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1.3直角三角形全等的判定1.1.掌握掌握“HL”HL”定理定理, ,会用会用“HL”HL”定理判定两个直角三角形全定理判定两个直角三角形全等等.(.(重点重点) )2.2.会选用合适的方法判定两个直角三角形全等会选用合适的方法判定两个直角三角形全等.(.(难点难点) )斜边、直角边定理斜边、直角边定理如图如图, ,在在ABCABC与与DEFDEF中中,A=D=90,A=D=90,AB=DE,BC=EF.,AB=DE,BC=EF.【思考思考】(1)AC(1)AC与与DFDF相等吗相等吗? ?为什么为什么? ?提示提示: :AC=DF.AC=DF.理由如下理由如下: :A=D=90A=D=90, ,根据勾股定理得根据勾股定理得ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2,DE,DE2 2+DF+DF2 2=EF=EF2 2, ,又又AB=DE,BC=EF,AC=DF.AB=DE,BC=EF,AC=DF.(2)(2)ABCABC与与DEFDEF全等吗全等吗? ?为什么为什么? ?提示提示: :全等全等.AB=DE,BC=EF,AC=DF.AB=DE,BC=EF,AC=DF.ABCABCDEF(SSS).DEF(SSS).【总结总结】 斜边、直角边定理斜边、直角边定理: :_和一条和一条_对应相等的两个对应相等的两个直角三角形全等直角三角形全等( (可以简写成可以简写成“_”或或“_”).).斜边斜边直角边直角边斜边、直角边斜边、直角边HLHL ( (打打“”“”或或“”)”)(1)“HL”(1)“HL”定理适合所有三角形全等的判定定理适合所有三角形全等的判定. .( )( )(2)(2)判定两个直角三角形全等只能用判定两个直角三角形全等只能用“HL”HL”定理定理. .( )( )(3)(3)有两条边对应相等的三角形全等有两条边对应相等的三角形全等. .( )( )(4)(4)一条直角边和一个锐角对应相等的三角形全等一条直角边和一个锐角对应相等的三角形全等. .( )( )知识点知识点 1 1 应用应用“HL”HL”证明直角三角形全等证明直角三角形全等【例例1 1】如图如图, ,在在ABCABC中中,B=90,B=90,AD,AD为为BACBAC的平分线的平分线,DFAC,DFAC于于F,DE=DC,F,DE=DC,那么那么BE=CFBE=CF吗吗? ?请说明理由请说明理由. .【思路点拨思路点拨】先下结论先下结论BE=CF,BE=CF,再说明理由再说明理由: :先证先证BAD=CAD,BAD=CAD,B=AFD,B=AFD,得出得出ABDABDAFD,BD=FD,AFD,BD=FD,再证再证RtRtEBDRtEBDRtCFD,CFD,证得证得BE=CF.BE=CF.【自主解答自主解答】BE=CF.BE=CF.理由如下：理由如下：ADAD为为BACBAC的平分线，的平分线，BAD=CAD.BAD=CAD.DFACDFAC，AFD=90AFD=90. .又又B=90B=90，B=AFD.B=AFD.在在ABDABD和和AFDAFD中，中，ABDABDAFD(AAS),BD=FD.AFD(AAS),BD=FD.BADFADBAFDADAD. ，在在RtRtEBDEBD和和RtRtCFDCFD中，中，RtRtEBDRtEBDRtCFD(HL),BE=CF.CFD(HL),BE=CF.DEDCBDFD.，【总结提升总结提升】应用应用“HLHL”应注意的三个问题应注意的三个问题1.1.“HLHL”是判定两个直角三角形全等的方法是判定两个直角三角形全等的方法, ,对于一般的三角对于一般的三角形不成立形不成立, ,在使用时一定要注意其应用的范围在使用时一定要注意其应用的范围. .2.2.在书写格式上在书写格式上, ,三角形的前面必须注明三角形的前面必须注明“RtRt”. .3.3.在题设中在题设中, ,没有指明但又是直角三角形的没有指明但又是直角三角形的, ,必须依照定义说明必须依照定义说明或推证是直角三角形或推证是直角三角形, ,否则不能直接应用否则不能直接应用“HLHL”. .知识点知识点 2 2 选定合适方法判定直角三角形全等选定合适方法判定直角三角形全等【例例2 2】(2013(2013荆门中考荆门中考) )如图如图1,1,在在ABCABC中中,AB=AC,AB=AC,点点D D是是BCBC的的中点中点, ,点点E E在在ADAD上上. .