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第六篇 多元微积分学第九章 多元函数微分学及其应用我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必须引进多元函数本章将在一元函数微分学的基础上，讨论多元函数的微分及其应用从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推通过本章的学习，学生要掌握多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的具体方法.第1节 多元函数的基本概念1.1 平面点集为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的知识，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上讨论的在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域1.1.1 邻域设是平面上的一定点，是某一正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即,亦即 在几何上表示以为中心，为半径的圆的内部(不含圆周)上述邻域去掉中心后，称为的去心邻域，记作.如果不需要强调邻域的半径，则用表示点的邻域，用表示的去心邻域1.1.2 区域下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系设是平面上的一个点集，是平面上的一点，则与的关系有以下三种情形：(1) 内点：如果存在的某个邻域，使得，则称点为的内点(2) 外点：如果存在的某个邻域，使得，则称为的外点(3) 边界点：如果在点的任何邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称点为的边界点的边界点的集合称为的边界，记作例如：点集，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点，圆外部的点都是的外点，圆心及圆周上的点为的边界点；又如平面点集，直线上方的点都是的内点，直线下方的点都是的外点，直线上的点都是的边界点(图91)图91显然，点集E的内点一定属于E；点集E的外点一定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E如果点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集是开集，不是开集设E是开集，如果对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集(图92) 点集E1和E2都是连通的，点集不是连通的(图92)图92连通的开集称为开区域(开域)从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集如E1是开区域开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广开区域E连同它的边界构成的点集，称为闭区域(闭域)，记作 (即)闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广如E2及都是闭域，而既非闭域，又非开域闭域是连成一片的且包含边界的平面点集本书把开区域与闭区域统称为区域如果区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数，使，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域例如E1是有界区域，E2是无界区域记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点如果点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点显然，E的内点一定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点例如，设，那么点既是的边界点又是的聚点，但的这个聚点不属于；又如，圆周上的每个点既是的边界点，也是的聚点，而这些聚点都属于由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E再如点，原点是它的聚点，中的每一个点都不是聚点1.1.3 n维空间Rn一般地，由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn即n元有序数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标类似地规定，n维空间中任意两点与之间的距离为前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，是某一正数，则点的邻域为以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念1.2 