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第四节随机事件的概率第四节随机事件的概率名称名称定义定义符号表示符号表示包含关系包含关系如果事件如果事件A_，则事件，则事件B_，这时，这时称事件称事件B包含事件包含事件A(或称事件或称事件A包含包含于事件于事件B)_(或或_)相等关系相等关系若若BA，且，且_，那么称事件，那么称事件A与与事件事件B相等相等AB并事件并事件(和事件和事件)某事件发生当仅当某事件发生当仅当_或或_，则称，则称此事件为事件此事件为事件A与与事件事件B的并事件的并事件_(或或_)2事件的关系与运算事件的关系与运算发生发生一定发生一定发生BAABAB事件事件A发生发生事件事件B发生发生ABAB交事件交事件(积事件积事件)某事件发生当且仅某事件发生当且仅当当_且且_，则，则称此事件为事件称此事件为事件A与事件与事件B的交事件的交事件_(或或_)互斥事件互斥事件若若AB为为_事件，那么称事件事件，那么称事件A与事件与事件B互斥互斥AB 对立事件对立事件若若AB为为_事件，事件，AB为为_，那，那么称事件么称事件A与事件与事件B互为对立事件互为对立事件事件事件A发生发生事件事件B发生发生ABAB不可能不可能不可能不可能必然事件必然事件3.概率的几个基本性质概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式概率的加法公式如果事件如果事件A与与B互斥，则互斥，则P(AB)_若事件若事件A与与B互为对立事件，则互为对立事件，则P(A)_ 0P(A)1P(A)P(B)1P(B)1频率与概率有什么区别与联系？频率与概率有什么区别与联系？【提示【提示】频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率概率 2互斥事件与对立事件有什么区别和联系？互斥事件与对立事件有什么区别和联系？【提示【提示】两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥也就是说，两个事件对立是这两个事件互立，它们一定互斥也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件斥的充分而不必要条件 【答案【答案】D2(2012梅州模拟梅州模拟)掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件设事件A“a为为3”，B“a为为4”，C“a为奇数为奇数”，则下列，则下列结论正确的是结论正确的是()AA与与B为互斥事件为互斥事件BA与与B为对立事件为对立事件CA与与C为对立事件为对立事件 DA与与C为互斥事件为互斥事件【解析【解析】事件事件A与与B不可能同时发生，不可能同时发生，A、B互斥，但不是对互斥，但不是对立事件，显然立事件，显然A与与C不是互斥事件，更不是对立事件不是互斥事件，更不是对立事件【答案【答案】A3(2012揭阳调研揭阳调研)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A抽到一等品抽到一等品，事件，事件B抽到二等品抽到二等品，事件，事件C抽到三等品抽到三等品，且已知且已知P(A)0.65，P(B)0.2，P(C)0.1，则事件，则事件“抽到的不抽到的不是一等品是一等品”的概率为的概率为()A0.7 B0.65C0.35 D0.5【解析【解析】“抽到的不是一等品抽到的不是一等品”与事件与事件A是对立事件，是对立事件，所求概率所求概率P1P(A)0.35.【答案【答案】C4从一副混合后的扑克牌从一副混合后的扑克牌(52张张)中，随机抽取中，随机抽取1张，事件张，事件A为为“抽得红桃抽得红桃K”，事件，事件B为为“抽得黑桃抽得黑桃”，则概率，则概率P(AB)_.(结果用最简分数表示结果用最简分数表示)【答案【答案】某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为为“只订甲报纸只订甲报纸”，事件，事件B为为“至少订一种报纸至少订一种报纸”，事件，事件C为为“至多订一种报纸至多订一种报纸”，事件，事件D为为“不订甲报纸不订甲报纸”，事件，事件E为为“一种报纸也不订一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与与C；(2)B与与E；(3)B与与C.