10讲指数、指数函数与幂函数

理解有理数指数幂的含义，了理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，能进行幂的解实数指数幂的意义，能进行幂的运算；理解指数函数的概念和意义；运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的性质，会画指数函理解指数函数的性质，会画指数函数的图象数的图象.1.(1)化简化简:(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5= .(2) = .351416151223a3561052aaaa33= = = .(1)(2 )0+2-2(2 ) -(0.01)0.5=1+ ( ) -( )=1+ - = .(2) =35141494121100121611016153561052aaaa33610553322aaaa3403aa34132()a23a12(-,-2)2.(2010北京海淀模拟北京海淀模拟)函数函数f(x)=a-2x的的图象经过原点，则不等式图象经过原点，则不等式f(x) 的解的解集是集是 .由由f(x)的图象经过原点知的图象经过原点知a=1，所以所以f(x)=1-2x 2x xy2y1 B.y2y1y3 C.y1y2y3 D.y1y3y212D 幂值大小比较问题，首先考虑指数函幂值大小比较问题，首先考虑指数函数的单调性，不同底先化成同底数的单调性，不同底先化成同底. y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=( )-1.5=21.5. 又因为又因为y=2x在在R上是单调增函数，上是单调增函数，1.81.51.44, 所以所以y1y3y2.12函数函数f(x)要在要在R上是增函数上是增函数2-a0 a1 a2-a+15.（2010江西模拟江西模拟) 已知已知f(x)= (2-a)x+1(x1) ax(x1),且且f(x)是是R上的增函数上的增函数,那么那么a的取值范围是的取值范围是( )AA. ,2) B.(1, ) C.(1,2) D.(1,+)3223 a1且且nN*），当），当n为奇数时，正数的为奇数时，正数的n次方根是一个次方根是一个 ,负数的负数的n次方根是一次方根是一个个 .这时这时a的的n次方根记为次方根记为 ;当当n为偶数时，正数为偶数时，正数a的的n次方根有两个，可用次方根有两个，可用符号符号 表示，其中表示，其中 叫做叫做 ,这里的这里的n叫做叫做 ,a叫做叫做 .ann次方根次方根正数正数负数负数anan根式根式根指数根指数被开方数被开方数(2)当当n为奇数时，为奇数时， =a;当当n为偶数时为偶数时, = = 2.分数指数幂分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义我们规定正数的正分数指数幂的意义是是: = (a0,m、nN*,n1).(2)正数的负分数指数幂的意义与负整数正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿；我们规指数幂的意义相仿；我们规 定定 = (a0,m,nN*,n1).(3)0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于0；0的负分数的负分数指数幂没有意义指数幂没有意义.nna|a|mnamnanna1111 a (a0) -a (a0,r、sQ);(2)(ar)s= (a0,r、sQ);(3)(ab)r= (a0,b0,rQ).4.指数函数及性质指数函数及性质(1)一般的一般的,函数函数 (a0,且且a)叫做叫做指数函数指数函数,其中其中x是是 ,函数的定函数的定义域是义域是 .121213131414ar+sarsarbr151516161717y=ax自变量自变量R（）指数函数（）指数函数y=ax的图象与性质如下表：的图象与性质如下表：a10a05.幂函数的定义幂函数的定义一般的说，型如一般的说，型如 的函数叫幂函数的函数叫幂函数,其中其中x是自变量，是自变量，是常数是常数.对于幂函数，对于幂函数，我们只讨论我们只讨论=1,2,3, ,-1时的情形时的情形.性质性质过定点过定点(0,1)当当x0时时, ;当当x0时时, ;当当x10y10y122222323增函数增函数减函数减函数2424y=x126.幂函数的性质幂函数的性质所有的幂函数在所有的幂函数在(0,+)上都有定义，且图象上都有定义，且图象都过都过(1,1)点点.当当为奇数时，幂函数为奇函为奇数时，幂函数为奇函数；当数；当为偶数时，幂函数为偶函数为偶数时，幂函数为偶函数.一般的一般的,当当0时时,幂函数幂函数y=x有下列性质：有下列性质：(1)图象都通过点图象都通过点 ;(2)在第一象限内在第一象限内,函数值函数值 ;(3)在第一象限内，当在第一象限内，当1时，图象是向下凸时，图象是向下凸的的;当当01时时,图象是向上凸的；图象是向上凸的；25252626(0,0),(1,1)随随x的增大而增大的增大而增大(4)在第一象限内，过点在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上后，图象向右上方无限伸展方无限伸展.