多元函数的概念1.2.1 n元函数的定义定义1 设D是中的一个非空点集，如果存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点，都能由f 唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为其中叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作取定，对应的叫做所对应的函数值全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为或，即当n=1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作；当n=2时，D为平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作，若记，则也记作二元及二元以上的函数统称为多元函数多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素多元函数的定义域的求法，与一元函数类似若函数的自变量具有某种实际意义，则根据它的实际意义来决定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域例1 在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为（其中均为正常数)这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数该函数的定义域为例2 求函数的定义域D，并画出D的图形解 要使函数的解析式有意义，必须满足即,如图93划斜线的部分 图93 图941.2.2. 二元函数的几何表示设函数的定义域为平面区域D，对于D中的任意一点，对应一确定的函数值这样便得到一个三元有序数组，相应地在空间可得到一点当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S (图94)其中而函数的定义域D就是曲面S在xO y面上的投影区域例如表示一平面；表示球心在原点，半径为1的上半球面1.3二元函数的极限二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广二元函数的极限可表述为定义1 设二元函数的定义域是某平面区域D，P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于0时，函数值f(P)无限趋于某一常数A，则称A是函数当P趋于P0时的(二重)极限记为或，此时也称当时的极限存在， 否则称的极限不存在若点的坐标为，点的坐标为，则上式又可写为或 f (x, y)A（xx，yy）类似于一元函数，无限趋于A可用来刻画，点无限趋于可用刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义定义2 设二元函数的定义域为D，是D的一个聚点，A为常数若对任给的正数，不论多小，总存在，当，且时，总有则称A为当时的(二重)极限注 定义中要求是定义域D的聚点，是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点注意到平面上的点趋近于的方式可以多种多样：可以从四面八方趋于，也可以沿曲线或点列趋于定义1指出：只有当以任何方式趋近于，相应的都趋近于同一常数A时，才称A为当时的极限如果以某些特殊方式(如沿某几条直线或几条曲线)趋于时，即使函数值趋于同一常数A，我们也不能由此断定函数的极限存在但是反过来，当P在D内沿不同的路径趋于时，趋于不同的值，则可以断定函数的极限不存在二元函数极限有与一元函数极限相似的运算性质和法则，这里不再一一叙述例3 设判断极限是否存在?解 当沿x轴趋于时，有y=0，于是；当沿y轴趋于时，有x=0，于是但不能因为以上述两种特殊方式趋于时的极限存在且相等，就断定所考察的二重极限存在因为当沿直线)趋于时，有，这个极限值随k不同而变化，故不存在例4 求下列函数的极限：(1) ；(2)； (3)解(1)(2)当时，有这时，函数有界，而y是当x0且y0时的无穷小，根据无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，得(3) 从例4可看到求二元函数极限的很多方法与一元函数相同1.4 二元函数的连续性类似于一元函数的连续性定义，我们用二元函数的极限概念来定义二元函数的连续性定义3 