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第一节第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法第五章第五章【例1】求下列数列的一个通项公式：(1)1，1,1，1，；(2)3,5,9,17,33，；(3) ，2， ，8， ，； (4)1,0， ，0， ，0， ，0，；(5)5,55,555,5 555，.给出数列的前几项，求数列的通项公式思路点拨：思路点拨：解此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求自主解答：自主解答：解析：解析：(1)an(1)n1或ancos(n1).(2)an2n1. (3)an .点评：点评：已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)符号用(1)n与(1)n1来调节，这是因为n和n1奇偶交错(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面将复习到)和其他方法来解决(4)此类问题无固定模式，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法(1)数列 的通项公式是an_；(2)数列10,11,10,11,10,11，的一个通项公式是an_；(3)数列1， 的通项公式是an_；(4)数列1， 的通项公式是an_.变式探究变式探究解析：解析：(1)这是个混合数列，可看成 故通项公式an2n (nN)(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：100,101,100,101，.故其一个通项为an10 (nN)(3)通项符号为(1)n，如果把第一项1看作 ，则分母为3,5,7,9，分母通项为2n1；分子为3,8,15,24，分子通项为(n1)21即n(n2)，所以原数列通项为an(1)n (4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(-1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n 答案：(1)2n (2)10【例2】(2012瑞安十校联考)若数列an的通项公式an 记Cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算C1，C2，C3的值，推测出Cn_. 思路思路点拨：点拨：根据已知等式写出前3项，注意将C1，C2，C3的结果写成相同的结构形式(不要写成小数)，这样方便观察规律，得出一般表达式由递推公式求数列的前几项，并由此写出通向公式点评：点评：(1)从特殊的事例，通过分析、归纳，抽象总结出一般规律，再进行科学的证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视(2)对递推公式，要求写出前几项，并猜想其通项公式，此外了解常用的处理办法，如迭加、迭代、迭乘及变形后结合等差(比)数列公式，也是很有必要的(3)求本题数列的通项公式还可用倒数法来推导，同学们不妨一试 变式探究变式探究2(1)数列an中，a11，对所有n2，都有a1a2a3ann2，则an_.(2)已知数列an满足：a11，anan1lg (n2)，则数列an的通项公式是_ 解析解析：(1)由a1a2a3ann2得a1a2a3an an1(n1)2，所以n2an1(n1)2，得an1 ，n1，把上面各式相加，得ana1lg1lg lg(5n5)答案：(1) (2)anlg(5n5)已知Sn与an的关系式，求通项公式an【例3】已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1，且6Sn(an1)(an2)，nN*.求an的通项公式 解析：解析：由a1S1 (a11)(a12)，解得a11或a12，由题设知a1S11，因此a12.又由an1Sn1 Sn (an11)(an12) (an1)(an2)，得an1 an30或an1an，因an0，故an1an不成立，舍去因此an1 an30，从而an是公差为3，首项为2的等差数点评：点评：已知an的前n项和Sn，求an时应注意以下三点：(1)应重视分类讨论法的应用，分n1和n2两种情况讨论，特别注意anSnSn1中需n2.(2)由SnSn1an推得的an，当n1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”(3)由SnSn1an推得的an，当n1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an利用Sn与an的关系求通项是一个重要内容，应注意Sn与an间关系的灵活运用列，故an的通项为an3n1(nN*)变式探究变式探究3(1)设Sn为数列an的前n项的和，且Sn (an1)(nN *)则数列an的通项公式an_.(2)(2012衡阳八中月考)正项数列an满足a12，(an2)28Sn1(n2)，则an的通项公式为an_.解析解析：(1)Sn (an1)，当n1时，S1a1 (a11)解得a13.当n2时，anSnSn1 (an1) (an11)，整理得 3，当n2时，数列an是以3为公比的等比数列，且首项a23a19.n2时，an93n23n.显然，当n1时也成立故数列的通项公式为an3n(nN *)(2)(an2)28Sn1(n2)，(an12)28Sn，两式相减得，8ana2n1a2n4an4an1，整理得，4（an+1+an)(an1an)(an1an)an是正项数列，an1an4，an是以4为公差，2为首项的等差数列an24(n1)4n2(nN*)答案：答案：(1)3n(nN*)(2)4n2(nN*)数列的函数特征【例4】已知数列的通项公式为an ，(1)0.98是不是它的项？(2)判断此数列的增减性和有界性解析：解析：(1) 0.98，解得n7，所以0.98是此数列的第7项(2)an1anan1an，故此数列是递增数列；此数列是有界数列点评：点评：数列的函数特征主要是数列的单调性和周期性数列的单调性和函数的单调性定义有所不同，由于数列中的自变量是正整数，故数列an单调递增的充要条件是对任意正整数anan1，单调递减的充要条件是对任意正整数an1an. 数列的周期性是指存在正整数k(常数)，对任意正整数ankak，在给出递推式关系的数列中可以通过计算数列的一些项的值，探究其周期性. 所以，数列的单调性问题、最值问题、周期问题等具有明显函数特征的问题可以用函数方法解决4(2012浙江名校高考研究联盟联考)数列an的前n项和为Sn，则“a20”是“数列Sn为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件变式探究解析：解析：a20，不能保证Sn是递增数列，如数列4n的前n项和构成的Sn不是递增数列；反之，若Sn为递增数列，则有S2S1，得a20.所以“a20”是“数列Sn为递增数列”的必要不充分条件故选B.答案：答案：B
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