(1)(1)求证求证:BE=CE.:BE=CE.(2)(2)如图如图2,2,若若BEBE的延长线交的延长线交ACAC于点于点F,F,且且BFAC,BFAC,垂足为垂足为F,BAC=45F,BAC=45, ,原题设其原题设其他条件不变他条件不变. .求证求证: :AEFAEFBCF.BCF.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据等腰三角形三线合一的性质可得根据等腰三角形三线合一的性质可得BDE=BDE=CDE,CDE,然后利用然后利用“边角边边角边”证明证明BDEBDE和和CDECDE全等即可全等即可. .(2)(2)先判定先判定ABFABF为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,再根据等腰直角三角形的再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得两直角边相等可得AF=BF,AF=BF,再根据同角的余角相等求出再根据同角的余角相等求出EAF=EAF=CBF,CBF,然后利用然后利用“角边角角边角”证明证明AEFAEF和和BCFBCF全等即可全等即可. .【自主解答自主解答】(1)AB=AC(1)AB=AC，D D是是BCBC的中点，的中点，BDE=CDE=90BDE=CDE=90，在在BDEBDE和和CDECDE中，中，BDEBDECDE(SAS)CDE(SAS)，BE=CE.BE=CE.BDCDBDECDEDEDE ，(2)BAC=45(2)BAC=45，BFAFBFAF，ABFABF为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，AF=BFAF=BF，AB=ACAB=AC，点，点D D是是BCBC的中点，的中点，ADBCADBC，EAF+C=90EAF+C=90，BFACBFAC，CBF+C=90CBF+C=90，EAF=CBFEAF=CBF，在在AEFAEF和和BCFBCF中，中，AEFAEFBCF(ASA)BCF(ASA)EAFCBF,AFBF,AFEBFC90 , 【总结提升总结提升】判定直角三角形全等的方法选择判定直角三角形全等的方法选择已知条件已知条件判定方法判定方法两直角边两直角边SASSAS斜边与一条直角边斜边与一条直角边HLHL一锐角与斜边一锐角与斜边AASAAS一锐角与一条直角边一锐角与一条直角边ASAASA或或AASAAS题组一题组一: :应用应用“HL”HL”证明直角三角形全等证明直角三角形全等1.1.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中,CB=CD,ABC=ADC=90,CB=CD,ABC=ADC=90,BAC=35,BAC=35, ,则则BCDBCD的度数为的度数为( () )A.145A.145B.130B.130C.110C.110D.70D.70【解析解析】选选C.ABC=ADC=90C.ABC=ADC=90, ,在在RtRtABCABC与与RtRtADCADC中中, ,CB=CD,AC=AC,CB=CD,AC=AC,ABCABCADC,ADC,又又BAC=35BAC=35, ,ACD=ACB=55ACD=ACB=55, ,BCD=110BCD=110. .2.2.如图如图,AD=BC,C=D=90,AD=BC,C=D=90, ,下列结论中不成立的是下列结论中不成立的是( () )A.DAE=CBEA.DAE=CBEB.CE=DEB.CE=DEC.C.DAEDAE与与CBECBE不一定全等不一定全等D.1=2D.1=2【解析解析】选选C.AD=BC,C=D=90C.AD=BC,C=D=90,DEA=CEB,DEA=CEB,DAEDAECBE(CCBE(C选项不正确选项不正确),),DAE=CBE(ADAE=CBE(A选项正确选项正确),),CE=DE(BCE=DE(B选项正确选项正确),),AD=BC,C=D=90AD=BC,C=D=90,AB=BA,AB=BA,ABCABCBAD.BAD.1=2(D1=2(D选项正确选项正确).).3.3.如图如图, ,长方形长方形ABCDABCD中中,E,E为为CDCD的中点的中点, ,连接连接AEAE并延长交并延长交BCBC的延长的延长线于点线于点F,F,连接连接BD,DF,BD,DF,则图中全等的直角三角形共有则图中全等的直角三角形共有( () )A.3A.3对对 B.4B.4对对 C.5C.5对对 D.6D.6对对【解析解析】选选B.B.