设二元函数在点的某邻域内有定义，如果,则称函数在点处连续，称为的连续点；否则称在处间断(不连续)，称为的间断点与一元函数相仿，二元函数在点处连续，必须满足三个条件：函数在点有定义；函数在处的极限存在；函数在处的极限与处的函数值相等，只要三条中有一条不满足，函数在处就不连续由例3可知，在处间断；函数在直线上每一点处间断如果在平面区域D内每一点处都连续，则称在区域D内连续，也称是D内的连续函数，记为在区域D上连续函数的图形是一张既没有“洞”也没有“裂缝”的曲面一元函数中关于极限的运算法则对于多元函数仍适用，故二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数(在商的情形要求分母不为零)；二元连续函数的复合函数也是连续函数与一元初等函数类似，二元初等函数是可用含的一个解析式所表示的函数，而这个式子是由常数、的基本初等函数、的基本初等函数经过有限次四则运算及复合所构成的，例如,等都是二元初等函数二元初等函数在其定义域的区域内处处连续与闭区间上一元连续函数的性质相类似，有界闭区域上的连续函数有如下性质性质1(最值定理) 若在有界闭区域D上连续，则在D上必取得最大值与最小值推论 若在有界闭区域D上连续，则在D上有界性质2 (介值定理) 若在有界闭区域D上连续，M和m分别是在D上的最大值与最小值，则对于介于M与m之间的任意一个数C，必存在一点,使得以上关于二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质，可类推到三元以上的函数中去习题911判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点组成的点集和边界.(1) ； (2) ；(3) 2求下列函数的定义域，并画出其示意图：(1)； (2)；(3)； (4)3设函数，求(1); (2)； (3) .4讨论下列函数在点处的极限是否存在：(1) ； (2)5求下列极限：(1) ； (2)； (3)； (4)6证明：二元函数在点连续7设二元函数，试判断在点处的连续性8函数在何处是间断的？第2节 偏导数与全微分2.1 偏导数的概念2.1.1 偏导数的定义在研究一元函数时，我们从研究函数的变化率引入了导数概念由于二元函数的自变量有两个，关于某点处函数的变化率问题相当复杂，因此我们不能笼统地讲二元函数在某点的变化率在这一节，我们考虑二元函数关于某一个自变量的变化率，这就是偏导数的概念设函数在点的某邻域内有定义，x在有改变量，而保持不变，这时函数的改变量为，称为函数在处关于的偏改变量(或偏增量)类似地可定义关于的偏增量为有了偏增量的概念，下面给出偏导数的定义定义1 设函数在的某邻域内有定义，如果存在，则称此极限值为函数在处关于x的偏导数,并称函数在点处关于x可偏导记作类似地，可定义函数在点处关于自变量y的偏导数为，记作如果函数在区域D内每一点处的偏导数都存在，即存在，则上述两个偏导数还是关于x，y的二元函数，分别称为z对x，y的偏导函数(简称为偏导数)并记作不难看出，在关于x的偏导数就是偏导函数在处的函数值，而就是偏导函数在处的函数值由于偏导数是将二元函数中的一个自变量固定不变，只让另一个自变量变化，相应的偏增量与另一个自变量的增量的比值的极限；因此，求偏导数问题仍然是求一元函数的导数问题求时，把y看做常量，将看做x的一元函数对x求导；求时，把x看做常量，将看做y的一元函数对y求导三元及三元以上的多元函数的偏导数，完全可以类似地定义和计算，这里就不讨论了例1 求函数在点处的偏导数解 将y看成常量，对x求导得；将x看成常量，对y求导得再将代入上式得例2 求函数的偏导数解 ，例3 设，求证：证 因为，所以 例4 求函数的偏导数解 将y和z看做常量，对x求导得，同样可得，2.1.2 二元函数偏导数的几何意义由于偏导数实质上就是一元函数的导数，而一元函数的导数在几何上表示曲线上切线的斜率，因此，二元函数的偏导数也有类似的几何意义设在点处的偏导数存在，由于就是一元函数在处的导数值，即，故只须弄清楚一元函数的几何意义，再根据一元函数的导数的几何意义，就可以得到的几何意义在几何上表示一曲面，过点作平行于xz面的平面，该平面与曲面相截得到截线：若将代入第一个方程，得可见截线是平面上一条平面曲线，在上的方程就是从而表示在点处的切线对x轴的斜率(图9-5)同理，表示平面与的截线：在处的切线对y轴的斜率(图95)图95例5 讨论函数在点(0,0)处的两个偏导数是否存在解 同样有这表明在处对x和对y的偏导数存在，即在处两个偏导数都存在由上节例3知：该函数在处不连续本例指出，对于二元函数而言，函数在某点的偏导数存在，不能保证函数在该点连续但在一元函数中，我们有结论：可导必连续这并不奇怪，因为偏导数只刻画函数沿x轴与y轴方向的变化率，存在，只能保证一元函数在x0处连续，即与的截线在处连续同时只能保证在处连续，但两曲线,在处连续并不能保证曲面在处连续2.2 高阶偏导数设函数在区域D内具有偏导数=,那么在D内及都是x, y的二元函数如果这两个函数的偏导数还存在，则称它们是函数的二阶偏导数按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：， ，其中 (或)与 (或)称为的二阶混合偏导数同样可定义三阶，四阶，n阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 求函数的所有二阶偏导数和解 因为=y+2xsiny, =x+x2cosy,所以 =2siny, 12xcosy, =1+2xcosy, =x2siny， 从本例我们看到,即两个二阶混合偏导数相等，这并非偶然事实上，有如下定理定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数和在区域D内连续，则在该区域内有定理1表明：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.