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第六节第六节 数列的综合问题数列的综合问题第五章第五章【例1】设an是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列(1)求数列an的公比；(2)证明：对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列等差、等比数列知识的综合自主解答：(1)解析：解析：设数列an的公比为q(q0，q1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3a5a4，即2a1q2a1q4a1q3，由a10，q0，得q2q20，解得q12，q21(舍去)，所以q2.(2)证明：证明：(法一)对任意kN，Sk2Sk1-2Sk(Sk2Sk)(Sk1Sk)ak1ak2ak12ak1ak1(2)0，所以，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列点评：点评：求解等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系，根据已知条件列出正确的方程或者方程组，求出数列的基本量，这样过程往往用到转化与化归的思想方法因此，对任意kN，Sk2，Sk，Sk1成等差数列1(2013韶关二模文改编)已知各项均为正数的等比数列an的首项a12，Sn为其前n项和，若5S1，S3,3S2成等差数列，则数列an的通项公式是_变式探究变式探究解析：解析：(1)由点(n，Sn)在曲线f(x)x24x上(xN*)知Snn24n，当n2时anSnSn1n24n2n5；当n1时，a1S13，满足上式数列an的通项公式为an2n5.(2)由bn(an5)2n1得bnn2n，Tn12222323(n1)2n1n2n.上式两边乘以2，得2Tn122223324(n1)2nn2n1，得Tn222232nn2n1，Tn n2n1，即Tn(n1)2n12.数列与函数知识的综合【例2】(2012肇庆二模)数列an的前n项和记为Sn，点(n，Sn)在曲线f(x)x24x上(xN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an5)2n1，求数列bn的前n项和Tn.自主解答：解析：解析：(1)因为5S1，S3,3S2成等差数列，所以2S35S13S2，即2(a1a1qa1q2)5a13(a1a1q)，化简得 2q2q60，解得：q2或q ，因为数列an的各项均为正数，所以q 不合题意，所以an的通项公式为：an2n.答案：an2n点评：点评：数列与函数的综合问题，一般是通过研究函数的性质、图象进而解决数列问题 变式探究变式探究2.(2013杭州名校模考)如图所示，设曲线y 上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形：OB1A1，A1B2A2，直角顶点在曲线y 上设An的坐标为(an,0)，A0为原点(1)求a1，并求出an和an1(nN*)之间的关系式；(2)求数列an的通项公式；(3)设bn (nN*)，求数列bn的前n项和Sn.【例3】(2013杭州一模)设在等差数列an和等比数列bn中，a11，b12，bn0(nN*)，且b1，a2，b2成等差数列，a2，b2，a32成等比数列(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cnabn，数列cn的前n项和为Sn，若 bn1t恒成立，求实数t的取值范围数列与不等式的综合解析：解析：(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q(q0)由题意得：解得dq3.所以an3n2，bn23n1.(2)因为cnabn3bn2323n1223n2.所以Snc1c2cn2(31323n)2n2 2n3n12n3. 因为 bn1t恒成立，所以3n123nt恒成立，即t(3n1)max，nN*.由于函数y3x1在(0，)上单调递减所以3n13112，故t2.所以实数t的取值范围是(2，)点评：点评：数列与不等式的综合问题有两类：(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明变式探究变式探究3(2012杭州二模)已知各项都是正数的等比数列an中，存在两项am，an(m，nN*)，使得 4a1，且a7a62a5，则 的最小值是()解析：解析：设等比数列的公比为q(q0)，则a5q2a5q2a5，解得q2，amana2mn242a，得mn6.等号在m2，n4时成立故选A.答案：A数列与算法的综合【例4】(2012常州模拟)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，xn，x2 012；y1，y2，yn，y2 012.(1)求数列xn的通项公式xn；(2)写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列yn的一个通项公式yn，并证明你的结论；(3)求Znx1y1x2y2xnyn(xN*，n2 012)解析：解析：(1)由框图知，数列xn中，x11，xn1xn2，xn12(n1)2n1(nN*，n2 012)(2)由框图知，数列yn中，yn13yn2，y12，y28，y326，y480.由yn13yn2，得 yn113(yn1)， 3，y113.数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列yn133n13n.yn3n1(nN*，n2 012)数列yn1是以3为首项，3为公比的等比数列yn133n13n.yn3n1(nN*，n2 012)(3)Znx1y1x2y2xnyn1(31)3(321)(2n1)(3n1)13332(2n1)3n13(2n1)记Sn13332(2n1)3n，则3Sn132333(2n1)3n1，得，2Sn323223323n(2n1)3n12(3323n)3(2n1)3n12 3(2n1)3n13n16(2n1)3n12(1n)3n16，Sn(n1)3n13.又13(2n1)n2，Zn(n1)3n13n2(nN*，n2 012)点评：点评：解答数列与算法的综合问题的一般步骤：(1)读懂程序框图，把算法语言转化为数学语言；(2)确定数列的类型，选择对应的定义、公式求解问题变式探究4执行如图所示的算法框图，若p4，则输出的S_.解析：解析：程序执行过程为：n1，S ；数列的实际应用【例5】(2013扬州质检)某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2008年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2012年年底分红后的资金；(2)求该企业到哪一年年底分红后的资金超过32 500万元解析：解析：设an为(2008n)年年底分红后的资金，其中nN*，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2)an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列an5001 0002n1，an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，该企业2012年年底分红后的资金为8 500万元(2)由an32 500，即2n132，得n6，该企业2015年年底分红后的资金超过32 500万元点评：点评：解答数列应用题的步骤：(1)审题仔细阅读材料，认真理解题意(2)建模将已知条件翻译成数列语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么(3)求解求出该问题的数学解(4)还原将所求结果还原到实际问题中变式探究变式探究5(2012武汉武昌区调研)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付38元；第二种，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此类推；第三种，第一天付0.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2倍，工作时间为n天(1)工作n天，记三种付费方式薪酬总金额依次为An，Bn，Cn，写出An，Bn，Cn关于n的表达式(2)如果n10，你会选择哪种方式领取报酬？解析：解析：(1)三种付酬方式每天金额依次为数列an，bn，cn，它们的前n项和依次分别为An，Bn，Cn.依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列an为常数数列，An38n.第二种付酬方式每天金额组成数列bn为首项为4，公差为4的等差数列，则Bn4n 42n22n.第三种付酬方式每天金额组成数列cn为首项是0.4，公比为2的等比数列，则Cn 0.4(2n1)(2)由(1)知，当n10时，A1038n3810380，B102n22n2102210220，C100.4(2n1)0.4(2101)409.2.B10A10C10.应该选择第三种付酬方案
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