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第3章图形与坐标3.1平面直角坐标系1.1.能在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标能在平面直角坐标系中根据点的位置写出点的坐标, ,根据点根据点的坐标确定点的位置的坐标确定点的位置. .2.2.知道坐标轴上的点和象限点的坐标特征知道坐标轴上的点和象限点的坐标特征, ,理解横纵坐标的特理解横纵坐标的特征征.(.(重点重点) )3.3.会用方向和距离表示两物体的相对位置会用方向和距离表示两物体的相对位置.(.(重点、难点重点、难点) )一、点与有序实数对的对应关系一、点与有序实数对的对应关系平面内的点可用有序实数对表示平面内的点可用有序实数对表示, ,平面上的点与有序实数对平面上的点与有序实数对_._.象限的划分及象限点的特征象限的划分及象限点的特征: :一一对应一一对应二、平面直角坐标系二、平面直角坐标系1.1.定义定义: :平面内画两条平面内画两条_的数轴的数轴, ,其中一条叫横轴其中一条叫横轴(_(_轴轴),),另一条叫纵轴另一条叫纵轴(_(_轴轴),),它们的交点是两个数轴的它们的交点是两个数轴的_,_,横横轴向轴向_是正方向是正方向, ,纵轴向纵轴向_为正方向为正方向, ,这样的两条数轴组成了这样的两条数轴组成了平面直角坐标系平面直角坐标系. .2.2.点的坐标定义点的坐标定义: :对于平面内任意一点对于平面内任意一点M,M,过点过点M M分别向分别向_作垂线作垂线, ,垂足在垂足在x x轴轴,y,y轴上对应的数分别为轴上对应的数分别为a,b,a,b,那么那么_叫作叫作点点M M的坐标的坐标, ,其中其中a a叫作叫作_,b_,b叫作叫作_._.互相垂直互相垂直x xy y原点原点右右上上x x轴轴,y,y轴轴(a,b)(a,b)横坐标横坐标纵坐标纵坐标三、用方位表示物体的位置三、用方位表示物体的位置用方位来刻画两个物体相对位置时用方位来刻画两个物体相对位置时, ,要知道一个物体相对于另要知道一个物体相对于另一个物体的一个物体的_和二者之间的和二者之间的_._.方位角方位角距离距离 ( (打打“”“”或或“”)”)(1)(1)点点(0,3)(0,3)在第一象限在第一象限. .( )( )(2)(2)一个点可能同时在两个象限一个点可能同时在两个象限. .( )( )(3)(3)点点(-1,-3)(-1,-3)到到x x轴的距离是轴的距离是3.3.( )( )(4)(4)如果两个点的横坐标相同如果两个点的横坐标相同, ,那么这两个点所在直线与横轴平那么这两个点所在直线与横轴平行行. .( )( )(5)(5)只用方位角也可以确定物体的位置只用方位角也可以确定物体的位置. .( )( )知识点知识点 1 1 平面直角坐标系内点的坐标特征平面直角坐标系内点的坐标特征【例例1 1】已知已知: :点点P(2m+4,m-1).P(2m+4,m-1).试分别根据下列条件试分别根据下列条件, ,求出点求出点P P的的坐标坐标. .(1)(1)点点P P在在y y轴上轴上. .(2)(2)点点P P在在x x轴上轴上. .(3)(3)点点P P的纵坐标比横坐标大的纵坐标比横坐标大3.3.(4)(4)点点P P在过在过A(2,-3)A(2,-3)点点, ,且与且与x x轴平行的直线上轴平行的直线上. .【解题探究解题探究】(1)(1)由点由点P P的坐标及的坐标及y y轴上点的坐标特征你能得到轴上点的坐标特征你能得到哪个方程哪个方程? ?解此方程解此方程, ,求出此时点求出此时点P P的坐标的坐标. .提示提示: :由题意得由题意得2m+4=0.2m+4=0.解方程解方程2m+4=02m+4=0得得m=-2,m=-2,所以点所以点P P的坐标为的坐标为(0,-3).(0,-3).(2)(2)仿照仿照(1)(1)的求解过程确定的求解过程确定P P在在x x轴上时的坐标轴上时的坐标. .提示提示: :根据题意得根据题意得m-1=0,m-1=0,解得解得m=1,m=1,所以点所以点P P的坐标为的坐标为(6,0).