数字谜综合

第二讲 数字谜综合内容概述各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题 典型问题 1ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCDEFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】 因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小 A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759234是满足条件的最小乘积； 它们的差为12347591759234=(1000+234)759一(1000+759)234=1000（759234)=5250002.有9个分数的和为1，它们的分子都是1其中的5个是,另外4个数的分母个位数字都是5请写出这4个分数 【分析与解】 l一(+)= 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3371l的约数因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693 经试验得693+231+77+9=1010所以，其余的4个分数是：,.3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式 【分析与解】 1988=2277l=4497，+，在等式两边同时乘上，就得+显然满足题意 又+=，两边同乘以，就得+显然也满足 +，+均满足. 4小明按照下列算式： 乙组的数口甲组的数1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表141的表中有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正问改正后的两个数的和是多少? 【分析与解】 甲组的前三个数0.625，都是小于1的数，2与这三个数运算后，得5.05，4，4；不论减1还是加l后，这三个数都比2大，而这是2与小于1的数运算的结果，因此可以猜想方框内是除号现在验算一下：20.625=4.05；2=3；2=3；23=. 从上面四个算式来看，圆圈内填加号，这样有三个结果是对的，而4是错的 按照算式 乙组的数甲组的数+1* 23+1=1，显然不为1.5，上面已认定3是正确的，因此，只有把2改为1.5，才有1.53+1=1，而1.50.625+l=3.4，1.5+1=3.25 由此可见，确定的算式*是正确的表中有两个错误，4应改为4，2应改为1.5，4+1=5+=6改正后的两个数的和是6 5图143中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个项点上 (1)能否使8个三角形顶点上数字之和都相等?如果能，请给出填数方法：如果不能，请说明理由 (2)能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同?如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由 【分析与解】 (1)无论怎样填法，都不可以使八个三角形顶点上数字之和相等 事实上，假设存在某种填法使得八个三角形顶点上数字之和都相等，不妨设每个三角形顶点上数字之和为k 在计算八个三角形顶点上数字之和时，大正方形四个顶点上每个数字恰好使用过一次；中正方形四个顶点上每个数字各使用过三次；小正方形四个顶点上每个数字各使用过二次 因此，这八个三角形顶点上数字之和的总和为： 8k=(1+2+3+4)+3(1+2+3+4)+2(1+2+3+4)，即8k=60,k不为整数，矛盾，所以假设是错误的 (2)易知：不可能做到三角形的三个顶点上数字完全相同，所以三角形顶点上数字之和最小为1 +1+2=4，最大为3+4+411 而411共8个数，于是有可能使得8个三角形顶点上数字之和各不相同，可如下构造，且填法不惟一图(a)和图(b)是两种填法 6图145中有11条直线请将1至11这11个数分别填在11个圆圈里，使每一条直线上所有数的和相等求这个相等的和以及标有*的圆圈中所填的数【分析与解】 表述1：设每行的和为S，在左下图中，除了a出现2次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有4S=(1+2+3+11)+a=66+a； 在右上图中除了a出现5次，其他数字均只出现了1次，并且每个数字都出现了，于是有5S=(1+2+3+11)+4a66+4a 综合以上两式， 5-4得66-11a=0，所以a=6，则S=18 考虑到含有*的五条线，有4*+(1+2+3+4+11)-t=5S=90即4*-t=24，由t是111间的数且t*，可知*=7，而每行相等的和S为18.表述2：如下图所示，在每个圆圈内标上字母，带有*的圆圈标为x， 首先考虑以下四条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(x、d、b)，(j、e、c)，除了标有a的圆圈外，其余每个圆圈都出现了一次，而标有a的圆圈出现了两次，设每条直线上数字之和为S，则有： (111)112+a=4S，即66+a=4S 再考虑以下五条直线：(h、f、a)，(i、g、a)，(j、x、a)，(e、d、a)，(c、b、a)，同理我们可得到66+4a=5S 综合两个等式，可得a为6，每条直线上和S为18 最后考虑含x的五条直线：(x、h)，(x、g、f)，(j、x、a)，(x、d、b)，(i、x、c)其中除了x出现了5次，e没有出现，其他数字均只出现了一次，于是可以得到： 66+4xe=5S=90，即4x-e=24，由e是111间的数且ex可知x=7即每行相等的和S为18，*所填的数为7 7一个六位数，把个位数字移到最前面便得到一个新的六位数，再将这个六位数的个位数字移到最前面又得到一个新的六位数，如此共进行5次所得的新数连同原来的六位数共6个数称为一组循环数已知一个六位数所生成的一组循环数恰巧分别为此数的l倍，2倍，3倍，4倍，5倍，6倍，求这个六位数 【分析与解】方法一：=，=，。 对应有142857，285714，428571，571428，714285，857142，它们依次是142857的1、2、3、4、5、6倍 且只用了1、4、2、8、5、7这6个数字，满足题意 所以这个六位数为142857 方法二：首先可以确定最小的六位数的首位为1，不然2*的6倍就不是六位数，于是不妨设这个六位数为，那么6个六位数中必定存在一个数为. 而个位数字1，只能由11，37或99得到但是只能对应为(26)，所以只能是3得到即=3 于是，我们不难递推出d为5，c为8，b为2，a为4，所以这个六位数为142857方法三：部分同方法二，=3那么有10+l=(100000+)3，解得=42857所以这个六位数为142857