机选取试验组和对照组是安排试验的基本原则，随机对照试验是指随机选取试验组试验组和和对照对照组组的试验我们把对照组中的处理方法称为使用的试验我们把对照组中的处理方法称为使用安慰剂安慰剂2概率的加法公式概率的加法公式如果如果的事件的事件 A1，A2，Am两两两两互斥互斥，则，则P(A1A2Am)P(A1)P(A2)P(Am)我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件我们把概率的加法公式称为概率的可加性，可加的前提是事件两两互斥两两互斥小问题小问题大思维大思维1概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？概率的可加性的前提是事件两两互斥，互斥与对立有什么异同？提示提示：对立事件是互斥事件的一种特殊情况对立事件是互斥事件的一种特殊情况，互斥不一定对立互斥不一定对立，对立一定互斥对立一定互斥当计算事件当计算事件 A的概率的概率 P(A)比较复杂，困难时，常用公式比较复杂，困难时，常用公式 P(A)1P(A)求解求解2必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式必修五古典概型中我们就接触过概率的加法公式 P(AB)P(A)P(B)，与本节的概率加，与本节的概率加法公式有什么区别和联系？法公式有什么区别和联系？提示提示： 本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广本节的概率加法公式是必修五概率加法公式的一个推广， 它们有共同的前提是事件两两它们有共同的前提是事件两两互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以互斥；但必修五中概率加法公式每个基本事件发生的可能相同，本节所述的事件发生的概率可以不相同，但事件间必须互斥不相同，但事件间必须互斥互斥事件的概率互斥事件的概率例例 1(1)由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：由经验得知，在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数排队人数012345 人及以上人及以上概率概率0.110.160.30.290.10.04则至多则至多 2 人排队的概率为人排队的概率为()A0.3B0.43精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业C0.57D0.27(2)围棋盒子中有多粒黑子和白子围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是都是白子的概率是1235.则从中任意取出则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是粒恰好是同一色的概率是()A.17B.1235C.1735D1解析解析(1)记记“没有人排队没有人排队”为事件为事件 A，“1 人排队人排队”为事件为事件 B，“2 人排队人排队”为事件为事件 C，A，B，C 彼此互斥彼此互斥记记“至多至多 2 人排队人排队”为事件为事件 E.则则 P(E)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.110.160.30.57.(2)设设“从中取出从中取出 2 粒都是黑子粒都是黑子”为事件为事件 A， “从中取出从中取出 2 粒都是白子粒都是白子”为事件为事件 B， “任意取任意取出出2 粒恰好是同一色粒恰好是同一色”为事件为事件 C，则则 CAB，且事件且事件 A 与与 B 互斥互斥所以所以 P(C)P(A)P(B)1712351735.即任意取出即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为粒恰好是同一色的概率为1735.答案答案(1)C(2)C运用互斥事件的概率加法公式解题时运用互斥事件的概率加法公式解题时， 首先要分清事件间是否互斥首先要分清事件间是否互斥， 同时要学会把一个事件分同时要学会把一个事件分拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏拆成几个互斥事件，但应考虑周全，不重不漏1 某商场有奖销售中某商场有奖销售中， 购满购满 100 元商品得元商品得 1 张奖券张奖券， 多购多得多购多得， 1 000 张奖券为一个开奖单位张奖券为一个开奖单位，设特等奖设特等奖 1 个个，一等奖一等奖 10 个个，二等奖二等奖 50 个个设设 1 张奖券中特等奖张奖券中特等奖、一等奖一等奖、二等奖的事件分别二等奖的事件分别为为A，B，C，求：，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率张奖券的中奖概率解解： (1)P(A)11 000， P(B)101 0001100， P(C)501 000120.