(6,0).(3)(3)根据点根据点P P的纵坐标比横坐标大的纵坐标比横坐标大3,3,你能得到哪个方程你能得到哪个方程? ?解此方解此方程程, ,求出此时点求出此时点P P的坐标的坐标. .提示提示: :m-1-(2m+4)=3.m-1-(2m+4)=3.解方程解方程m-1-(2m+4)=3m-1-(2m+4)=3得得m=-8,m=-8,所以所以P P点的坐标为点的坐标为(-12,-9).(-12,-9).(4)(4)与与x x轴平行的直线上的点有什么特征轴平行的直线上的点有什么特征? ?由此由此, ,你能得到哪个方你能得到哪个方程程? ?解此方程解此方程, ,求出此时点求出此时点P P的坐标的坐标. .提示提示: :与与x x轴平行的直线上的点纵坐标相同轴平行的直线上的点纵坐标相同. .由此可得方程由此可得方程m-1=m-1=-3,-3,解得解得m=-2,m=-2,所以点所以点P P的坐标为的坐标为(0,-3).(0,-3).【互动探究互动探究】本题中本题中, ,如果点如果点P P在一、三象限的角平分线上在一、三象限的角平分线上, ,那那么点么点P P的坐标是多少的坐标是多少? ?提示提示: :因为一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相同因为一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相同, ,所以所以可得可得2m+4=m-1,2m+4=m-1,解得解得m=-5.m=-5.所以点所以点P P的坐标为的坐标为(-6,-6).(-6,-6).【总结提升总结提升】坐标系中特殊位置点的坐标特征坐标系中特殊位置点的坐标特征1.1.坐标轴上的点的特征坐标轴上的点的特征: :(1)x(1)x轴上点的纵坐标为零轴上点的纵坐标为零. .(2)y(2)y轴上点的横坐标为零轴上点的横坐标为零. .2.2.特殊直线上点的坐标特征特殊直线上点的坐标特征: :(1)(1)与与x x轴平行的直线上的点的纵坐标都相同轴平行的直线上的点的纵坐标都相同; ;与与y y轴平行的直线上的点的横坐标都相同轴平行的直线上的点的横坐标都相同. .(2)(2)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等; ;第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. .注注: :以上反之亦成立以上反之亦成立. .知识点知识点 2 2 用方向和距离确定物体的位置用方向和距离确定物体的位置【例【例2 2】如图如图, ,在某海面上在某海面上,B,B港在观测站港在观测站A A的正北方向的正北方向10 n mile10 n mile处处, ,一艘轮船向正东方向航行一艘轮船向正东方向航行, ,当航行当航行10n mile10n mile到达到达D D处时处时, ,轮船轮船在观测站在观测站A A的北偏东的北偏东3030处处; ;继续航行继续航行20n mile20n mile到达到达C C港港. .(1)(1)计算观测站计算观测站A A与与C C港之间的距离和港之间的距离和BACBAC的度数的度数. .(2)(2)请用两种不同的方法确定请用两种不同的方法确定C C港所在的位置港所在的位置.3【思路点拨思路点拨】(1)(1)先确定先确定ABCABC的形状的形状, ,求出求出BCBC及及ACAC的长的长, ,再确定再确定ADCADC的形状的形状, ,求出求出DACDAC的度数的度数, ,再求出再求出BACBAC的度数的度数. .(2)(2)根据根据B B港或港或A A港的位置确定港的位置确定C C港的位置港的位置. .【自主解答自主解答】(1)(1)因为因为B B在在A A的正北方向，的正北方向，C C港在港在B B的正东方向，的正东方向，所以所以B=90B=90，即，即ABCABC是直角三角形，是直角三角形，BC=BD+DC=10+20=30(n mile)BC=BD+DC=10+20=30(n mile)，所以所以= =2222ACABBC10 33020 3 n mile .