当当0) ( )x (x0),所以函数所以函数y=( )-|x|在在(-,0上是减函数，在上是减函数，在0,+)上是增函数上是增函数.(此题可借助图象思考此题可借助图象思考)32232332232332且且y=( )-|x|=2323 合函数的值域可采用换元法，合函数的值域可采用换元法，结合中间变量的范围求函数的值域；结合中间变量的范围求函数的值域；复合函数复合函数y=f(x)的单调性要根据的单调性要根据y=au,u=f(x)两函数在相应区间上的两函数在相应区间上的单调性确定，遵循单调性确定，遵循“同增异减同增异减”的的规律规律.例例2 已知幂函数已知幂函数f(x)=xm2-m-2(mZ)是偶函数，且在是偶函数，且在(0,+)上是减函数上是减函数,求函数求函数f(x)的解析式的解析式,并讨论并讨论 g(x)=a - (x (a、bR)的奇的奇偶性偶性.( )f x( )bxf x 利用幂函数的定义和性质求解析利用幂函数的定义和性质求解析式，根据奇偶性的定义判断奇偶性式，根据奇偶性的定义判断奇偶性. 由题意可知由题意可知,m2-m-2是偶数是偶数,且且m2-m-20,即即-1m0,且且a1)的图象有两个公共点，则的图象有两个公共点，则a ；(2)已知已知f(x)=( + )x，x0，若，若f(x)0在定义域内恒成立在定义域内恒成立,则则a的取的取 值范围为值范围为 .1211xa (1,+)120a1时，作图知无解；时，作图知无解；当当0a1时时,作图知作图知02a10a0 x(ax-1)0.当当x0时时,ax-10 axa0,又又x0,所以所以a1；当当x0时时,ax-10 axa0,又又x1.综上，综上，a的取值范围为的取值范围为(1,+).12(1)2(1)xxx aa(2009北京丰台区期末）北京丰台区期末）已知函数已知函数f(x)=3x，f(a+2)=18，g(x)=3ax-4x的的定义域为定义域为0,1.（1）求求a的值；的值；（2）若函数若函数g(x)在区间在区间0,1上是单调上是单调递减函数，求实数递减函数，求实数的取值范围的取值范围. (方法一方法一)(1)由已知得由已知得3a+2=18 3a=2 a=log32.（2）此时此时g(x)=2x-4x.设设0 x10恒成立，恒成立，即即20+20=2，所以实数所以实数的取值范围是的取值范围是(-,2.(方法二方法二)(1)由已知得由已知得3a+2=183a=2a=log32.（2）此时，此时，g(x)=2x-4x.因为因为g(x)在区间在区间0,1上是单调减函数，上是单调减函数，所以所以g(x)=ln22x-ln44x= ln2-2(2x)2+2x0成立成立.设设2x=u1,2,上式成立等价于上式成立等价于-2u2+u0恒成恒成立立.因为因为u1,2，只需，只需2u恒成立，恒成立，所以实数所以实数的取值范围是的取值范围是(-,2.1.分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与分数指数幂的定义揭示了分数指数幂与根式的关系，因此，根式的运算可以转根式的关系，因此，根式的运算可以转化为分数指数幂的运算化为分数指数幂的运算.在运算过程中，在运算过程中，要贯彻先化简后计算的原则，并且注意要贯彻先化简后计算的原则，并且注意运算的顺序运算的顺序.2.指数函数指数函数y=ax的底数须满足条件的底数须满足条件a0且且a，研究几个指数函数尽量化为同底，研究几个指数函数尽量化为同底.3.指数函数的性质主要是单调性指数函数的性质主要是单调性,比较大小是单比较大小是单调性的一个重要应用，比较时注意底数与的调性的一个重要应用，比较时注意底数与的大小分类讨论大小分类讨论.(1)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性来比较；单调性来比较；(2)若底数、指数均不相同，则可引入中间量或若底数、指数均不相同，则可引入中间量或画图象来比较画图象来比较.4.利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复利用指数函数的概念、图象、性质讨论一些复合函数的相应问题是常考题型合函数的相应问题是常考题型,应注意数形结应注意数形结合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用合、分类讨论、化归等数学思想的灵活运用.学例1 (2009山东卷山东卷)函数函数y=的图象大致为（的图象大致为（ ）Axxxxeeee要使函数有意义，需使要使函数有意义，需使ex-e-x0，其定义，其定义域为域为x|x0,排除排除C、D.又因为又因为y= = = ,所以当所以当x0时，函数为减函数，故选时，函数为减函数，故选A.xxxxeeee2211xxee221xe学例2 (2009江苏卷江苏卷)已知已知a= ,函数函数f(x)=ax.若实数若实数m、n满足满足f(m)f(n)，则，则m、n的大小关系为的大小关系为 .mf(n)，得，得mn.512本节完，谢谢聆听