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第12课 一次函数及其图象 1. 概念： 形如函数 叫做一次函数，其中x是自变量特别地，当b0时，则把函数 叫做正比例函数2. 正比例函数ykx的图象： 过 两点的一条直线要点梳理要点梳理ykxb(k、b都是常数，且都是常数，且k0)ykx(0,0)，(1,k)3. 正比例函数ykx的性质： (1)当k0时， ； (2)当k0时，时，y随随x的增大而增大的增大而增大当当k0或axb0，这时对应的自变量x的所有取值为不等式axb0的解集，同理，一次函数图象在x轴下方的部分对应的x的所有取值为axb0的解集利用一次函数的图象能直观地看到怎样用图形来表示方程的解与不等式的解，这种用函数观点认识问题的方法，对于继续学习数学很重要 一般地，每个二元一次方程组，也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标 方程(组)、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用1(2011潼南)目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开x分钟后，水龙头滴出y毫升的水，请写出y与x之间的函数关系式是() Ay0.05x B. y5x Cy100 x Dy0.05x100 解析：y(1000.05)x5x.基础自测基础自测B2(2011杭州)一个矩形被直线分成面积为x、y的两部分，则y与x之间的函数关系只可能是() 解析：设矩形的面积为S，则xyS，yxS，其中0 x0，b0，故选D.D4(2011泰安)知一次函数ymxn2的图象如图所示，则m、n的取值() Am0，n2 Bm0，n2 Cm0，n2 Dm0，n2 解析：由直线位置得 故选D.Dm0，n20，m0，n2，5(2011苏州)如图，已知A点坐标为(5,0)，直线yxb(b0)与y轴交于点B，连接AB，a75，则b的值为() A3 B. C4 D. 解析：因为直线yxb与x轴成45角， 又a75，所以BAO30， 在RtAOB中，OA5， 则由tan30 ，得OB ，即b . BOB5 53 3 5 33 题型一一次函数ykxb对图象及性质的影响【例 1】 (1)一次函数yx2的图象不经过() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：直线yx经过第一、三象限，向上平移2个单位得直线yx2，而直线yx2经过第一、二、三象限，不经过第四象限，应选D.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析D(2)一次函数的图象过点(0,2)，且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式 解析：设ykx2，又y随x的增大而增大，所以k0， 符合条件的有：yx2(只需k0即可)探究提高 根据一次函数的性质，若已知系数k的符号就可以直接说出函数y的值随x增大的增减情况(即增减性)；反之，若知道一次函数的增减性，就能推断系数k的符号；一次函数的图象直线ykxb与y轴交点(0,b)，根据交点的位置，就能推断b的符号yx2(只需只需k0即可即可)知能迁移1(1)(2011衡阳)如图，一次函数ykxb的图象与x轴的交点坐标为(2,0)，则下列说法：y随x的增大而减小；b0；关于x的方程kxb0的解 为x2.其中说法正确的有 (把你认为说法正确的序号都填上)；(2)已知一次函数已知一次函数y3xm2的图象不经过第二象限，则的图象不经过第二象限，则m的的取值范围是取值范围是 解析：解析：m20，m2.m0 的解集是 解析：直线yxb与x轴交于(2,0)，可知x2时y0， 所以不等式xb0的解是x0，则有kxb0，得到一元一次不等式xkxb2的解集为_答案2x100时，y80 x2000. 3分 (2)100 x400时，选方案一购买 6分(3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票分别是a张、b张, 甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球赛门票, 乙公司购买本次足球赛门票有两种情况b100或b100. 当b100时， 解得 不合题意，舍去 8分 当b100， 解得 符合题意 故甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张，200张.10分ab700,(60a10000)100b58000,a500,b150ab700,(60a10000)(80b2000) 58000,a500,b200探究提高 1.