对于二元以上的函数，也可以类似的定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关例7 验证函数满足方程 解 所以 ，故 =2.3 全微分2.3.1 全微分的概念我们知道，一元函数如果可微，则函数的增量 y可用自变量的增量x的线性函数近似求得在实际问题中，我们会遇到求二元函数的全增量的问题，一般说来，计算二元函数的全增量 z更为复杂，为了能像一元函数一样，用自变量的增量x与 y的线性函数近似代替全增量，我们引入二元函数的全微分的概念定义2 设函数在的某邻域内有定义，如果函数z在处的全增量可表示成，其中A，B是与x，y无关，仅与有关的常数，o（）表示当x0，y0时关于的高阶无穷小量，则称函数在处可微，而称为在点处的全微分，记作或，即若在区域D内处处可微，则称在D内可微，也称是D内的可微函数在处的全微分记作dz，即二元函数在点P(x,y)的全微分具有以下两个性质：(1) 是的线性函数，即；(2) ,，因此，当都很小时，可将作为计算 z的近似公式多元函数在某点的偏导数即使都存在，也不能保证函数在该点连续但是对于可微函数却有如下结论：定理2 如果函数在点处可微，则函数在该点必连续这是因为由可微的定义，得，即 即函数在点处连续一元函数可微与可导是等价的，那么二元函数可微与可偏导之间有何关系呢?定理3 如果函数在点处可微，则在该点的两个偏导数都存在，且有证 因为函数在点处可微，故，令，于是由此得 ，即 同理可证得 定理3的逆命题是否成立呢? 即二元函数在某点的两个偏导数存在能否保证函数在该点可微分呢? 一般情况下答案是否定的如函数在处两个偏导数都存在，但在处不连续，由定理2知，该函数在处不可微但两个偏导数既存在且连续时，函数就是可微的我们不加证明地给出如下定理定理4 如果函数在处的偏导数存在且连续，则函数在该点可微类似于一元函数微分的情形，规定自变量的微分等于自变量的改变量即，于是由定理3有以上关于二元函数的全微分的概念及结论，可以类推到三元以上的函数中去比如若三元函数在点处可微，则它的全微分为例8 求下列函数的全微分： (1) ； (2) 解 (1) 因为,，所以(2) 因为，,，所以 例9 求在点处的全微分解 因,得，于是 3.1.2全微分的运算法则类似于一元函数微分的运算法则，有定理5 (全微分四则运算法则) 设，在处可微，则1) 在处可微，且;2) 若k为常数，在点处可微，且；3) 在点处可微，且;4) 当g(x,y)0时，在点处可微，且 例10 求的全微分解 ，习题921求下列各函数的偏导数：(1) ; (2) ； (3) ； (4) 2已知，求，3设，求4设，求证：5求下列函数的所有二阶偏导数(1) ; (2) ； (3) ； (4) 6设，求及7验证满足8求下列函数的全微分.(1) ； (2) ； (3 ) ； (4) 9设，求10设求第3节 多元复合函数和隐函数的求导法则3.1复合函数的求导法则3.1.1 复合函数的求导法则现在要将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形，多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用定理1 设函数), 其中,如果函数,都在x点可导，函数在对应的点处可微，则复合函数在x处可导，且 (9-3-1)证 设自变量x的改变量为x，中间变量和的相应的改变量分别为u和v，函数z的改变量为z因在处可微，由可微的定义有，其中,，且，故有因为和在点x可导，故当时，u0，v0，0，在上式中令x0，两边取极限，得注意，当x0时，0这是由于，这说明x0时，是有界量，为无穷小量从而0（x0）用同样的方法，可以得到中间变量多于两个的复合函数的求导法则比如,而,，则 （9-3-2）例1 设，,求解 利用公式(9-3-1)求导，因为 ，,，所以 本题也可将,代入函数中，再用一元函数的取对数求导法，求得同样的结果观察公式(9-3-1) ，(9-3-2)可以知道，若函数z有2个中间变量，则公式右端是2项之和，若z有3个中间变量，则公式右端是3项之和，一般地，若z有几个中间变量，则公式右端是几项之和，且每一项都是两个导数之积，即z对中间变量的偏导数再乘上该中间变量对x的导数公式(9-3-1),(9-3-2)可借助复合关系图来理解和记忆图96公式(9-3-1) ，(9-3-2)称为多元复合函数求导的链式法则上述定理还可推广到中间变量依赖两个自变量x和y的情形关于这种复合函数的求偏导问题，有如下定理：定理2 设在(u,v)处可微，函数及在点的偏导数存在，则复合函数在处的偏导数存在，且有如下的链式法则 （9-3-3）可以这样来理解（9-3-3）：求时，将y看做常量，那么中间变量u和v是x的一元函数，应用定理1即可得但考虑到复合函数以及与都是x, y的二元函数，所以应把（9-3-1）中的全导数符号“”改为偏导数符号“”公式（9-3-3）也可以推广到中间变量多于两个的情形例如，设,的偏导数都存在，函数可微，则复合函数对x和y的偏导数都存在，且有如下链式法则 （9-3-4）特别对于下述情形：可微，而的偏导数存在，则复合函数对x及y的偏导数都存在，为了求出这两个偏导数，应将f中的变量看做中间变量：此时， 由公式（9-3-4）得 （9-3-5）注 这里与的意义是不同的是把中的u与y都看做常量对x的偏导数，而却是把二元复合函数中y看做常量对x的偏导数公式（9-3-3），（9-3-4），（9-3-5）可借助图97理解图97例2 设, 求解 ，例3 设可微，求对x及y的偏导数解 引入中间变量,由(9-3-3)得， 注 记号与分别表示对第一个变量与第二个变量在(）处的偏导数，可简写为与，后面还会用到这种表示方法例4 设，下面给出经济学中经常遇到的齐次函数的概念设函数的定义域为D，且当时，对任给的tR，t0，仍有如果存在非负常数k，使对任意的，恒有，则称二元函数为k次齐次函数k=1时，称为线性齐次函数例5 证明k次齐次函数满足证明 在中，令，当取定一点时是t的一元函数，于是有又因为，所以有因此，对任意的t，有.3.1.2 全微分形式不变性我们知道一元函数的一阶微分形式具有不变性，多元函数的全微分形式也具有不变性下面以二元函数为例来说明设具有连续偏导数，则有全微分如果u,v是中间变量，即,，且这两个函数也具有连续偏导数，则复合函数的全微分为可见，无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u,v的函数，它的全微分形式都是一样的，这种性质叫做多元函数的全微分形式的不变性例6 利用一阶全微分形式的不变性求函数的偏导数与全微分解 引入中间变量，则因此 ，3.2 隐函数的偏导数在一元函数的微分学中，我们曾介绍了隐函数的求导方法：方程两边对x求导，再解出y现在我们介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法导出隐函数的求导公式3.2.1 一个方程的情形定理3 设函数在点的某一邻域内有连续的偏导数且,，则方程在点的某邻域内惟一确定一个具有连续导数的函数，它满足条件，并且有 (9-3-6)公式(9-3-6)就是隐函数的求导公式这里仅对公式(9-3-6)进行推导将函数代入方程得恒等式其左端可以看作是x的一个复合函数，上式两端对x求导，得由于连续，且，所以存在点的一个邻域，在这个邻域内，所以有如果的二阶偏导数也都连续，我们可以把(9-3-6)的两端看作x的复合函数而再一次求导，得到例7 验证方程在点的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数且时，并求这个函数的一阶与二阶导数在的值解 设，则.由此，由定理3可知，方程在点的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数且时.所以 ，；例8 设, 求解法一 令，则由公式(9-3-6)得解法二 方程两边对x求导，注意y是x的函数，得解得 注 在第一种方法中x与y都视为自变量，而在第二种方法中要将y视为x的函数y(x)隐函数存在定理还可以推广到多元函数，下面介绍三元方程确定二元隐函数的定理定理4 设函数在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，则方程在点的某一邻域内能惟一确定一个有连续偏导数的函数，它满足条件，并且有 (9-3-7)这里仅对公式(9-3-7)进行推导将函数代入方程得恒等式其左端可以看作是x和y的一个复合函数，上式两端对x和y求导，得由于连续，且，所以存在点的一个邻域，在这个邻域内，所以有例9 设求解 设，则当时，得所以 3.2.2 方程组情形方程组 （9-3-8）中有四个变量，一般其中只能有两个变量独立变化，因此方程组（9-3-8）就可以确定两个二元函数下面给出方程（9-3-8）能确定两个二元函数u=u(x,y),v=v(x,y)的条件以及求u,v的偏导数公式定理5 设，在点的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又，且偏导数组成的函数行列式（称为雅可比( Jacobi )式）在点不等于零，则方程组（9-3-8）在点的某邻域内惟一确定连续且具有连续偏导数的两个函数，它们满足，且有， ， (9-3-9)定理5我们不证，关于公式(9-3-9)作如下推导：由于上述等式两边对x求偏导得由假设可知在点的某邻域内，系数行列式，解上述二元线性方程组得，同理可得公式(9-3-9) 的另外两个式子例10 设,求解 方程两边对x求偏导，注意u,v是x,y的二元函数，得将看成未知量，解上述方程组，在系数行列式时，方程组有唯一解.