故事件故事件 A， B， C 的概率分别为的概率分别为11 000，1100，120.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖张奖券中奖包含中特等奖、一等奖一等奖、二等奖二等奖设设“1 张奖券中奖张奖券中奖”这个事件为这个事件为 M，则则 MABC.A，B，C 两两互斥，两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)110501 000611 000，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业故故 1 张奖券的中奖概率约为张奖券的中奖概率约为611 000.对立事件的概率对立事件的概率例例 2一名射手在某次射击训练中，射中一名射手在某次射击训练中，射中 10 环、环、9 环、环、8 环、环、7 环的概率分别环的概率分别为为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在这次射击中：，计算这个射手在这次射击中：(1)射中射中 10 环或环或 7 环的概率；环的概率；(2)射中的环数低于射中的环数低于 7 环的概率环的概率解解(1)设设“射中射中 10 环环”为事件为事件 A，“射中射中 7 环环”为事件为事件 B，由于在这次射击中，事件，由于在这次射击中，事件 A 与与事件事件 B 不可能同时发生，故事件不可能同时发生，故事件 A 与事件与事件 B 是互斥事件，是互斥事件，“射中射中 10 环或环或 7 环环”的事件为的事件为 AB.P(AB)P(A)P(B)0.210.280.49.射中射中 10 环或环或 7 环的概率为环的概率为 0.49.(2)“低于低于 7 环环”从正面考虑有以下几种情况从正面考虑有以下几种情况： 射中射中 6 环环， 5 环环， 4 环环， 3 环环， 2 环环， 1 环环， 0 环环 但但由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手由于这些概率都未知，故不能直接求解可考虑从反面入手“低于低于 7 环环”的反面是的反面是“大于或等大于或等于于 7 环环”，即即 7 环环，8 环环，9 环环，10 环环，由于这两个事件必有一个发生由于这两个事件必有一个发生，故是对立事件故是对立事件，故可用对故可用对立事件的方法处理立事件的方法处理 设设“低于低于 7 环环”为事件为事件 E， 则事件则事件E为为“射中射中 7 环或环或 8 环或环或 9 环或环或 10 环环” 由由(1)知知“射中射中 7 环环”“”“射中射中 8 环环”“”“射中射中 9 环环”“”“射中射中 10 环环”彼此互斥彼此互斥故故 P(E)0.210.230.250.280.97，从而从而 P(E)1P(E)10.970.03.射中的环数低于射中的环数低于 7 环的概率为环的概率为 0.03.解决此类问题的规律是：解决此类问题的规律是：(1)必须分清事件必须分清事件 A、B 是否互斥是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式只有互斥事件才能用概率的加法公式；所求事件必须是所求事件必须是几个互斥事件的和满足以上两点才能用几个互斥事件的和满足以上两点才能用 P(AB)P(A)P(B)(2)当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率当直接求某一事件的概率较为复杂或根本无法求时，可先转化为求其对立事件的概率2某单位某单位 36 人的血型类别是：人的血型类别是：A 型型 12 人，人，B 型型 10 人，人，AB 型型 8 人，人，O 型型 6 人现从这人现从这 36人中任选人中任选 2 人，求此人，求此 2 人血型不同的概率人血型不同的概率解：解：这这 2 人血型不同的情况有：人血型不同的情况有：1 人人 A 型型 1 人人 B 型；型；1 人人 A 型型 1 人人 AB 型；型；1 人人 A 型型 1 人人 O型型；1 人人 B 型型 1 人人 AB 型型；1 人人 B 型型 1 人人 O 型型；1 人人 AB 型型 1 人人 O 型型共共 6 种情况种情况，而其反面是血而其反面是血型相同，只有型相同，只有 4 种情况种情况法一：法一：从从 36 人中任选人中任选 2 人，共有人，共有 C236种选法，种选法，2 人血型不同的概率为：人血型不同的概率为：PC112C110C236C112C18C236C112C16C236C110C18C236C110C16C236C18C16C2363445.法二：法二：由于由于“2 人血型不同人血型不同”与与“2 人血型相同人血型相同”为对立事件，因而为对立事件，因而 2 人血型不同的概率为：人血型不同的概率为：精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业P1C212C210C28C26C236111453445.