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六、薄板弯曲 板分成以下三种类型:薄板:(1/801/100)t/b(1/51/8);薄膜:t/b(1/51/8)。xyzt/2t/2中面薄板弯曲n 板所承受的荷载: 作用于中面的面内载荷。弹性力学平面问题 垂直于中面的横向荷载。板产生弯曲,中面弯曲将成为一个曲面, 垂直于中面的位移称挠度w。小挠度弯曲问题n 薄膜: 抗弯的能力很低,可认为抗弯刚度为零 横向荷载由板面内的轴向力和板面内的剪切力来承担n 厚板: 内部任意点的应力状态与三维物体类似,难以简化,应按三维问题处理n 薄板 可以引进基本假定,使问题简化。n薄板基本假定(1)板中面法线变形前是直线,变形后仍保持直线,且与变形后的中面保持垂直;(2)中面法线变形后既不伸长也不缩短;(3)中面各点没有平行于中面的位移。n 假定的推论 假定(2)(与梁弯曲问题的互不挤压假定相似) z=0 w=w(x,y) 0zwz 假定(1)(与梁弯曲问题的平面假定相似) zx=zy=0, 0zuxwx0zuywyyxfxwzux,1yxfywzuy,2 假定(3)f1(x,y)=0, f2(x,y)=0 ABABwzxuOKKxwzuxywzuy22xwzxuxx22ywzyuyyyxwzyuxuxyxy22n 薄板的应变x=Kxz yKyz xy2Kxyzz = yz = zx 0 xyzabced22xwxK22ywyKyxw2xyKn 薄板的应力分量 ( x、y、xy)通过平面问题的物理方程由应变求出( z、zx、zy)则必须由三个平衡微分方程求解给出 应力分量(z、zx、zy)相对面内应力分量(x、y、xy)很小 它们对应的应变分量z、zx、zy可略去不计 但它们本身由于是平衡所必须的而不能忽略不计。 22ywxwEz2221x22xwywEz2221yyxwEz21xy特点: 均沿厚度呈线性分布,在中面处为零, 在板的上、下板面达到最大。n 面内应力分量(x、y、xy)n 面外应力分量 使用平衡条件求出 考虑薄板上、下板面的边界条件 解得横向剪应力 特点:横向剪应力zx、zy沿板厚度方向呈抛物线分布, 在板的上、下板面为零,在板中面最大yxzyxxzxxyzyzyxy02tzzx02tzzywxtzE2222412zxwytzE2222412zy利用z方向的平衡条件求zzyzxzzFyxz将z方向所有力作用等效移置到板面上,02tzzqtzz2 222ttztzzdtFTq板上、下表面的边界条件变成wztvEzz22224)1 (2),(34)1 (243223yxfwzztvEtzwtztz-vEt4223121)1 (6z特点: z沿板厚度方向呈三次方变化 最大值发生在板面为q,最小值在板底为0。02tzz利用板下面的边界条件 , f(x,y)=0利用板下面的边界条件 ,得:qtzz2qwEt423)1 (12)1 (1223vEtDD是板的弯曲刚度,板厚的三次方成正比,与弹模成正比,与梁的弯曲刚度类似 qwD 4n 薄板的平衡微分方程 n 薄板的柱面弯曲 矩形板一个方向(比如y方向)足够长, 分布荷载沿y方向不变化,只沿x方向变化,即q=q(x)时,则 w=w(x) 板弯曲成柱面,取单位宽度的窄条(梁)分析。平衡方程退化为 与梁的平衡微分方程相比,多了一项(12)。 其原因是:板单位宽度的窄条是处于平面应变状态(y=0)EIxqdxwd)(1244xyzxzxyyxyzyx22ttxxdzzMdzzMxyttxy22dzQxzxtt22dzzMytty22dzzMyxttyx22dzQyzytt22n 薄板横截面上的内力 剪应力互等定理 xy = yx, Mxy=Myx 正负规定:在z为正,若应力分量为正,则由此合成的内力为正 内力是作用在每单位宽度上的力,例如: 弯矩和扭矩的量纲应是力,而不是通常的力长度。xyzMxyMyxMyQMxxQy)(2222ywvxwDMx)(2222xwvywDMyyxwDMMyxxy21wxDQx2wyDQy2n 内力由挠度表示 xxzMt312yyzMt312xyxyzMt312yyzQztt)4(6223xzxQztt)4(6223)1 ()21(22ttqzzz(x,y,xy)qb2/t2 (xz,xz y)qb/t zqn 应力与内力的关系 0qyQxQyx0 xyxxQyMxM0yyxyQyMxM02222qyMyxMxM2yxy2xn 由内力表示的平衡微分方程 n 薄板问题求解D4w=q 侧边边界条件 xyzABC 侧边边界条件由圣维南原理满足 将分布剪力和分布扭矩合成为分布剪力AB(M ) y xA(M ) y x Bd xM y xd xdxxMMyxyx 可用2个大小相等为Myx,方向相反,相距dx的垂直力代替 可用2个大小相等为 ,方向相反,相距dx的垂直力代替 dxxMMyxyxxMQVyxyy此外,还有两端未抵消的集中剪力 RA(Myx)A, RB(Myx)Bn 分布剪力和分布扭矩合成OABCxyzRARBR C最终角点B出现未抵消的的集中力应是RB(Myx)B(Mxy)B2(Myx)ByMQVxyxx及两端的集中力 RB(Mxy)B,RC(Mxy)C 2333)2(yxwvxwDVxyxwvywDVy2333)2()(1 (22yxwvDRBn 侧边边界条件 自由边、简支边、固定边、角点 用挠度表示yxabABCO(1)自由边 弯矩和合成剪力为零,因此, 在x=a上, Mx=0,Vx0, 在y=b上,My=0,Vy0, 02222axywxw0)2(2333axyxwxw02222byxwyw0)2(2333byyxwvyw(2)简支边在y=0的简支边界上,挠度和弯矩应为零 (w) y=0=0, (My) y=0(w) y=0=0表示沿x轴,w无变化,必然有 , 简支边的边界条件可写成 (w) y=0=0 002222yxwyw00yxw002y2xw0022yyw(3)固定边在x0的固定边上,挠度和转角为零,故边界条件可写成 (w) x=0=0 (4)角点条件 板边分布扭矩代换为分布剪力后,在角点出现一个集中力,这个集中力就是支座对板角点的集中反力。 对于无支座支撑的角点,例如图中的两自由边界的交点B,则 RB =2(Myx)x=a, y=b = 0,即:00 xxw02by a,xyxw
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