数形结合，把数式和图形结合起来进行思考，互相解释、互相补充 2.认真审题，理解题意，看懂坐标轴及图象上的点所表示的实际意义，是解决这类问题的关键，注意分段函数是由自变量的取值决定的知能迁移知能迁移4(2010巴中巴中)“保护环境，人人有责保护环境，人人有责”为了更好地治为了更好地治理巴河，巴中市污水处理厂决定购买理巴河，巴中市污水处理厂决定购买A、B两型治水处理设备，两型治水处理设备，共共10台，其信息如下表：台，其信息如下表： (1)设购买设购买A型设备型设备x台，所需资金共为台，所需资金共为W万元，每月处理污水总万元，每月处理污水总量为量为y吨，试写出吨，试写出W与与x，y与与x的函数关系式；的函数关系式； (2)经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过106万元，月处万元，月处理污水量不低于理污水量不低于2040吨，请你举出所有购买方案，并指出哪种吨，请你举出所有购买方案，并指出哪种方案最省钱，需要多少资金？方案最省钱，需要多少资金？单价单价(万元万元/台台)每台处理污水量每台处理污水量(吨吨/月月)A型型12240B型型10200解：(1)W12x10(10 x)2x100， y240 x200(10 x)40 x2000. (2) 整数x取1或2或3. 有三种购买方案： A型1台，B型9台； A型2台，B型8台； A型3台，B型7台 W2x100，W随x的增大而增大 x1时，W有最小值，W12100102. 答：方案最省钱，需要102万元W106，y2040，2x100106，40 x20002040，x3，y1，8. 一次函数错例分析试题如图所示，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板顶点与O重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N，如果AB4，AD6，OMx，ONy.则y与x的关系式是() Ay x By Cyx Dy x学生答案展示B易错警示易错警示23 剖析此题看起来有些无从下手，易估计直角三角形顶点与矩形ABCD的中心O重合时，转动三角板，与矩形重合的面积不变， 即S矩形OMBN 46(即取直角三角板的特殊情形)，则易错误地得到xy6，即y .但实际上，过点O作AB、BC的垂线， 垂足分别为E、F，如图所示由于EONEOM90，所以EONFOM，又OENOFM90，因此 OENFOM，则 ，即yx，此时，可看出 SOEN SOFM(OE OF)29 4，所以，直角三角板与矩形ABCD重合部分面积并非定值6.正解D14 6x ONOM OEOF 32 批阅笔记 不可以偏概全，用特殊位置、特殊值来考虑一般情形；再者，本题中转动直角三角板，与矩形重合部分的图形会随之而改变方法与技巧 1. 能用待定系数法求一次函数的关系式，用两点法准确画出一次函数的图象，借助图象深刻理解一次函数的性质，渗透数形结合的思想，会利用图象判断k、b的取值范围 2. 对于实际问题，要根据等量关系写出函数关系式，体现用函数思想解决实际问题能力 3. 注重综合题、应用题、阅读题的训练，提高函数建模能力和阅读能力 4. 关于函数的分类讨论要求，从图象上反映为折线，有其丰富的实际背景思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 5. 解有关一次函数ykxb的图象与性质的问题时，应注意以下三点： (1)一次函数图象分布特征与k、b的符号之间的关系； (2)一次函数图象的增减性与k的符号之间的关系； (3)一次函数图象与两坐标轴的交点及围成的图形的面积 失误与防范 1一次函数ykxb(k0，k、b为常数)，等号的右边是自变量x的一次式，当k0时，得yb，这就不是一次函数了，而是一个常函数，不论x取何值时，对应的y的值总是b，它的图象是一条平行于x轴的直线 2从以上知道，一次函数的图象是一条直线，但直线并不一定是一次函数的图象例：已知直线y(m3)xm29经过点(1,0)，求m的值解答：当x1时，y0，即m2m60.解得m2或m3.很多同学误以为m30，m3，舍去m3，故m2.其实，当m3时，此直线变为y0，而y0就是x轴，又因为点(1,0)在x轴上，即x轴经过点(1,0)，所以m3也符合题意，不能舍去所求的m的值为3或2.如果把本题中的“已知直线”改为“一次函数”，还是应考虑m30这个限制条件的，要予以区分完成考点跟踪训练 12
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