图中全等的直角三角形有图中全等的直角三角形有: :AEDAEDFEC,FEC,BDCBDCFDCFDCDBA,DBA,共共4 4对对. .【变式训练变式训练】如图如图,AC,BD,AC,BD是长方形是长方形ABCDABCD的的对角线对角线, ,过点过点D D作作DEACDEAC交交BCBC的延长线于的延长线于E,E,则图中与则图中与ABCABC全等的三角形共有全等的三角形共有( () )A.1A.1个个B.2B.2个个C.3C.3个个D.4D.4个个【解析解析】选选D.D.与与ABCABC全等的三角形为全等的三角形为ADC,ADC,BAD,BAD,DCB,DCB,DCEDCE共共4 4个个. .4.4.如图如图, ,已知已知ABBD,ABED,AB=ED,ABBD,ABED,AB=ED,要说明要说明ABCABCEDC,EDC,若以若以“SAS”SAS”为依据为依据, ,还要添加的条件为还要添加的条件为; ;若添加条件若添加条件AC=EC,AC=EC,则可以用则可以用判定全等判定全等. .【解析解析】ABBD,ABED,EDBD,ABBD,ABED,EDBD,B=D=90B=D=90; ;又又AB=ED,AB=ED,在在ABCABC和和EDCEDC中中, ,当当BC=DCBC=DC时时, ,ABCABCEDC(SAS);EDC(SAS);在在RtRtABCABC和和RtRtEDCEDC中中,AB=ED,AC=EC,AB=ED,AC=EC,由由“HLHL”定理可得定理可得RtRtABCRtABCRtEDC(HL).EDC(HL).答案答案: :BC=DCBC=DCHLHL5.5.如图如图, ,ABCABC中中,ABC=45,ABC=45,ADBC,ADBC于于D,D,点点E E在在ADAD上上, ,且且BE=AC,BE=AC,求证求证:DE=CD.:DE=CD.【证明证明】ABC=45ABC=45,ADBC,ADBC,AD=BD,BDE=ADC=90AD=BD,BDE=ADC=90. .又又BE=AC,BE=AC,BDEBDEADC(HL).ADC(HL).DE=CD.DE=CD.6.6.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,A=90,A=90, ,点点D D为斜边为斜边BCBC上一点上一点, ,且且BD=BA,BD=BA,过点过点D D作作BCBC的垂线的垂线, ,交交ACAC于点于点E.E.求证求证:AE=ED.:AE=ED.【证明证明】连接连接BEBE，DEDE为为BCBC的垂线，的垂线，BDE=90BDE=90. .BDE=A.BDE=A.在在RtRtBDEBDE和和RtRtBAEBAE中，中，RtRtBDERtBDERtBAE(HL)BAE(HL)，AE=ED.AE=ED.BEBE,BDBA，题组二题组二: :选定合适方法判定直角三角形全等选定合适方法判定直角三角形全等1.1.如图如图,E,E是正方形是正方形ABCDABCD的边的边DCDC上一点上一点, ,过点过点A A作作FAAEFAAE交交CBCB的延长线于点的延长线于点F.F.若若AB=4,AB=4,则四则四边形边形AFCEAFCE的面积是的面积是( () )A.4A.4B.8B.8C.16C.16D.D.无法计算无法计算【解析解析】选选C.C.EAD+BAE=90EAD+BAE=90，FAB+BAE=90FAB+BAE=90，FAB=EAD.FAB=EAD.四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形，AB=ADAB=AD，D=ABF=90D=ABF=90. .在在ABFABF和和ADEADE中，中，ABFABFADE(ASA)ADE(ASA)，四边形四边形AFCEAFCE的面积与正方形的面积与正方形ABCDABCD的面积相等，的面积相等，S S四边形四边形AFCEAFCES S正方形正方形ABCDABCDABAB2 216.16.FABEADABADABFD ，2.2.把下列说明把下列说明RtRtABCRtABCRtDEFDEF的条件或根据补充完整的条件或根据补充完整. .(1)(1),A=D(ASA).,A=D(ASA).(2)AC=DF,(2)AC=DF,(SAS).(SAS).(3)AB=DE,BC=EF(3)AB=DE,BC=EF().).(4)AC=DF,(4)AC=DF,(HL).(HL).(5)A=D,BC=EF(5)A=D,BC=EF().).(6)(6),AC=DF(AAS).,AC=DF(AAS).