解题高手解题高手妙解题妙解题随机抽取的随机抽取的 9 个同学中，至少有个同学中，至少有 2 个同学在同一月份出生的概率是个同学在同一月份出生的概率是_(默认每个月的天默认每个月的天数相同，结果精确到数相同，结果精确到 0.001)尝试尝试巧思巧思每个同学的生日月份都有每个同学的生日月份都有 12 种可能种可能，故故 9 人的生日月份共有人的生日月份共有 129个个至少有至少有 2 个人的个人的生日在同一月份生日在同一月份，若正面求解则分类情况复杂若正面求解则分类情况复杂，故可化为求其对立事件的概率故可化为求其对立事件的概率其对立事件为其对立事件为“所所有人的出生月份都不同有人的出生月份都不同”有有 A912种可能种可能妙解妙解总事件数为总事件数为 129个，至少两人在同一月份出生的对立事件是个，至少两人在同一月份出生的对立事件是“所有人出生月份均不相所有人出生月份均不相同同”，则其概率为，则其概率为 1A91212910.01550.98450.985.答案：答案：0.9851有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向事件向前进，每人一个方向事件“甲向南甲向南”与事件与事件“乙向南乙向南”是是()A互斥但非对立事件互斥但非对立事件B对立事件对立事件C相互独立事件相互独立事件D以上都不对以上都不对解析解析： 选选 A由于每人一个方向由于每人一个方向， 故故“甲向南甲向南”意味着意味着“乙向南乙向南”是不可能的是不可能的， 故是互斥事件故是互斥事件，但不是对立事件但不是对立事件2在所有的两位数在所有的两位数(1099)中，任取一个数，则这个数能被中，任取一个数，则这个数能被 2 或或 3 整除的概率是整除的概率是()A.56B.45C.23D.12解析：解析：选选 C共共 90 个数字，被个数字，被 2 或或 3 整除的数有整除的数有 45301560，故概率为，故概率为609023.3从从 5 张张 500 元元，3 张张 800 元元，2 张张 1 200 元演唱会的门票中任取元演唱会的门票中任取 3 张张则所取则所取 3 张中至少张中至少有有2 张价格相同的概率为张价格相同的概率为()A.14B.79120C.34D.2324解析解析：选选 C3 张中没有价格相同的取法有张中没有价格相同的取法有 C15C13C1230，则则 3 张中至少有张中至少有 2 张相同的概率为张相同的概率为 1精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业30C31034.4从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于从一批乒乓球产品中任选一个，如果其重量小于 2.45 g 的概率是的概率是 0.22，重量不小于，重量不小于 2.50 g的概率是的概率是 0.20，那么重量在，那么重量在 2.45 g2.50 g 范围内的概率是范围内的概率是_解析：解析：重量在重量在 2.45 g2.50 g 范围内的概率是范围内的概率是 10.220.200.58.答案：答案：0.585同时抛掷两个均匀的正方体玩具同时抛掷两个均匀的正方体玩具(各个面上分别标以数各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6)，则向上的一面数之积为则向上的一面数之积为偶数的概率为偶数的概率为_解析解析：向上的一面数之积为奇数向上的一面数之积为奇数，当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数当且仅当两个正方体向上的一面的数都为奇数，其可能出现其可能出现的结果数为的结果数为 C13C13，因此向上的一面数之积为奇数的概率，因此向上的一面数之积为奇数的概率 PC13C136614，从而向上的一面数之积为，从而向上的一面数之积为偶数的概率为：偶数的概率为：1P11434.答案：答案：346银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加银行部门收费项目多，手续繁琐，营业网点少等是人们比较关心的问题，银行部门虽增加了部分自助存取款功能的了部分自助存取款功能的 ATM 机机，也简化了部分手续也简化了部分手续，但仍没有彻底扭转这种局面但仍没有彻底扭转这种局面经统计经统计，在在某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：某银行营业大厅排队办理业务的人数及其概率如下：排队人数排队人数010 人人1120 人人2130 人人3140 人人41 人以上人以上概率概率0.120.270.300.230.08计算：计算：(1)至多至多 20 人排队的概率；人排队的概率；(2)至少至少 11 人但不超过人但不超过 40 人排队的概率人排队的概率解：解：记记“有有 010 人排队人排队”、“有有 1120 人排队人排队”、“有有 2130 人排队人排队”、“有有 3140 人人排队排队”、“至多至多 20 人排队人排队”、“至少至少 11 人但不超过人但不超过 40 人排队人排队”的事件分别为的事件分别为 A，B，C，D，E，F，则，则 A 与与 B 是互斥事件，事件是互斥事件，事件 B，C，D 两两互斥，从而两两互斥，从而(1)P(E)P(AB)P(A)P(B)0.120.270.39；(2)P(F)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.270.300.230.80.