类似的，在系数行列式的条件下，可求得一般求方程组所确定的隐函数的导数(或偏导数)，通常不用公式法，而是对各方程的两边关于自变量求导(或求偏导)，得到所求导数(或偏导数)的方程组，再解出所求量例11 设函数,方程确定u是x, y的函数，其中可微；连续，且，求证：解 隐函数看成由方程组所确定当然同时还确定了另一函数对方程组的两个方程关于x求偏导，得解得 类似地可求得 故 习题931求下列复合函数的偏导数或导数：(1) 设，求；(2) 设，求; (3) 设，求;(4) 设，求;(5) 设，求;(6) 设，求.2设，其中为可微函数，验证：3设，其中为可微函数，证明：4设，求5设，求和6求下列函数的(其中f 具有二阶偏导数)：(1) ； (2); (3) 7设，证明：.8求下列隐函数的导数：(1) 设，求； (2) 设，求；(3) 设，求； (4) 设，求.9设，求.10设有连续偏导数，和分别由方程和确定，求 11设证明12设都是由方程所确定的具有连续偏导数的函数，证明13求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：(1) 设，求； (2) 设，求； (3) 设，其中具有一阶连续偏导数，求. 14设函数由方程组所确定，求第4节 方向导数和梯度4.1 方向导数利用二元函数的偏导数可以解决函数沿平行于坐标轴方向的变化率问题在许多实际问题中，还需要考虑函数沿其他方向的变化率如要预报某地的风速(风力与风向)，就必须知道气压在该处沿某些方向的变化率因此，有必要引进多元函数在某点沿一给定方向的方向导数的概念定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，为自点引出的射线，从x轴的正向逆时针转到射线l的转角为，为l上的另一点，记 (图98)如果极限存在，则称该极限值为函数在处沿方向l的方向导数，记作或，即 （9-4-1）图98定义中的极限表达式还可表示成另一形式设l的方向向量为e，则l的参数方程为所以，从而(9-4-1)式可表示为 （9-4-2）关于方向导数存在的条件及计算方法，有如下的定理定理1 如果函数在点处可微分，则函数在该点处沿任何方向l的方向导数都存在，且 = （9-4-3）证 由于函数在点处可微分，因此函数的增量为， 因为 ，所以 从而得到这表明了方向导数是存在的，且有例1 求函数在点处从点到的方向的方向导数解 这里射线l的方向就是向量的方向，将单位化得：，得 ， ，由偏导数连续可知函数在xOy平面上是可微的，所以公式9-4-3)还有另外的形式：设与l同向的单位向量为，其中，分别为l与x轴正向和y轴正向所成夹角(方向角)则当满足定理1的条件时，有 （9-4-4）同样可以证明：如果函数函数在点可微分，那么函数在该点沿着方向的方向导数为 （9-4-5）例2 求函数在点沿l的方向的方向导数，其中l的方向角分别为解 与l同方向的单位向量为：所以有函数在xOy平面上是可微的，所以4.2 梯度函数在某点沿方向l的方向导数刻画了函数沿方向l的变化情况，那么函数在某点究竟沿哪一个方向增加最快呢?为此将函数在处的方向导数的公式改写为，这里el(cos，sin)和为两个向量，且el(cos，sin)为与方向l一致的单位向量，于是有可见，g与el的方向一致(亦即g与l的方向一致)时，达到最大，即函数变化最快，的最大值为，即于是给出梯度的定义定义2 设在点处存在偏导数和,则称向量为函数在点P处的梯度，记作（或)，即梯度的长度(或模)为 故函数在点P处沿方向l的方向导数可写为梯度方向就是函数值增加最快的方向，或者说函数变化率最大的方向，也就是说函数在P点处的所有方向导数(若存在)中，沿梯度方向的方向导数最大，并且等于梯度的长度；沿梯度反方向的方向导数最小且为例3 设，求在点处沿任意方向的方向导数，并求方向导数的最大值和取得最大值的方向解 因为，所以由于沿梯度方向的方向导数最大，且最大方向导数为梯度的长度，而，graDf因此在处方向导数的最大值为，取得最大值的方向为例4 设，求及解 因为 ，所以有习题941求在点(1，2)处沿该点到点(2，2+)的方向的方向导数2求在点(1，1，1)处沿该点到点(2，2，2)的方向的方向导数3求在点(1，1，2)处沿方向l的方向导数，其中l的方向角分别为4求函数在点A(0，0，0)和点处的梯度以及它们的模5求函数在点处沿与Ox轴的正方向所成角为的方向l上的方向导数问在什么情况下，此方向导数取得最大值？最小值？等于零？6求函数在点处变化最快的方向,并求这个方向的方向导数第5节 多元函数的应用5.1 多元函数微分学的几何应用5.1.1 空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为：这里假定在上可导. 现在要求曲线上一点处的切线和法平面. 这里，. 在曲线上点的附近取一点. 作曲线的割线，其方程为，其中.以除上式各分母，得，当点M沿着趋于点M0时割线的极限就是曲线在点M0处的切线. 所以当Dt0，即MM0时, 得曲线在点M0处的切线方程为. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量T 就是曲线在点M0处的一个切向量. 法平面: 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面，其法平面方程为 . 例1 求曲线在点处的切线及法平面方程. 解 因为，而点所对应的参数.所以切线的方向向量为.于是, 切线方程为,法平面方程为 即. 若曲线的方程为：则曲线方程可看作参数方程:若都在处可导，由上面的讨论知，切向量为T .因此曲线在点处的切线方程为，在点处的法平面方程为.若曲线的方程为是曲线上的一个点. 