因为因为AD= AD= 所以所以AD=DCAD=DC，所以，所以ADCADC是等腰三角形是等腰三角形. .因为因为ADB=90ADB=90-BAD=60-BAD=60，所以所以ADC=180ADC=180-ADB=120-ADB=120，所以所以DAC=C= (180DAC=C= (180-ADC)=30-ADC)=30，所以所以BAC=60BAC=60. .(2)C(2)C港在港在B B港的正东方向，距离为港的正东方向，距离为30 n mile30 n mile处处. .C C港在港在A A的北偏东的北偏东6060，距离为，距离为20 n mile20 n mile处处.(.(答案不唯一答案不唯一) )2222ABBD10 31020 n mile ,123【总结提升总结提升】实际问题中确定点的位置的实际问题中确定点的位置的“三步法三步法”1.1.转化转化: :将实际问题转化为数学问题将实际问题转化为数学问题( (有时需要根据题意构建图有时需要根据题意构建图形形).).2.2.求值求值: :根据图形求出有关线段的长度和角的度数根据图形求出有关线段的长度和角的度数. .3.3.定位定位: :利用两个数据确定点的位置利用两个数据确定点的位置. .题组一题组一: :平面直角坐标系内点的坐标特征平面直角坐标系内点的坐标特征1.(20131.(2013湛江中考湛江中考) )在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,点点A(2,-3)A(2,-3)在第在第( () )象限象限( () )A.A.一一 B.B.二二 C. C.三三 D. D.四四【解析解析】选选D.D.由于点由于点A A的横坐标是正数的横坐标是正数, ,纵坐标是负数纵坐标是负数, ,因此这因此这个点在第四象限个点在第四象限. .2.(20132.(2013淄博中考淄博中考) )如果如果m m是任意实数是任意实数, ,则点则点P(m-4,m+1)P(m-4,m+1)一定不一定不在在( () )A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C. C.第三象限第三象限 D. D.第四象限第四象限【解析解析】选选D.D.当当m-1m-1时时,m-40,m+10,m-40,m+10,此时点此时点P P在第三象限在第三象限; ;当当-1m4-1m4时时,m-40,m-40,此时点此时点P P在第二象限在第二象限; ;当当m4m4时时,m-40,m-40,m+10,m+10,此时点此时点P P在第一象限在第一象限, ,所以点所以点P P一定不在第四象限一定不在第四象限. .3.3.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,在第二象限内有一点在第二象限内有一点P,P,且点且点P P到到x x轴的轴的距离是距离是3,3,到到y y轴的距离是轴的距离是2,2,则点则点P P的坐标为的坐标为( () )A.(-2,3) B.(-3,2) A.(-2,3) B.(-3,2) C.(3,2) C.(3,2) D.(2,-3)D.(2,-3)【解析解析】选选A.A.因为点因为点P P在第二象限在第二象限, ,点点P P到到x x轴的距离是轴的距离是3,3,所以点所以点P P的纵坐标是的纵坐标是3,3,点点P P到到y y轴的距离是轴的距离是2,2,所以点所以点P P的横坐标是的横坐标是-2,-2,所所以点以点P P的坐标为的坐标为(-2,3).(-2,3).4.4.如图如图, ,长方形长方形BCDEBCDE的各边分别平行于的各边分别平行于x x轴或轴或y y轴轴, ,物体甲和物体乙分别由点物体甲和物体乙分别由点A(2,0)A(2,0)同时出发同时出发, ,沿矩沿矩形形BCDEBCDE的边作环绕运动的边作环绕运动, ,物体甲按逆时针方向以物体甲按逆时针方向以1 1个单位个单位/s/s匀速运动匀速运动, ,物体乙按顺时针方向以物体乙按顺时针方向以2 2个单位个单位/s/s匀速运匀速运动动, ,则两个物体运动后的第则两个物体运动后的第20142014次相遇地点的坐标是次相遇地点的坐标是( () )A.