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第五节第五节 数列的求和数列的求和第五章第五章【例1】求和：(1)Sn111111 ；(2)Sn ；(3)求数列1,34,567,78910，的前n项和Sn.分组后，可用公式求和思路点拨：思路点拨：通过分组，直接用公式求和自主解答：解析：解析：(1)ak11111010210k1(10k1)，k个1Sn (101)(1021)（10n1) (1010210n)n 当x1时，当x1时，Sn4n.(3)ak(2k1)2k(2k1)(2k1)(k1)Sna1a2an点评：点评：通过对原数列通项结构特点的分析研究，将数列分解为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和使用这种方法的关键是对通项的合理分解变形1求和：Sn变式探究变式探究错位相减法求和【例2】(2013惠州第三次调研)已知向量p(an,2n)，q(2n1，an1)，nN*，向量p与q垂直，且a11.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bnlog2an1，求数列anbn的前n项和Sn.思路点拨：思路点拨：(1)由向量p与q垂直，得2nan12n1an，an是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可求an.(2)由anbnn2n1，则Sn122322(n1)2n2n2n1，利用错位相减法可求其和自主解答：解析：解析：(1)因为向量p与q垂直，所以2nan12n1an0，即2nan12n1an，所以 2，所以an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1. (2)因为bnlog2an1，所以bnn，所以anbnn2n1，所以Sn122322(n1)2n2n2n1所以2Sn12222(n1)2n1n2n点评：点评：(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，就使用错位相减法求数列anbn的前n项和(2)“错位相减”的本质是“指数相同的两式相减”，因此在写出“Sn”和“qSn”的表达式后，将两式“指数相同的两项对齐”，以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式由得，Sn12222n1n2n2n2n1(1n)2n1，所以Sn1(n1)2n. 变式探究变式探究2(2012武汉武昌区调研改编)已知数列an满足a12，an13an3n12n(nN*)(1)设bn ，证明：数列bn为等差数列，并求数列an的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.(1)证明：证明：bn1bnbn为等差数列又b10，bnn1.an(n1)3n2n.(2)解析：设Tn031132(n1)3n，则3Tn032133(n1)3n1.2Tn323n(n1)3n1【例3】(2013四川内江市一模文改编)已知各项均不相等的等差数列an的前四项和为S414，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设Tn为数列 的前n项和，求证Tn .裂项相消法求和(1)解析：解析：设等差数列an的公差为d，因为a1，a3，a7成等比数列，所以(a12d)2a1(a16d)，解得a12d(舍去d0)因为S414，所以4a16d14，所以d1，a12，所以ann1(nN*)点评：点评：裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，没有抵消的项的代数和就是求和的结果使用此法的关键，一是合理裂项，二是正确抵消变式探究变式探究3(2012安徽江南十校联考)在等比数列an中，a10(nN*)，且a3a28，又a1，a5的等比中项为16.(1) 求数列an的通项公式(2)设bnlog4an，数列bn的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得 k对任意nN*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由解析：解析：(1)由题知a316，又a3a28，则a28，q2.an2n1.存在这样的正整数k可取最小值3.倒序相加法求和【例4】若f(x)对xR都有f(x)f(1x) .(1)求 (nN*)的值；(2)若数列满足anf(0) f(1)，求数列的通项公式点评：点评：等差数列求和公式的推导方法叫做倒序求和法如果一个数列an满足a1ana2an1，其前n项和Sn就可以用倒序求和法求解变式探究4函数yf(x)的图象关于点 对称，则f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)_.解析：解析：f(x)关于 对称，则有f(x)f(1x)2，Sf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，Sf(6)f(5)f(1)f(4)f(5)，2S212，S12.答案：12
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