【思路点拨【思路点拨】首先明确居民订甲、乙两种报纸的所有可能情首先明确居民订甲、乙两种报纸的所有可能情况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关况，然后根据各事件包含的各种可能结果来判断各事件的关系系 互斥事件与对立事件的判定互斥事件与对立事件的判定 【尝试解答【尝试解答】(1)由于事件由于事件C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有可能中有可能“只只订甲报纸订甲报纸”，即事件，即事件A与事件与事件C有可能同时发生，故有可能同时发生，故A与与C不是不是互斥事件互斥事件(2)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”与事件与事件E“一种报纸也不订一种报纸也不订”是不可是不可能同时发生的，故能同时发生的，故B与与E是互斥事件由于事件是互斥事件由于事件B发生可导致事发生可导致事件件E一定不发生，且事件一定不发生，且事件E发生会导致事件发生会导致事件B一定不发生，故一定不发生，故B与与E还是对立事件还是对立事件(3)事件事件B“至少订一种报纸至少订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“只订甲报纸只订甲报纸”、“只订乙报纸只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸订甲、乙两种报纸”事件事件C“至多订一种报纸至多订一种报纸”中有这些可能：中有这些可能：“什么报纸也不订什么报纸也不订”、“只订甲报纸只订甲报纸”、“只订乙报纸只订乙报纸”由于这两个事件可能同时发生，故由于这两个事件可能同时发生，故B与与C不是互斥事件不是互斥事件 1解答本题时，明确居民订甲、乙两种报纸的所有各种解答本题时，明确居民订甲、乙两种报纸的所有各种情况是解题的关键情况是解题的关键2(1)互斥事件要把握住不能同时发生，对立事件不仅不互斥事件要把握住不能同时发生，对立事件不仅不能同时发生，而且其并事件应为必然事件具体应用时，可把能同时发生，而且其并事件应为必然事件具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，进而所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，进而判定事件间的关系判定事件间的关系(2)对立事件是互斥事件中的特殊情况，对立事件是互斥事件中的特殊情况，“互斥互斥”是是“对立对立”的必要不充分条件的必要不充分条件 判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件，判断下列各对事件是否是互斥事件或对立事件，某小组有某小组有3名男生和名男生和2名女生，从中任选名女生，从中任选2名同学去参加演讲比名同学去参加演讲比赛，其中赛，其中(1)恰有恰有1名男生和恰有名男生和恰有2名男生；名男生；(2)至少有至少有1名男生和全是女生名男生和全是女生【解【解】(1)是互斥事件，不是对立事件是互斥事件，不是对立事件“恰有恰有1名男生名男生”实质选出的是实质选出的是“1名男生和名男生和1名女生名女生”，与，与“恰恰有两名男生有两名男生”不能同时发生；但不一定有一个发生不能同时发生；但不一定有一个发生所以是互斥事件，不是对立事件所以是互斥事件，不是对立事件(2)是互斥事件且是对立事件是互斥事件且是对立事件“至少有至少有1名男生名男生”，即，即“选出的两人不全是女生选出的两人不全是女生”，与，与“全是全是女生女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件不可能同时发生，且其并事件是必然事件.(2011陕西高考陕西高考)如图如图1041，A地到火车站共地到火车站共有两条路径有两条路径L1和和L2，现随机抽取，现随机抽取100位从位从A地到达火车站的人进地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：行调查，调查结果如下： 随机事件的概率与频率随机事件的概率与频率 (1)试估计试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；分钟内不能赶到火车站的概率；(2)现甲、乙两人分别有现甲、乙两人分别有40分钟和分钟和50分钟时间用于赶往火车站，分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径他们应如何选择各自的路径 所用时间所用时间(分分钟钟)10202030304040505060选择选择L1的人数的人数612181212选择选择L2的人数的人数0416164【思路点拨【思路点拨】(1)根据频数分布表计算频率，利用频率估计概根据频数分布表计算频率，利用频率估计概率；率；(2)分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判分别根据不同路径估计概率，并比较大小，做出判定定【尝试解答【尝试解答】(1)由已知共调查了由已知共调查了100人，其中人，其中40分钟内不能赶分钟内不能赶到火车站的有到火车站的有121216444(人人)，用频率估计相应的概率为用频率估计相应的概率为0.44.(2)设设A1，A2分别表示甲选择分别表示甲选择L1和和L2时，在时，在40分钟内赶到火车站；分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择分别表示乙选择L1和和L2时，在时，在50分钟内赶到火车站分钟内赶到火车站由频数分布表知，由频数分布表知，40分钟赶往火车站，选择不同路径分钟赶往火车站，选择不同路径L1，L2的的频率分别为频率分别为(61218)600.6，(416)400.5.