【解析解析】要利用题中的要利用题中的“直角三角形有一个角是直角直角三角形有一个角是直角”的条件的条件, ,找准对应元素及三角形全等的判定方法找准对应元素及三角形全等的判定方法. .答案答案: :(1)AC=DF(1)AC=DF(2)CB=FE(2)CB=FE(3)HL(3)HL(4)AB=DE(4)AB=DE(5)AAS(5)AAS(6)B=E(6)B=E3.(20133.(2013绥化中考绥化中考) )如图如图,A,B,C,A,B,C三点在同三点在同一条直线上一条直线上,A=C=90,A=C=90,AB=CD,AB=CD,请添加请添加一个适当的条件一个适当的条件, ,使得使得EABEABBCD.BCD.【解析解析】A=C=90A=C=90,AB=CD,AB=CD,若利用若利用“SASSAS”, ,可添加可添加AE=CB,AE=CB,若利用若利用“HLHL”, ,可添加可添加EB=BD,EB=BD,若利用若利用“ASAASA”或或“AASAAS”, ,可添加可添加EBD=90EBD=90, ,若添加若添加E=DBC,E=DBC,可利用可利用“AASAAS”证明证明. .综上所述综上所述, ,可添加的条可添加的条件为件为AE=CB(AE=CB(或或EB=BDEB=BD或或EBD=90EBD=90或或E=DBCE=DBC等等).).答案答案: :AE=CB(AE=CB(或或EB=BDEB=BD或或EBD=90EBD=90或或E=DBCE=DBC等等, ,答案不唯一答案不唯一) )【高手支招高手支招】在解决开放性探究问题时在解决开放性探究问题时, ,首先从题中找到已知首先从题中找到已知条件、隐含条件和可证出的条件条件、隐含条件和可证出的条件, ,然后再利用三角形全等的判然后再利用三角形全等的判定条件来寻找缺少的条件定条件来寻找缺少的条件. .4.(20134.(2013陕西中考陕西中考) )如图如图,AOB=90,AOB=90,OA=OB,OA=OB,直线直线l经过点经过点O,O,分别过分别过A,BA,B两点作两点作ACACl交交l于点于点C,BDC,BDl交交l于点于点D.D.求证求证:AC=OD.:AC=OD.【证明证明】AOB=90AOB=90, ,AOC+BOD=90AOC+BOD=90, ,ACACl,BD,BDl, ,ACO=BDO=90ACO=BDO=90, ,A+AOC=90A+AOC=90, ,A=BOD,A=BOD,在在AOCAOC和和OBDOBD中中, ,A=BOD,ACO=BDO=90A=BOD,ACO=BDO=90,OA=OB,OA=OB,AOCAOCOBD(AAS),AC=OD.OBD(AAS),AC=OD.5.5.在在ABCABC中中,AB=CB,ABC=90,AB=CB,ABC=90,F,F为为ABAB延长线上一点延长线上一点, ,点点E E在在BCBC上上, ,且且AE=CF.AE=CF.(1)(1)求证求证:Rt:RtABERtABERtCBF.CBF.(2)(2)若若CAE=30CAE=30,BAC=45,BAC=45, ,求求ACFACF的度数的度数. .【解析解析】(1)ABC=90(1)ABC=90，ABEABE和和CBFCBF均为直角三角形，均为直角三角形，在在RtRtABEABE和和RtRtCBFCBF中，中，RtRtABERtABERtCBF(HL).CBF(HL).(2)Rt(2)RtABERtABERtCBFCBF，BAE=BCFBAE=BCF，又又CAE=30CAE=30,BAC=45,BAC=45，BAE=15BAE=15,BCF=15,BCF=15，又又ABC=90ABC=90，AB=CBAB=CB，ACB=45ACB=45, ,ACF=45ACF=45+15+15=60=60. .AECFABCB，【想一想错在哪？想一想错在哪？】两个三角形的两边及其中一边上的高对应两个三角形的两边及其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全相等，这两个三角形是否全等？若全等，请给出证明；若不全等，请说明理由等，请说明理由. .提示：提示：此题没考虑一个三角形是锐角三角形，而另一个三角形此题没考虑一个三角形是锐角三角形，而另一个三角形为钝角三角形的情况为钝角三角形的情况. .同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
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