一、选择题一、选择题1一箱产品中有正品一箱产品中有正品 4 件、次品件、次品 3 件，从中任取件，从中任取 2 件，其中事件：件，其中事件：恰有恰有 1 件次品和恰有件次品和恰有 2 件次品；件次品；至少有至少有 1 件次品和全是次品；件次品和全是次品；至少有至少有 1 件正品和至少有件正品和至少有 1 件次品；件次品；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业至少有至少有 1 件次品和全是正品件次品和全是正品4 组事件中是互斥事件的有组事件中是互斥事件的有()A1 组组B2 组组C3 组组D4 组组解析：解析：选选 B对于对于，恰有，恰有 1 件次品就是件次品就是 1 件正品件正品 1 件次品，与恰有件次品，与恰有 2 件都是次品显然互斥件都是次品显然互斥；对于对于，至少有至少有 1 件次品包括有件次品包括有 1 件次品和件次品和 2 件全是次品件全是次品，两事件不互斥两事件不互斥；对于对于，至少有至少有 1 件正件正品包括恰有品包括恰有 1 件正品和件正品和 1 件次品以及件次品以及 2 件都是正品，件都是正品， 与至少有与至少有 1 件次品显然不互斥；对于件次品显然不互斥；对于，至，至少有少有 1 件次品包括恰有件次品包括恰有 1 件次品和件次品和 2 件全是次品件全是次品， 与全是正品显然互斥与全是正品显然互斥 故是互斥事件的是故是互斥事件的是、 .2某产品分甲某产品分甲、乙乙、丙三级丙三级，其中乙其中乙、丙两级均属次品丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为若生产中出现乙级品的概率为 0.03，丙级品的概率为丙级品的概率为 0.01，则对产品抽查一件抽得正品的概率为，则对产品抽查一件抽得正品的概率为()A0.09B0.98C0.97D0.96解析：解析：选选 D10.030.010.96.3甲甲、乙两人下棋乙两人下棋，甲获胜的概率为甲获胜的概率为 40%，甲不输的概率为甲不输的概率为 90%，则甲则甲、乙两人下成和棋的乙两人下成和棋的概率为概率为()A60%B30%C10%D50%解析解析：选选 D“甲不输甲不输”事件是事件事件是事件“甲获胜甲获胜”和和“甲甲、乙两人下成和棋乙两人下成和棋”的和事件的和事件，又事件又事件“甲获胜甲获胜”和和“甲甲、 乙两人下成和棋乙两人下成和棋”互斥互斥 所以甲所以甲、 乙两人下成和棋的概率为乙两人下成和棋的概率为 90%40%50%.4从从 20 名男同学，名男同学，10 名女同学中任选名女同学中任选 3 名参加体能测试，则选到的名参加体能测试，则选到的 3 名同学中既有男同学名同学中既有男同学又有女同学的概率为又有女同学的概率为()A.929B.1029C.1929D.2029解析解析： 选选 D既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学既有男同学又有女同学的对立事件为全为男同学或女同学， 全为男同学的概率为全为男同学的概率为C320C330，全为女同学的概率，全为女同学的概率C310C330，故所求事件概率为，故所求事件概率为 1C320C330C310C3302029.二、填空题二、填空题5在一次随机试验中在一次随机试验中，彼此互斥的事件彼此互斥的事件 A，B，C，D 的概率分别是的概率分别是 0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说则下列说法正确的命题序号是法正确的命题序号是_AB 与与 C 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件BC 与与 D 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件AC 与与 BD 是互斥事件，但不是对立事件是互斥事件，但不是对立事件A 与与 BCD 是互斥事件，也是对立事件是互斥事件，也是对立事件解析：解析：由于由于 A，B，C，D 彼此互斥，且彼此互斥，且 ABCD 是一个必然事是一个必然事件件，故其故其精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件答案：答案：6已知某台纺纱机在已知某台纺纱机在 1 小时内发生小时内发生 0 次、次、1 次、次、2 次断头的概率分别是次断头的概率分别是 0.8,0.12,0.05，则这台，则这台纺纱机在纺纱机在 1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为_，_.