设有对各个变量的连续偏导数，且这时方程组在点的附近能确定惟一连续可微的隐函数组使得 在方程组的两边分别对取导数，得到故可解得所以，得到曲线在点处的切线方程为曲线在点处的法平面方程为 同理可推出：当和时，曲线在点处的切线方程和法平面方程. 例2 求曲线在点处的切线及法平面方程. 解 为求切向量，将所给方程的两边对x 求导数.得,解方程组得，. .所求切线方程为,法平面方程为即 .5.1.2 曲面的切平面与法线 设曲面的方程为 是曲面上的一点，并设函数的偏导数在该点连续且不同时为零. 在曲面上，过点任意引一条曲线,假定曲线的参数方程式为,对应于点且不全为零. 曲线在点的切向量为T .曲面方程两端在的全导数为： .引入向量n=易见T与n是垂直的.因为曲线是曲面上通过点的任意一条曲线，它们在点的切线都与同一向量n垂直，所以曲面上通过点的一切曲线在点的切线都在同一个平面上. 这个平面称为曲面在点的切平面. 切平面的方程式是.曲面的法线: 通过点且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 法线方程为.曲面的法向量: 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 向量 n =就是曲面在点处的一个法向量. 例3 求球面在点处的切平面及法线方程式. 解 , . 法向量为n = 或n =. 所求切平面方程为 即.法线方程为 . 讨论: 若曲面方程为，问曲面的切平面及法线方程式是什么形式.提示: 此时. n = .例4 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程. 解 n=,n.所以在点处的切平面方程为，即.法线方程为.5.2 多元函数的极值及其求法5.2.1 多元函数的极值与最值类似一元函数的极值概念，我们有多元函数极值的概念定义1 设函数的定义域为， 为的内点. 若存在的某个邻域，对于该邻域内异于的任意点，都有，则称函数在点有极大值，点称为函数的极大值点；若对于该邻域内异于的任意点，都有，则称函数在点有极小值，点称为函数的极小值点极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为函数的极值点例如：函数在点处取得极小值；函数在点处取得极大值；而函数在点处既不取得极大值也不取得极小值这是因为，而在点的任何邻域内，既可取正值(、象限)，也可取负值(、象限)以上关于二元函数的极值的概念，可推广到元函数. 设元函数的定义域为， 为的内点. 若存在的某个邻域，对于该邻域内异于的任意点，都有（或），则称函数在点有极大值(或极小值).由一元函数取极值的必要条件，我们可以得到类似的二元函数取极值的必要条件定理1(极值存在的必要条件) 设函数在点处的两个一阶偏导数都存在，若是的极值点，则有证 若是的极值点，则固定变量，所得的一元函数在处取得相同的极值由一元函数极值存在的必要条件可得，即同样可证 使得两个一阶偏导数都等于零的点称为的驻点定理1表明，偏导数存在的函数的极值点一定是驻点，但驻点未必是极值点如，是它的驻点，但不是它的极值点函数也有可能在偏导数不存在的点取得极值如在处取得极大值，但该点的偏导数不存在怎样判断一个驻点究竟是否为极值点？下面给出一个判定定理定理2 (极值存在的充分条件) 设点是函数的驻点，且函数在点处的某邻域内具有连续的二阶偏导数，记， 则有(1) 如果，则为的极值点；且当时，为极小值；当时，为极大值(2) 如果，则不是的极值点(3) 如果，则不能确定点是否为的极值点例5 求的极值解 由方程组得驻点又 , ，在点处，又，所以函数取得极小值；在点处，函数在该点不取得极值；在点处，该点不是极值点；在点处，又，所以函数取得极大值与一元函数类似，我们也可提出如何求多元函数的最大值和最小值问题如果在有界闭区域D上连续，则函数在D上必有最大(小)值，最大(小)值点可以在D的内部，也可以在闭区域D的边界上如果在D的内部取得最大(小)值，那么这最大(小)值也是函数的极大(小)值，在这种情况下，最大(小)值点一定是极大(小)值点之一因此，要求函数在有界闭区域D上的最大(小)值时，需将函数的所有极大(小)值与边界上的最大(小)值比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值这种处理方法遇到的麻烦是求区域边界上的最大(小)值往往相当复杂例6 求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值解 由得，和，其中点在区域D的内部又 利用定理2：，因此点是的极大值点，为极大值再考虑区域D的边界上的函数值：在边界及上，在边界上，将代入中，得记，令得或已考虑，时，这时比较以上各函数值：，,可知在闭域D上的最大值为，最小值为在实际问题中，如果能根据实际情况断定最大(小)值一定在D的内部取得，并且函数在D的内部只有一个驻点的话，那么肯定这个驻点处的函数值就是在D上的最大(小)值例7 某厂要用钢板制造一个容积为的有盖长方形水箱，问长、宽、高各为多少时能使用料最省?