(2,0) B.(-1,1) A.(2,0) B.(-1,1) C.(-2,1) C.(-2,1) D.(-1,-1)D.(-1,-1)【解析解析】选选B.B.由题意知由题意知, ,甲、乙第一次相遇时在点甲、乙第一次相遇时在点(-1,1),(-1,1),第二第二次相遇在点次相遇在点(-1,-1),(-1,-1),第三次相遇在点第三次相遇在点(2,0),(2,0), ,依此类推依此类推, ,可知可知甲、乙两物体每相遇三次是一个循环甲、乙两物体每相遇三次是一个循环, ,因为因为201420143 3的余数为的余数为1,1,所以第所以第20142014次相遇时点的坐标为次相遇时点的坐标为(-1,1).(-1,1).5.(20135.(2013宁夏中考宁夏中考) )点点 P(aP(a，a-3)a-3)在第四象限，则在第四象限，则a a的取值范的取值范围是围是_【解析解析】点点P(aP(a，a-3)a-3)在第四象限，在第四象限， 解得解得0 0a a3 3答案：答案：0 0a a3 3a0,a3 0 ，6.(20136.(2013吉林中考吉林中考) )如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,点点A,BA,B的坐标的坐标分别为分别为(-6,0),(0,8).(-6,0),(0,8).以点以点A A为圆心为圆心, ,以以ABAB长为半径画弧长为半径画弧, ,交交x x正正半轴于点半轴于点C,C,则点则点C C的坐标为的坐标为. .【解析解析】点点A A，B B的坐标分别为的坐标分别为(-6(-6，0)0)，(0(0，8)8)，AO=6AO=6，BO=8BO=8，以点以点A A为圆心，以为圆心，以ABAB长为半径画弧，长为半径画弧，AB=AC=10AB=AC=10，OC=AC-AO=4OC=AC-AO=4，交交x x正半轴于点正半轴于点C C，点点C C的坐标为的坐标为(4(4，0).0).答案：答案：(4(4，0)0)22ABAOBO10，7.7.如果点如果点P(x,y)P(x,y)的坐标满足的坐标满足x+y=xy,x+y=xy,那么称点那么称点P P为和谐点为和谐点. .请写请写出一个和谐点的坐标出一个和谐点的坐标. .【解析解析】答案不唯一答案不唯一, ,如如(2,2),(0,0)(2,2),(0,0)等等. .答案答案: :(2,2)(2,2)(答案不唯一答案不唯一) )【变式备选变式备选】如果点如果点P(xP(x，y)y)的坐标满足的坐标满足 那么称点那么称点P P为分离点请写出一个分离点的坐标为分离点请写出一个分离点的坐标_._.【解析解析】答案不唯一，如答案不唯一，如(-4(-4，2)2)， 等等. .答案：答案：(-4(-4，2)(2)(答案不唯一答案不唯一) )xxyy，1(1)2，8.8.如果点如果点A A既在既在x x轴的上方轴的上方, ,又在又在y y轴的右侧轴的右侧, ,且距离且距离x x轴、轴、y y轴分轴分别为别为4 4个单位长度和个单位长度和2 2个单位长度个单位长度, ,求点求点A A的坐标的坐标. .【解析解析】因为点因为点A A既在既在x x轴的上方轴的上方, ,又在又在y y轴的右侧轴的右侧, ,所以点所以点A A在第在第一象限一象限, ,即点即点A A的横、纵坐标均为正数的横、纵坐标均为正数, ,点点A A到到x x轴的距离为轴的距离为4 4个单个单位长度位长度, ,所以其纵坐标为所以其纵坐标为4,4,点点A A到到y y轴的距离为轴的距离为2 2个单位长度个单位长度, ,所所以其横坐标为以其横坐标为2,2,所以点所以点A A的坐标为的坐标为(2,4).(2,4).9.9.已知平面内点已知平面内点M(xM(x，y)y)，若，若x x，y y满足下列条件，请说出点满足下列条件，请说出点M M的的位置位置(1)xy(1)xy0.(2)x+y=0.