解析解析：断头不超过两次的概率断头不超过两次的概率 P10.80.120.050.97.于是于是，断头超过两次的概率断头超过两次的概率 P21P110.970.03.答案：答案：0.970.037一只袋子中装有一只袋子中装有 7 个红玻璃球，个红玻璃球，3 个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为个，取得两个红球的概率为715，取得两个绿球的概率为，取得两个绿球的概率为115，则取得两个同颜色的球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为；至少取得一个红球的概率为_解析解析：由于由于“取得两个红球取得两个红球”与与“取得两个绿球取得两个绿球”是互斥事件是互斥事件，取得两个同色球取得两个同色球，只需两互斥只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为 P715115815.由于事件由于事件 A“至少取得一个至少取得一个红球红球”与事件与事件 B“取得两个绿球取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为是对立事件，则至少取得一个红球的概率为 P(A)1P(B)11151415.答案答案：81514158若若 A，B 互为对立事件，其概率分别为互为对立事件，其概率分别为 P(A)4x，P(B)1y，则，则 xy 的最小值为的最小值为_解析解析：由题意由题意，x0，y0，4x1y1.则则 xy(xy)4x1y 54yxxy 9，当且仅当当且仅当 x2y时等号成立，故时等号成立，故 xy 的最小值为的最小值为 9.答案：答案：9三、解答题三、解答题9近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计类垃圾箱中总计 1 000 吨生活垃圾，数据统计如下吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨单位：吨)：“厨余垃圾厨余垃圾”箱箱“可回收物可回收物”箱箱“其他垃圾其他垃圾”箱箱厨余垃圾厨余垃圾400100100可回收物可回收物3024030其他垃圾其他垃圾202060(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；试估计厨余垃圾投放正确的概率；(2)试估计生活垃圾投放错误的概率试估计生活垃圾投放错误的概率精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解：解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾厨余垃圾”箱里厨余垃圾量箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量厨余垃圾总量40040010010023.(2)设生活垃圾投放错误为事件设生活垃圾投放错误为事件 A， 则事件则事件A表示生活垃圾投放正确表示生活垃圾投放正确 事件事件A的概率约为的概率约为“厨厨余垃圾余垃圾”箱里厨余垃圾量、箱里厨余垃圾量、“可回收物可回收物”箱里可回收物量与箱里可回收物量与“其他垃圾其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即除以生活垃圾总量，即 P(A)约为约为400240601 0000.7，所以，所以 P(A)约为约为 10.70.3.10袋中有袋中有 12 只小球只小球，分别为红球分别为红球、黑球黑球、黄球黄球、绿球绿球，从中任取一球从中任取一球，得到红球的概率是得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是得到黄球或绿球的概率也是512，试求得到黑球试求得到黑球、黄球黄球、绿球的概率各绿球的概率各是多少？是多少？解：解：从袋中任取一球，记事件从袋中任取一球，记事件 A摸得红球摸得红球，事件，事件 B摸得黑球摸得黑球，事件，事件 C摸得黄球摸得黄球，事件事件 D摸得绿球摸得绿球，则有，则有P A 13，P BC P B P C 512，P CD P C P D 512，P BCD P B P C P D 1P A 23.解得解得 P(B)14，P(C)16，P(D)14.所以得到黑球的概率为所以得到黑球的概率为14，得到黄球的概率为，得到黄球的概率为16，得到绿球的概率为，得到绿球的概率为14.
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