估计估计P(A1)0.6，P(A2)0.5，则，则P(A1)P(A2)，因此，甲应该选择路径因此，甲应该选择路径L1，同理，同理，50分钟赶到火车站，乙选择路径分钟赶到火车站，乙选择路径L1，L2的频率分别为的频率分别为48600.8,36400.9，估计估计P(B1)0.8，P(B2)0.9，P(B1)P(B2)，因此乙应该选择路径因此乙应该选择路径L2. 1(1)解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生解题的关键是正确计算选择不同路径时，事件发生的频率，并用频率估计概率；的频率，并用频率估计概率；(2)第第(2)问的实质是比较选择不问的实质是比较选择不同路径概率的大小同路径概率的大小2概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率多时，频率越稳定于一个常数，可用频率来估计概率 对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表：对一批衬衣进行抽样检查，结果如下表： (1)求次品出现的频率求次品出现的频率(2)记记“任取一件衬衣是次品任取一件衬衣是次品”为事件为事件A，求，求P(A) (3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬件衬衣，至少需进货多少件？衣，至少需进货多少件？ 国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：环的概率如下表所示： 互斥事件与对立事件的概率互斥事件与对立事件的概率 求该射击队员射击一次：求该射击队员射击一次：(1)射中射中9环或环或10环的概率；环的概率；(2)命中不足命中不足8环的概率环的概率【思路点拨【思路点拨】该射击队员在一次射击中，命中的环数不可能该射击队员在一次射击中，命中的环数不可能同时发生，是彼此互斥事件，利用互斥事件概率公式求其概同时发生，是彼此互斥事件，利用互斥事件概率公式求其概率当直接求解不容易时，可求对立事件的概率率当直接求解不容易时，可求对立事件的概率【答案】C 从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独从近两年高考命题看，随机事件及其概率基本上不单独考查，但概率与统计交汇考查，但概率与统计交汇(如如2011陕西陕西)、互斥事件、对立事、互斥事件、对立事件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等件与古典概型、几何概型渗透是命题的热点，题目不超过中等难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是难度，重点考查学生分析问题与数学计算能力，解题的关键是准确理解事件间关系及其概率准确理解事件间关系及其概率易错辨析之二十错判事件间的关系导致概率计算错误易错辨析之二十错判事件间的关系导致概率计算错误抛掷一枚均匀的正方体骰子抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标各面分别标有数字有数字1、2、3、4、5、6)，事件，事件A表示表示“朝上一面的数是奇朝上一面的数是奇数数”，事件，事件B表示表示“朝上一面的数不超过朝上一面的数不超过2”，则，则P(AB)_.错因分析：错因分析：(1)未分清事件未分清事件A、B的关系，误以为事件的关系，误以为事件A、B是互是互斥事件，从而造成概率计算错误斥事件，从而造成概率计算错误(2)不能把所求事件转化为几个互斥的事件，思维受阻，从而不能把所求事件转化为几个互斥的事件，思维受阻，从而不能得到正确答案不能得到正确答案防范措施：防范措施：(1)准确理解随机事件及其事件间关系是解题的关准确理解随机事件及其事件间关系是解题的关键要判断事件键要判断事件A、B的关系，首先应将的关系，首先应将A、B用基本事件表示用基本事件表示出来，然后进行分析、对比，再结合有关定义进行判断出来，然后进行分析、对比，再结合有关定义进行判断(2)P(AB)P(A)P(B)的前提是事件的前提是事件A、B互斥互斥 1(2012佛山质检佛山质检)已知某射击运动员，每次击中目标的概率都已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击次，至少击中中3次的概率：先由计算器算出次的概率：先由计算器算出0到到9之间取整数值的随机数，之间取整数值的随机数，指定指定0,1，表示没有击中目标，表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标；因表示击中目标；因为射击为射击4次，故以每次，故以每4个随机数为一组，代表射击个随机数为一组，代表射击4次的结次的结果经随机模拟产生了果经随机模拟产生了20组随机数：组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击据此估计，该射击运动员射击4次至少击中次至少击中3次的概率为次的概率为()A0.85 B0.819 2C0.8 D0.75【答案【答案】D【答案【答案】D
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