解 要使得用料最省，即要使得长方体的表面积最小，设水箱的长为x，宽为y，则高为，表面积由，得驻点(，）由题意知，表面积的最小值一定存在，且在开区域的内部取得，故可断定当长为，宽为，高为=时，表面积最小，即用料最省的水箱是正方形水箱5.2.2 条件极值和拉格朗日乘数法以上讨论的极值问题，除了函数的自变量限制在函数的定义域内以外，没有其他约束条件，这种极值称为无条件极值但在实际问题中，往往会遇到对函数的自变量还有附加条件限制的极值问题，这类极值问题称为条件极值问题例如：假设某企业生产、两种产品，其产量分别为，该企业的利润函数为同时该企业要求两种产品的产量满足的附加条件为怎样求企业的最大利润呢?直接的做法就是消去约束条件，从中，求得，然后将代入利润函数中得这样问题转化为无条件极值问题按照一元函数的求极值方法，令得，再代入附加条件得因此，当企业生产5个单位的A产品和7个单位的B产品时，可获利润最大，最大利润为但是很多情况下，要从附加条件中解出某个变量不易实现，这就迫使我们寻求一种求条件极值的直接方法，拉格朗日乘数法能够解决这个问题我们来分析函数在条件 下取得极值的必要条件如果函数在处取得极值，则有假定在的某一邻域内函数与均有连续的一阶偏导数，而且. 由隐函数存在定理可知，方程确定一个连续且具有连续导数的函数,将其代入，得函数在取得的极值，相当于函数在点取得的极值由一元可导函数取得极值的必要条件可知而由隐函数的求导公式有，把它代入上式得这个式子与就构成了函数在条件下在点处取得极值的必要条件设，上述必要条件就变为引进辅助函数则方程组前两式就是.函数称为拉格朗日函数，参数称为拉格朗日乘子拉格朗日乘数法：欲求函数满足条件的极值，可按如下步骤进行：(1) 构造拉格朗日函数， 其中为待定参数.(2) 解方程组得及值，则就是所求的可能的极值点(3) 判断所求得的点是否为极值点，为极大值点还是极小值点这里我们再用拉格朗日乘数法来解答一下前面的例子先构造拉格朗日函数解方程组得即当企业生产5个单位A产品，7个单位B产品时利润最大，最大利润为868拉格朗日乘数法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形. 例如，要求函数在附加条件，下的极值，可以先做拉格朗日函数其中均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，与附加条件联立方程组，就能得到可能的极值点例8 求函数在附加条件下的极值.解 作拉格朗日函数.则有注意到以上三个方程的左端的第一项都是三个变量中某两个变量的乘积，将各方程两端同乘以相应缺少的那个变量，使各方程左端的第一项都成为，然后将三个方程的左右两端相加，得到所以.则得到解为.由此得到点是函数的唯一可能的极值点.应用二元函数极值的充分条件可知，点是极小值点.因此，函数在附加条件下在点处取得极小值例9 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，其中和分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨)，和分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小解 (1)依题意，总利润函数为由得，则（万元/吨)，（万元吨)因只有惟一的驻点，且所讨论的问题的最大值一定存在，故最大值必在驻点处取得最大利润为（万元）(2) 若价格无差别，则，于是，问题化为求函数在约束条件下的极值构造拉格朗日函数由得，则最大利润为（万元）由(1)，(2)两个结果可知，企业实行差别定价所得总利润要大于统一定价的总利润5.3 多元函数在经济学中的应用在一元函数的微分学中，我们通过导数研究了经济学中的边际概念，如边际成本，边际收益、边际利润等多元函数的偏导数，无非是对某一个自变量求导数，而将其他的自变量视作常量，它也反映了某一经济变量随另一经济变量的变化率，因此在经济学中同样也叫“边际”函数5.3.1 边际函数(1) 边际需求假设对某一商品的市场需求受到商品的价格P与企业的广告投入A这两个因素的影响，其需求函数为企业在决策时要研究商品价格的变化和企业广告投入的变化会对商品的需求产生怎样的影响为了解决这问题，一般的做法是假定其他变量不变，考虑一个变量变化时函数所受到的影响，这就要研究经济函数的偏导数价格变化对需求的边际影响为;广告投入变化对需求的边际影响为和分别称为价格的边际需求和广告投入的边际需求(2) 边际成本设某企业生产甲、乙两种产品，产量分别为x , y,总成本函数为，则甲产品的边际成本为，乙产品的边际成本为5.3.2 偏弹性与一元函数一样，还可以定义多元函数的弹性概念，多元函数的各种弹性称为偏弹性(1) 需求的价格偏弹性在经济活动中，商品的需求量Q受商品的价格、消费者的收入以及相关商品的价格等因素的影响假设若消费者收入及相关商品的价格不变时，商品需求量Q将随价格的变化而变化当存在时，则可定义需求的价格偏弹性为，其中 (2) 需求的交叉价格偏弹性需求的交叉价格偏弹性表示一种商品的需求量的变化相对另一种商品的价格变化的反应程度，在需求函数中，需求的交叉价格偏弹性定义为，其中
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