(3) =0.0.(2)x+y=0.(3) =0.【解析解析】(1)(1)因为因为xyxy0 0，所以横、纵坐标异号，所以，所以横、纵坐标异号，所以M M点在第点在第二或第四象限二或第四象限. .(2)(2)因为因为x+y=0 x+y=0，所以，所以x,yx,y互为相反数，点互为相反数，点M M在第二、四象限的角在第二、四象限的角平分线上平分线上. .(3)(3)因为因为 =0=0，所以点，所以点M M在在y y轴上且原点除外轴上且原点除外xyxy题组二题组二: :用方向和距离确定物体的位置用方向和距离确定物体的位置1.1.芳芳放学从校门向东走芳芳放学从校门向东走400m,400m,再往北走再往北走200m200m到家到家; ;丽丽出校门丽丽出校门向东走向东走200m200m到家到家, ,则丽丽家在芳芳家的则丽丽家在芳芳家的( () )A.A.东南方向东南方向 B.B.西南方向西南方向 C. C.东北方向东北方向 D. D.西北方向西北方向【解析解析】选选B.B.根据题意根据题意, ,可画图如下可画图如下: :由图可知由图可知, ,丽丽家在芳芳家的西南方向丽丽家在芳芳家的西南方向. .2.(20132.(2013株洲中考株洲中考) )如图是株洲市的行政区如图是株洲市的行政区域平面地图域平面地图, ,下列关于方位的说法明显错误下列关于方位的说法明显错误的是的是( () )A.A.炎陵位于株洲市区南偏东约炎陵位于株洲市区南偏东约3535的方向上的方向上B.B.醴陵位于攸县的北偏东约醴陵位于攸县的北偏东约1616的方向上的方向上C.C.株洲县位于茶陵的南偏东约株洲县位于茶陵的南偏东约4040的方向上的方向上D.D.株洲市区位于攸县的北偏西约株洲市区位于攸县的北偏西约2121的方向上的方向上【解析解析】选选C.C.结合已知图可知结合已知图可知, ,炎陵位于株洲市区南偏东若干炎陵位于株洲市区南偏东若干度方向度方向, ,醴陵位于攸县的北偏东若干度方向醴陵位于攸县的北偏东若干度方向, ,株洲县位于茶陵的株洲县位于茶陵的北偏西若干度方向北偏西若干度方向, ,株洲市区位于攸县的北偏西若干度方向株洲市区位于攸县的北偏西若干度方向, ,明明显错误的是显错误的是C.C.3.3.如图所示如图所示, ,准确表示小岛准确表示小岛A A相对于灯塔相对于灯塔O O的位置是的位置是. .【解析解析】由图可知由图可知, ,小岛小岛A A到灯塔到灯塔O O的距离为的距离为2km,2km,且在灯塔且在灯塔O O北偏北偏东东6060方向方向, ,用方位角距离定位法表示为小岛用方位角距离定位法表示为小岛A A在灯塔在灯塔O O北偏东北偏东6060, ,距离灯塔距离灯塔O 2kmO 2km处处. .答案答案: :小岛小岛A A在灯塔在灯塔O O北偏东北偏东6060, ,距离灯塔距离灯塔O 2kmO 2km处处4.4.如图，在一块草地上有三个目标如图，在一块草地上有三个目标A A，B B，C C，已知已知C C在在A A的正东的正东4 m4 m处，处，B B在在C C的正北的正北4 m4 m处，处，那么那么B B位于位于A A的什么方向？距离是多少米？的什么方向？距离是多少米？【解析解析】由题意可知，由题意可知，ABCABC为等腰直角三角形，且为等腰直角三角形，且A=BA=B=45=45，ACAC方向为东西，方向为东西，BCBC方向为南北，由勾股定理可得方向为南北，由勾股定理可得 所以所以B B位于位于A A的北偏东的北偏东4545方向方向 处处. .2222ABACBC444 2 m，4 2 m【想一想错在哪？想一想错在哪？】已知点已知点P P到到x x轴的距离是轴的距离是2,2,到到y y轴的距离是轴的距离是1,1,求点求点P P的坐标的坐标. .提示提示: :忽略了横、纵坐标的符号且颠倒了横、纵坐标的位置忽略了横、纵坐标的符号且颠倒了横、纵坐标的位置. .同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
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